基于Lagrange乘数法的几何最值研究

许震宇

【摘要】求空间定点、曲线或曲面间距离的最大值或最小值，这一类问题通常称为几何最值问题.数学竞赛或考研试题中的几何最值问题，利用初等方法或求解转化为无条件极值问题求解需要很强的技巧，而利用Lagrange乘数法则可得出一般性结论.

【关键词】Lagrange乘数法；几何最值问题

在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件.比如：

例1 （全国硕士研究生入学考试，1994）求椭圆x2+4y2=4上的点到直线2x+3y-6=0的最小距离和最大距离.

例2 （华东师范大学考研试题，1994）求抛物线y=x2上一点到定点Q-118，-58的最短距离.

例1是在约束条件x2+4y2=4下，求函数f（x，y）=|2x+3y-6|22+32的最大值和最小值；例2是在约束条件y=x2下，求函数f（x，y）=x+1182+y+582的最小值.这就是所谓的条件极值问题，而Lagrange乘数法就是解决条件极值问题的一个有效的工具.

一、Lagrange乘数法

以二元函数为例，设目标函数z=f（x，y）和约束条件φ（x，y）=0.为寻找目标函数在约束条件下的极值点，先作Lagrange函数L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），其中参数λ为Lagrange乘子.再令L（x，y，λ）对x，y和λ的一阶偏导数等于零，即Lx′=fx′（x，y）+λφx′（x，y）=0，Ly′=fy′（x，y）+λφy′（x，y）=0，Lλ′=φ（x，y）=0. 该方程组的所有解（x0，y0，λ0）所对应的点（x0，y0），就是目标函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能极值点.若可能极值点唯一，且根据实际问题最值一定存在，则可直接确定可能极值点即为最值点.一般地，Lagrange乘数法的目标函数为F（x1，x2，…，xn），约束条件为Φi（x1，x2，…，xn）=0（i=1，2，…，m且m

二、几个结论

命题1 设平面曲线C：f（x，y）=0（f存在一阶连续偏导数）和平面直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）无公共点，若点P（x，y）是曲线C上到直线l的最值点，则有fx′（x，y）A=fy′（x，y）B.

证明 曲线C上点P（x，y）到直线l的距离d=|Ax+By+C|A2+B2.因d非负，故可考虑d2=（Ax+By+C）2A2+B2.先作Lagrange函数L（x，y，λ）=（Ax+By+C）2A2+B2+λ·f（x，y），再令Lx′=Ly′=0，

即A·2（Ax+By+C）A2+B2+fx′（x，y）·λ=0，B·2（Ax+By+C）A2+B2+fy′（x，y）·λ=0.

∵C与l无公共点，∴Ax+By+C≠0.该方程组存在非零解2（Ax+By+C）A2+B2，λ，故系数行列式为零，即fx′（x，y）A=fy′（x，y）B，命题1成立.

命题1的几何意义是曲线C在P（x，y）处的法向量{fx′（x，y），fy′（x，y）}与直线l的法向量{A，B}共线.

推论1 设空间曲面Σ：F（x，y，z）=0（F存在一阶连续偏导数）和空间平面π：Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）无公共点，若点P（x，y，z）是曲线Σ上到平面π的最值点，则有Fx′（x，y，z）A=Fy′（x，y，z）B=Fz′（x，y，z）C.

推论1的几何意义是曲面Σ在P（x，y，z）处的法向量{Fx′（x，y，z），Fy′（x，y，z），Fz′（x，y，z）}与平面π的法向量{A，B，C}共线.

命题2 设平面内一定点Q（a，b）不属于平面曲线C：f（x，y）=0（f存在一阶连续偏导数）.若点P（x，y）是曲线C上到定点Q的最值点，则有fx′（x，y）x-a=fy′（x，y）y-b.

证明 曲线C上点P（x，y）到定点Q的距离d=（x-a）2+（y-b）2.因d非负，故考虑d2=（x-a）2+（y-b）2.作Lagrange函数L（x，y，λ）=（x-a）2+（y-b）2+λ·f（x，y），

令Lx′=Ly′=0，即（x-a）·2+fx′（x，y）·λ=0，（y-b）·2+fy′（x，y）·λ=0.

该方程组存在非零解（2，λ），故fx′（x，y）x-a=fy′（x，y）y-b，命题2成立.

命题2的几何意义是曲线C在P（x，y）处的法向量{fx′（x，y），fy′（x，y）}与向量QP={x-a，y-b}共线.

推论2 设空间内一定点Q（a，b，c）不属于空间曲面Σ：F（x，y，z）=0（F存在一阶连续偏导数），若点P（x，y，z）是曲面Σ上到定点Q的最值点，则有Fx′（x，y，z）x-a=Fy′（x，y，z）y-b=Fz′（x，y，z）z-c.

推论2的几何意义是曲面Σ在P（x，y，z）处的法向量{Fx′（x，y，z），Fy′（x，y，z），Fz′（x，y，z）}与向量QP={x-a，y-b，z-c}共线.

三、应用举例

例1的解 椭圆x2+4y2-4=0，fx′=2x，fy′=8y.由命题1，得2x2=8y3.

联立方程组2x2=8y3，x2+4y2-4=0，

得最值点为P185，35和P2-85，-35.

由点到直线距离公式d=|2x+3y-6|22+32，得所求的最近点为P185，35，最小距离为d（P1）=113；所求的最远点为P2-85，-35，最大距离为d（P2）=1113.

例2的解 抛物线x2-y=0，fx′=2x，fy′=-1.由命题2，得2xx--118=-1y--58.

联立方程组2xx--118=-1y--58，y=x2，

得唯一最值点P-12，14.

由题意，得所求的最近点为P，最短距离d=|PQ|=782.

例3 （广东省大学生数学竞赛，1991）设曲面S的方程为z=4+x2+4y2，平面π的方程为x+2y+2z-2=0，试在曲面S上求一个点的坐标，使该点与平面π的距离最近，并求此最近距离.

解 曲面S：x2+4y2-z2+4=0（z>0），Fx′=2x，Fy′=8y，Fz′=-2z.由推论1，得2x1=8y2=-2z2.

联立方程组2x1=8y2=-2z2（z>0），x2+4y2-z2+4=0，

得唯一最值点P-2，-22，22.

由题意，得所求的最近点为P，

最近距离d=|x+2y+2z-2|12+22+22=23（2-1）.

例4 （中山大学考研试题，1983）求曲面z=xy+2上一点到原点的最短距离.

解 曲面xy-z+2=0，Fx′=y，Fy′=x，Fz′=-1.由推论2，得yx=xy=-1z.

联立方程组yx=xy=-1z，z=xy+2， 得最值点为P1（1，-1，1）和P2（-1，1，1），且|OP1|=|OP2|=3.

由題意，得所求的最近点为P1（1，-1，1）或P2（-1，1，1），最短距离为3.