例谈讲题的关注点，有效提升数学思维能力

黄笠

【摘要】在新课程背景下，有效教学越来越被教师所接受.数学课堂的教学也越来越讲究效益.传统教学中的题海大战和延长学习时间来提高学生的数学思维能力也已经违背“少教多学”的理念.因此，本文从数学课堂的讲题出发，通过分析讲题的方法过程，有效提升学生的数学思维能力，让数学课堂实现减负增效.

【关键词】讲题；关注点；数学思维能力

数学课堂经常会出现教师反复讲解同类型的题目，花了大力气，学生也学得累，但是效果不理想的现象.做过几遍、讲过几遍的题目学生还是不会，还是会做错.教师因此也容易走向职业倦怠，认为自己教不会学生甚至教了几十年不会教了.其实，我们不能简单地责怪学生不聪明、不勤奋，在教师的讲题过程中，忽视了学生思维能力的培养.教师缺乏教学目标意识，想到哪讲到哪；重点内容不突出，难点的突破没有相应的教学处理；解题的逻辑思维混乱；讲题只关注答案，忽视了学生的思考过程，学生的数学思维能力并没有随之提升.因此，笔者通过分析一些课堂讲题实例的关注点，力争促进学生数学思维能力的发展.

一、讲题要讲清分析点，发展学生数学思维的深刻性

数学思维的深刻性就是在对数学问题进行分析研究、解决的过程中，善于从复杂的表现形式中抽象出空间形式和数量关系，把握住本质及规律.深刻性是思维品质的基础，只有加强知识方法的理解，才能不断地提升数学思维的深刻性.

例1 如图所示，已知A，B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合于点C，构成△ABC.若△ABC为直角三角形，则AB=.

讲题要讲清分析点，首先要帮助学生有效审题.让学生明白该研究哪些知识，让学生通过观察找出已知条件和待求结论，然后再去让学生建立桥梁.养成良好的审题和分析习惯对于解决好一些中档题是非常有帮助的，也是数学思维能力发展的前提.例1这道题目往往是利用方程思想，设AB=x，然后利用条件△ABC为直角三角形分三类情况建立方程求解，最后可以得出正确答案.但是这样的讲解就完成了吗？不是！我们不能放过题目中出现的任何一个条件，包括一些隐含条件.经过仔细分析题目发现有这个条件：“构成△ABC”.可以有怎么样的用处呢？于是学生恍然大悟，要保证构成三角形的条件就是要任意两边之和大于第三边.马上可以建立三个不等式求出1

两种不同的思路，虽然都可以得到正确答案，但是笔者认为认真分析条件先得出AB的隐含范围应该更接近数学的本质，更能让我们的课堂充满数学味.在本题的教学中，可以通过小组合作交流，学生在交流中体验思维的碰撞，充分挖掘题中的隐含条件和本质，不断提高学生的审题能力和观察能力，从而培养和发展学生数学思维的深刻性.

二、讲题要讲出关键点，发展学生数学思维的逻辑性

例2 如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°.

∠BAC的平分线与AB的中垂线交于點O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是.

这道题目的关键在于是否会运用条件∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O来解题，学生利用角平分线可得∠BAO=∠CAO=25°，但是AB的中垂线这个条件如何运用是关键，很多学生在此处都有困难.当然教师可以直接告诉学生怎么用，但是效果不一定理想，往往会导致学生讲完就忘记！因为一道习题，对于教师是非常熟悉的，但对于学生可能是完全陌生的，教师不一定要直接点破习题中的关键点.可以适当地给学生留有思考，教师只要抛出问题串，激发学生积极参与思考，而不一定是按照基本思路一讲到底.提问和思考后再和学生一起分析，这样更能加深学生的体会.那么AB的垂直平分线到底能如何使用呢？此时引导学生回忆教材的描述：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等.教师追问：在图中应该是哪个点到A和B的距离相等呢？学生马上回答：O点！于是就在关键处引导学生得到OA=OB.学生连接OB得到∠OBA=∠OAB=25°.此时，学生的逻辑推理思维已经被激活，根据AB=AC和∠BAC=50°，学生容易得出∠ABC=∠ACB=65°，进而得到∠OBC=40°.由折叠可知∠CEF是∠CEO的一半，∠CEO是等腰△CEO的顶角，可以通过先求底角来完成.求哪一个底角容易呢？学生发现△ABO≌△ACO，得到OB=OC，马上求出∠OBC=∠OCB=40°.最后根据底角40°可以求出∠CEO=100°，得到∠CEF=50°.

