高中数学“函数与方程思想”教学实践与研究

余慧强

【摘要】函数与方程思想是数学思想的重要组成部分，教师在教学中应当注重向学生渗透这种数学思维，帮助他们快速掌握以便提升数学成绩。

【关键词】高中数学 函数与方程思想 教学研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）03-0141-01

函数思想指解决实际问题时，将其中内在的数学特征以函数的形式来表达出来，其精髓在于抽象得到问题中的数量关系。方程思想与函数思想紧密相连，是指在解决问题时通过设置未知量的方程来求得未知数，此时，方程可视为沟通已知与未知之间的“桥梁”。函数与方程思想，体现了数学核心素养中的建模和分析阶段，这两步恰好能够将实际难题变为数学问题，从而使得数学成为人类探索自然的工具。

一、高中学生掌握现状研究

在传统教学中，教师往往注重于方法的传授，而忽略了学生思维的培养，函数与方程思想却是高考的重点和难点。函数与方程思想的应用涉及到高中数学的很多方面，如，导数、数列、三角函数、立体几何、实际应用题等等。但是，在平时的测试中，学生却好高骛远在没有打牢基础的前提下，追求高难度解题，从而导致中等难度试题失分严重。这种局面的出现，教师应当担负一定的责任，由于在日常教学中需要应付各类考试造成长时间的“填鸭式”教学，这挤占了学生的自主思考时间，从而使他们不能及时消化数学知识。

数学知识能够提升学生的运算和空间想象能力，还可以提升他们的思维能力，这些能力却是其日后迈入社会的关键能力，因此学好数学异常重要。學生应当从以下几个方面来提升自己的函数和方程思想：（1）注重最基本的知识、思路，总结教师课堂讲授的内容和其他同学的成功经验，将这些东西内化为自己的能力，通过梳理新旧知识，构建自身的知识体系，能够游刃有余地解答中高难度试题；（2）注重积累，要能够将函数与方程思想与其它思想方法联系起来，总结典型习题，坚持长期积累；（3）培养“题感”，做题需要一定的题感，提升自己的认知能力，在不断地实践过程中来寻找正确的思路。

二、函数与方程思想的应用

在讲课过程中，数学教师应当注意讲授某个具体问题解决过程中函数和方程思想，指导学生进行正确答题。学生在学习中，要学会熟练运用函数与方程的观点，从多角度进行思考活动，努力尝试多种方法，最终得到最优的解题方法。针对学生在学习中出现的难以灵活进行函数与方程二者之间转换的情况，为了避免在解题中出现一些问题，教师应当指导他们对数学知识进行系统地归纳、总结，培养其解题能力，同时还要让学生之间进行相互交流、学习成功的经验。

例：已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足以下条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根，求：（1）函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m

解析：（1）∵f（x）=ax2+bx有等根，∴Δ=（b-2）2=0，得b=2

由f（x-1）=f（3-x）知此函数图像的对称轴方程为x=-■=1，得a=-1，故，f（x）=-x2+2x

（2）f（x）=-（x-1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤■。

而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1，∴n≤■时，f（x）在[m，n]上为增函数。

若满足条件的m，n存在，则f（m）=4mf（n）=4n得，m=0或m=-2n=0或n=-2，又m

三、与其他思想的应用联系

数学是一个完整的整体，函数与方程思想不能单独地存在，在面对一些难度较高的问题时，这就需要几种数学思想综合解决。在几何难题中，数量关系和几何空间结合能够实现数形结合，而在某些知识点（如，单调性、值域等）中数形思想会与函数思想结合考查。分类思想也会与函数方程思想结合使用，如在某些函数的单调性研究过程中，此外，还有转化与化归思想，也会与函数方程思想结合。在日常教学中，教师应当向学生渗透这些思想的综合运用，使他们能够综合应用这些思想来解答遇到的一些难题。

若（1-2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=____（用数字作答）。

解析：以函数为发散点，各种数学思想和方法综合运用，令x=0，得a0=1，令x=1得a0+a1+a2+…+a2004=1，∴a0+a1+a2+…+a2004=0。

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004a0+（a0+a1+a2+…+a2004）=2004。

点评：此题推陈出新考查二项式定理，如果采用二项展开式定理来求a1，a2，再进行求和，这样就会出现运算量大，且学生很容易出现错误。如果用函数思想和整体性思想看问题，视（1-2x）2004为以x为自变量的一元多项式函数f（x），就能将离散的问题看成连续的问题，在运用赋特殊值法，从而巧妙地求出问题的答案。

总之，高中数学教师应当讲授“渔”的方法，提升学生的数学素养，从而帮助他们顺利地走入理想的高校。

参考文献：

[1]卓雅.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].中学数学，2017（08）

[2]沈俊峰.合理转化，提升函数与方程思想解题效能[J].数理化解题研究，2017（02）