含参数的“类二次函数”导数综合问题的研究
2018-03-20吴必潜
吴必潜
【摘要】导数问题是高中数学的重点和难点,导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题,在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题,如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题,显得尤为重要,本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为四种类型,并提出分类的标准.
【关键词】二次函数;导数;参数
微积分是数学发展史上继欧氏几何又一个划时代意义的伟大创造,是数学史发展的里程碑,也是衔接高中数学与大学数学的重要桥梁.导数问题是高中数学的重点和难点,导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题,在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题,由于这类问题往往涉及对数函数、指数函数以及对参数的讨论,因此,很多学生对“从何处着手”“关键点在哪里”“怎样讨论”等问题往往表现出一片茫然.如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题,显得尤为重要,本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为三种类型,并提出分类的标准.
类型一:已知参数大范围,根据题意细分小范围
探究1 已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R).
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当a<0时,求函数f(x)在区间12,1上的最小值.
解 (1)f′(x)=2ax+(1-2a)-1x
=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x.
因为a>0,x>0,所以2ax+1>0,解f′(x)>0,得x>1,
所以f(x)的单调增区间为(1,+∞).
(2)当a<0时,由f′(x)=0,得x1=-12a,x2=1.
① 当-12a>1,即-12 所以f(x)在A=12,1上的最小值为f(1)=1-a. ② 当12≤-12a≤1,即-1≤a≤-12时, f(x)在12,-12a上是减函数,在-12a,1上是增函数, 所以f(x)的最小值为f-12a=1-14a+ln(-2a). ③ 当-12a<12,即a<-1时,f(x)在12,1上是增函数, 所以f(x)的最小值为f12=12-34a+ln2. 综上,函数f(x)在区间12,1上的最小值 [f(x)]min=12-34a+ln2,a<-1;1-14a+ln(-2a),-1≤a≤-12;1-a,-12 类型二:双参数,定一参变一参 探究2 已知函数f(x)=13ax3+bx2+x+3,其中a≠0. (1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值? (2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解 (1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0, f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解, 所以Δ=4b2-4a>0,即b2>a,此时方程ax2+2bx+1=0的根为 x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa,x2=-2b+4b2-4a2a=-b+b2-aa, 所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当a>0时, x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞) f′(x)+0-0+ f(x)增函数极大值减函数极小值增函数 所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值. 当a<0时, x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞) f′(x)-0+0- f(x)减函数极小值增函数极大值减函数 所以f(x)在x1,x2處分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b2>a时,f(x)取得极值. (2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立. 即b≥-ax2-12x,x∈(0,1]恒成立, 所以b≥-ax2-12xmax. 设g(x)=-ax2-12x,g′(x)=-a2+12x2=ax2-1a2x2, 令g′(x)=0,得x=1a或x=-1a(舍去), 当a>1时,0<1a<1,当x∈0,1a时,g′(x)>0,g(x)=-ax2-12x为单调增函数; 当x∈1a,1时,g′(x)<0,g(x)=-ax2-12x为单调减函数. 所以当x=1a时,g(x)取得最大,最大值为g1a=-a, 所以b≥-a. 当0 当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=-a+12, 所以b≥-a+12. 综上所述,当a>1时,b≥-a;当0 【参考文献】 [1]郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2007. [2]罗增儒,罗新兵,陶君.波利亚的怎样解题表[J].中学数学教学参考,2004(4):14.