性质在手 解题无忧

姜华文

【摘要】掌握线段垂直平分线的性质，可以熟练解决与此有关的线段和角的计算以及证明题.

【關键词】线段；垂直平分线；计算；证明

与线段垂直平分线有关的计算题一般有两类，一类是关于边长和周长的计算，一类是关于角的计算.要熟练解决与垂直平分线有关的计算题，关键是要掌握垂直平分线的性质以及有关的结论.

一、关于证明两条线段相等的问题

例1 如图1所示，△ABD为等边三角形，△ACB为等腰三角形且∠ACB=90°，DE⊥AC交AC延长线于点E，求证：DE=CE.

分析 要证明DE=CE，只要能证明△EDC是等腰三角形即可，于是可以做出等边三角形ABD的底边AB上的高DF，由于△ACB也是等腰三角形且∠ACB=90°，即DF必经过点C，这样由等腰三角形的三线合一，问题即可得证.

证明 过点D作DF⊥AB于点F，因为△ABD为等边三角形，所以DF是线段AB的垂直平分线，又因为△ACB为等腰三角形且∠ACB=90°，所以点C必在AB的垂直平分线上，即点D，C，F在一条直线上，所以由等腰三角形的三线合一可知，∠ACF=45°，即∠DCE=45°，又DE⊥AC，即∠E=90°，所以∠EDC=45°，即∠DCE=∠EDC，所以DE=CE.

二、关于角的计算问题

例2 如图2所示，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线.

（1）试分别写出与∠B、∠C相等的角；

（2）若∠BAC=100°，则∠EAG等于多少？

解 （1）∵DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，

∴AE=BE，AG=CG，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

（2）由（1）可知，∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=∠BAC-（∠B+∠C）=100°-（180°-100°）=20°.

说明：这是一道典型的与垂直平分线有关的角的计算题.与上面边长和周长的计算题一样，关于角的计算题，依然涉及垂直平分线的性质的应用，解题时需要运用到垂直平分线的性质中关于角的基本结论.

三、关于边长或周长的计算问题

例3 如图3所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于D，△ABE的周长是a cm，AC=b cm.

（1）求AB+BC的长度；（2）求△ABC的周长.

解 （1）因DE是AC的垂直平分线，故AE=CE.

∵△ABE的周长是a cm，

∴AB+BC=AB+BE+EC=AB+BE+AE=a（cm）.

（2）由（1）的结论及AC=b cm，可求得△ABC的周长=AB+BC+CA=（a+b） cm.

说明：这是一道与垂直平分线有关的经典题，解题时，需要运用AE=CE这一结论.

四、综合问题

例4 如图4所示，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且BC=12，∠BAC=120°.

（1）求△AEG的周长；

（2）求∠EAG的大小；

（3）若AB=AC，试判断△AEG的形状.

解 （1）∵DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，

∴AE=BE，AG=CG.

∴△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=12.

（2）∵DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

∴∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=120°-（∠B+∠C）=120°-（180°-120°）=60°.

（3）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°.

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG为等边三角形.

说明：这道题既有边长和周长的计算，也有角的计算，是一道与垂直平分线相关的综合计算题，其中涉及的解题思路（如求∠EAG），在前面的例题中已有体现.

综上所述，与垂直平分线相关的证明和计算题，基本题型变化不大，只要牢牢把握住垂直平分线的性质和基本结论，就能顺利地解决.