浅谈高考数学创新问题应对策略

赵金波 任成亚

（吉林省永吉实验高中，吉林 永吉）

一、问题特点

统观近几年数学高考试题，创新题频繁出现。主要以新运算、新概念和新背景形式给出命题。要求学生不仅有扎实的基础知识、基本方法，还要有较强的阅读能力、分析转化能力、逻辑推理能力、抽象概括能力和良好的数学综合素养。由于试题新颖对每个考生公平、公正有利于选拔优秀人才。

二、常见问题

1.新运算：所指通过数学中符号语言、图形语音、文字语言给出新的运算模型，要求考生根据模型结合所学知识点、方法和数学思想去探究，求解结论。

例 1.2015浙江（理 6）设 A，B 是有限集，定义 d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中 card（A）表示有限集 A 中的元素个数

命题①：对任意有限集 A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集 A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C），A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立

试题解析：命题①显然正确，通过右图可知a（A，C）表示的区域不大于 d（A，B）+d（B，C）的区域，所以命题②也正确，故选A

例2.2013湖北（理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为记第 n个 k边形数为 N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

……可以推测N（n，k）的表达式，由此计算 N（10，24）= 。

试题解析：观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故 N（n，24）=11n2-10n，∴N（10，24）=1000

点评：从上述例题可以得出此类问题的研究。首先根据运算模型把问题转化为集合、向量、数列的相关知识，再利用恒等代入、数形结合、归纳猜想等方法去解决实际问题。

2.新概念：是指利用数学问题的表述形式在一定限制条件下，给出一个问题新的定义，从而要求考生探究新概念下问题属性。

例1.2017全国I（理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 （ ）

A.440 B.330 C.220 D.110

例 2.2016 四川（理 15）在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为当 P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”。现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线。

其中的真命题是_____（写出所有真命题的序列）。

试题解析：

解法二：由定义可知p（x，y）伴随点p（′x′，y′）应满足x′2+y′2=所以①④错误，②③正确。

点评：从前面问题可以总结出探究此类问题，首要细致理解定义，把握住限制条件，再确定所用知识点如数列、圆锥曲线，然后结合本知识点研究问题的方法，适当合理选用方法去解决问题。

三、总结梳理

针对创新问题研究策略，笔者认为，首先应掌握运算模型、理解定义，分析出新背景下含义，把问题转化为相关的数学知识点与方法上，再构建恰当模型后求解结论。应注意从正反两个角度分析探究问题，创新问题。不仅对学生数学知识方法、思想和能力做全面考查，而且对数学文化作一定的考查，能达到让学生形成良好的数学素养的目的。