APP下载

含参数的“类二次函数”导数综合问题的研究

2018-03-20吴必潜

数学学习与研究 2018年4期
关键词:二次函数导数

吴必潜

【摘要】导数问题是高中数学的重点和难点,导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题,在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题,如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题,显得尤为重要,本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为四种类型,并提出分类的标准.

【关键词】二次函数;导数;参数

微积分是数学发展史上继欧氏几何又一个划时代意义的伟大创造,是数学史发展的里程碑,也是衔接高中数学与大学数学的重要桥梁.导数问题是高中数学的重点和难点,导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题,在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题,由于这类问题往往涉及对数函数、指数函数以及对参数的讨论,因此,很多学生对“从何处着手”“关键点在哪里”“怎样讨论”等问题往往表现出一片茫然.如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题,显得尤为重要,本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为三种类型,并提出分类的标准.

类型一:已知参数大范围,根据题意细分小范围

探究1 已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R).

(1)当a>0时,求函数f(x)的单调增区间;

(2)当a<0时,求函数f(x)在区间12,1上的最小值.

解 (1)f′(x)=2ax+(1-2a)-1x

=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x.

因为a>0,x>0,所以2ax+1>0,解f′(x)>0,得x>1,

所以f(x)的单调增区间为(1,+∞).

(2)当a<0时,由f′(x)=0,得x1=-12a,x2=1.

① 当-12a>1,即-12

所以f(x)在A=12,1上的最小值为f(1)=1-a.

② 当12≤-12a≤1,即-1≤a≤-12时,

f(x)在12,-12a上是减函数,在-12a,1上是增函数,

所以f(x)的最小值为f-12a=1-14a+ln(-2a).

③ 当-12a<12,即a<-1时,f(x)在12,1上是增函数,

所以f(x)的最小值为f12=12-34a+ln2.

综上,函数f(x)在区间12,1上的最小值

[f(x)]min=12-34a+ln2,a<-1;1-14a+ln(-2a),-1≤a≤-12;1-a,-12

类型二:双参数,定一参变一参

探究2 已知函数f(x)=13ax3+bx2+x+3,其中a≠0.

(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

解 (1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0,

f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解,

所以Δ=4b2-4a>0,即b2>a,此时方程ax2+2bx+1=0的根为

x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa,x2=-2b+4b2-4a2a=-b+b2-aa,

所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).

当a>0时,

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)

f′(x)+0-0+

f(x)增函数极大值减函数极小值增函数

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.

当a<0时,

x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)

f′(x)-0+0-

f(x)减函数极小值增函数极大值减函数

所以f(x)在x1,x2處分别取得极大值和极小值.

综上,当a,b满足b2>a时,f(x)取得极值.

(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立.

即b≥-ax2-12x,x∈(0,1]恒成立,

所以b≥-ax2-12xmax.

设g(x)=-ax2-12x,g′(x)=-a2+12x2=ax2-1a2x2,

令g′(x)=0,得x=1a或x=-1a(舍去),

当a>1时,0<1a<1,当x∈0,1a时,g′(x)>0,g(x)=-ax2-12x为单调增函数;

当x∈1a,1时,g′(x)<0,g(x)=-ax2-12x为单调减函数.

所以当x=1a时,g(x)取得最大,最大值为g1a=-a,

所以b≥-a.

当0

当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=-a+12,

所以b≥-a+12.

综上所述,当a>1时,b≥-a;当0

【参考文献】

[1]郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2007.

[2]罗增儒,罗新兵,陶君.波利亚的怎样解题表[J].中学数学教学参考,2004(4):14.

猜你喜欢

二次函数导数
解导数题的几种构造妙招
指对同构法巧妙处理导数题
关于导数解法
“二次函数”易错点剖析
《二次函数》易错题专练
《二次函数》综合测试题
浅谈初中数学二次函数教学
初中数学二次函数教学面临的问题及应对策略
论初中数学二次函数教学的有效性
导数在函数中的应用