讲解习题要有层次感，一般可以先从简单条件入手，步步深入，让学生在习题的听讲中渐入佳境，这样有利于学生配合思考.适当的地方采用渐进式问题串，使得每一步都为下面的思维活动打下基础，激发学生的探究欲望和培养学生的问题意识，让每个层次的学生都能有所体验，并从中获得一定的成就感.在问题的难点处，有目的地暴露学生的思维障碍，通过关键条件的引导与思考，给学生搭建解题的脚手架，能够让学生消除畏难心理，完善学生的知识结构，帮助学生提高思维的逻辑推理能力.

三、讲题要讲透联系点，培养学生数学思维的批判性

数学思维的批判性是指在思维活动中能独立思考，严格估计思维材料和精确检查思维过程，有根据地做出肯定接受或否定质疑的品质.在数学解题中，不断精简过程，发现和挖掘新的解题方法，都是思维批判性的基本表现.

例3 已知一个直角三角形的周长是30，斜边长13，求它的面积.

遇到此题，学生的方程思想掌握较好，能够较快地设直角边为a和b，于是得到两个方程：a+b=17，a2+b2=169.然后消去b得到a的一元二次方程，求解出两条直角边为5和12，从而得到面积是30.有些教师在课堂上也是这样讲，然后给出计算过程之后就讲下一题了.实际上这道题目还有其他的解法吗？教师提出疑问，学生的思维再次被激发.教师问：设了直角边a和b之后，面积怎么表示？学生回答：S=12ab.教师又问：那不是只要先求出ab就可以了！除了分别求直角边a和b，能不能考虑下整体思想去求ab？这个时候学生发现ab，a+b，a2+b2三者之间是有联系的！马上根据（a+b）2=a2+b2+2ab可以得出2ab=172-132=30×4=120，最后求得面积为30.

因此，在讲题过程中要注意条件和哪些定理、公式是有联系的，条件与结论之间有何联系，充分运用这些隐含的联系，让学生有质疑思考的过程，能不能发现更好的方法，可以使讲题更高效.数学教学不仅仅是教技巧，更重要的是教学生学会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象等方法去探寻数理关系和规律，从中培养学生的数学能力，同时也发展了数学思维的批判性.

四、讲题要突出转化点，发展学生数学思维的灵活性

例4 如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于.

学生很快能够知道BM=CM=3，接下来就束手无策了.原因在哪呢？学生想不到去添加辅助线，主要原因是在等腰三角形中缺乏三线合一的数学意识，新授课“三线合一”的概念生成过快，急于进行习题的反复训练，在短期内是可以达到教学效果的.但是长期来看，学生容易遗忘.学生在概念的生成中没有足够参与的时间和过程，只是死记方法，关于图形的背景和特征都没有去认真理解，遇上较为陌生的题目，虽然知识点相同，学生无法通过自己原有的知识结构来完成解答.因为学生原有的知识结构更多的是一个一个孤立的题目的解题方法，并没有建立完整的知识结构去解题.当学生陷入这样的困境时，教师可以适当地引导学生，能否把相关的条件结合起来转化一下去解题？这时，学生才恍然大悟，原来是应该要把AB=AC和点M为BC的中点两个条件组合，构成三线合一的条件，转化得到三线合一的结论来解题.学生往往只会把条件一对一地单一转化，缺乏把条件组合在一起进行转化的能力.到此，辅助线也呼之欲出，当学生连接AM后，得出AM⊥BC，勾股定理计算出AM=4.再来看MN⊥AC怎么转化呢？结合AM⊥BC，学生此时明白求MN可以转化为求Rt△AMC斜边上的高.

弗拉维尔提出元认知的概念，就是个体关于自己的认知过程的知识和调节这些过程的能力.主要功能表现在定向、控制和调节.在这个讲题过程中，不断地把条件组合使用，按照既定方向转化得到对解题有帮助的结论，并在转化过程中不断地加以监控和调节，最终得到需要的结论.不仅加强了学生的解题能力，更提升了学生数学思维的灵活性.

五、讲题要讲总结点，发展学生数学思维的广泛性

例5 如图所示，已知一次函数y1=k1x+6与反比例函数y2=k2x（x>0）的图像交于点A，B，且A，B两点的横坐标分别为2和4.

（1）k1=，k2=.

（2）求点A，B，O所构成的三角形的面积.

分析 第1小题可以通过横坐标的代入得到方程组来解答.

第2小题的解答如下：A（2，4），B（4，2）.

方法一 令直线AB与x轴、y轴交于点C，D.

S△AOB=S△AOC-S△BOC=12-6=6，

或者S△AOB=S△BOD-S△AOD=12-6=6.

方法二 AB=22，OA=OB=25，可知是等腰三角形，考虑作底边AB上的高，根据三线合一得出AB的一半是2，运用勾股定理求出高是32，于是S△AOB=12×32×22=6.

方法三 作AE⊥x轴交OB于点G，BF⊥x轴，

S△AOB=S四边形AOFB-S△BOF=S四边形AOFB-S△AOE=S梯形AEFB=6.

方法四 S△AOB=S△AGO+S△AGB=12×AG×h1+12×AG×h2=12×AG×4=6.

方法五 由海伦公式p=12（a+b+c）=12×（25+25+22）=25+2，

S△AOB=p（p-a）（p-b）（p-c）=（25+2）×2×2×（25-2）=（20-2）×2=6.

有些教师对于此题讲完方法一就结束，未能达到足够的思维训练.对于此类题可以通过开展数学活动，将学生分成若干组，比一比哪一组使用的解题方法多.一下子就把学生的兴趣激发起来，学生在探究多种解法的活动中有意识地针对活动过程进行必要的总结，最后师生可以共同完成方法的总结，得出求面积的一般方法可以简单记为：“面积公式、加加减减、寻找相似”.这样的总结，让学生不再是对面积的求法“只见树木，不见森林”.讲题后的总结可以是知识的总结、思想方法的总结、形式规范的总结、条理清晰的总结、解答严谨的总结、注意点的总结、例题变式的总结等.通过各种不同形式的总结，让学生对题有一个再认识和反思的过程，能够更好地促进知识的巩固和生成，提升数学思维的广泛性.

因此，在讲题过程中，教师可以适当引入有关的情境，激發学生的兴趣，让学生积极参与到问题的思考中；通过小组合作交流，给予学生思维碰撞的时间和机会；通过启发式教学，引导学生发现和理解知识方法的本质；通过学生的自主反思总结，巩固和生成所学知识，提升数学思维能力.教学中还应该充分考虑到学生的已有知识储备和不同思维能力，采取侧重点不同的讲解方法.例如，初一的题目注重加深知识理解，掌握基本方法.初二的题目注重探究合作，最后实现共同完成.初三的题目注重思维点拨，方法归纳，本质挖掘.对于难点的处理方式，我们可以通过几何画板的演示，相关知识材料的展示，表格的归纳呈现等手段为学生的思维搭建脚手架.在数学核心素养能力的培养过程中，数学抽象、逻辑推理、数学建模都是较高层次的能力.在教学中更要关注学生的思维起点和发展过程，促进数学思维能力的不断提升.