在全国卷背景下对《坐标系与参数方程》教学内容的思考

张佳

【摘要】2016年有26个省份使用全国卷。随着全国卷在各省份的使用，全国卷的考试内容和形式也越来越受到重视。本文从一线教师的视角出发，结合近几年的高考真题，以求两曲线交点问题、？籽的意义和t的意义的理解、求最值问题这三类重点题型为抓手，对《坐标系与参数方程》这部分内容中的重点进行分析，并给出教学建议，力求为一线老师的教学活动提供方向，让老师们少走弯路，让学生们抓住重点，尽快得分。

【关键词】坐标系与参数方程 求两曲线交点问题 ？籽的意义和t的意义的理解 求最值问题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）03-0150-02

随着全国卷在各省份的使用，全国卷的考试内容和形式也越来越受到重视。在平时的教学中，如何教才能使学生在学到知识的同时，在高考中更加适应全国卷的考法，在考试中取得好成绩，是迫切需要解决的问题。

选修4-4《坐标系与参数方程》是全国卷选考内容之一，在高考中是一道10分的大题，是解析几何的内容之一。这部分内容在高考中要求不高，是学生在高考中必须拿分的地方。由此可见，学好这部分内容对学生是十分重要的。

目前国内关于《坐标系与参数方程》的一些研究，主要集中在理论层面比较多，缺乏在高考中针对这部分内容考点的指导。还有一些研究，是针对《坐标系与参数方程》的部分教学内容进行研究的，缺乏系统性，缺乏对整体教学内容的把握。针对以上的问题，笔者从一线教师的视角出发，结合近几年的高考真题，对《坐标系与参数方程》这部分内容中的重点进行剖析，并给出教学指导建议，力求为一线老师的教学活动提供方向，让老师们少走弯路，让学生们抓住重点，尽快得分。

一、为什么要“选学”《坐标系与参数方程》

第一、《坐标系与参数方程》内容的学习有助于培养学生的数学思维。这部分是学生在学习了平面直角坐标系后，介绍了一种新的坐标系及曲线方程的新的表示方法。在学习了这部分内容之后，学生可以在解题时根据需要，选取适当的坐标系，求解曲线方程，进而更好的解决相关问题。通过这部分的学习让学生知道在不同的坐标系中，坐标所表现出的不同的几何意义，锻炼学生思维的灵活性。

第二、这部分知识，在日常生活中具有广泛的应用。如：各种各样的摆线已被应用在图案设计、摆线齿轮等方面。学生学完这部分内容后，可以在生活中更好的解决实际问题，体现数学来源于生活，为生活服务的特性。有效的培养了学生应用数学的能力和意识。

二、怎样“选学”《坐标系与参数方程》

本章重点：坐标系的选择，极坐标方程，平面直角坐标系中的伸缩变换，直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

本章难点：理解极坐标的不唯一性，会选取不同的坐标系及参数求解方程。

以上是本专题的重点和难点。建议对部分数学基础不是很好，学习兴趣不高的学生，我们教学时应该让他们抓住本章的重点进行学习；对于部分数学学习兴趣高、接受能力强的学生，可以使这部分学生对坐标系与参数方程内容有一个更完整的了解，在学好重点内容的基础上，可帮助他们对难点内容进行自学，培养他们的自我探究能力。在高考中，重点考查极坐标和参数方程的应用。其它坐标系，如：球坐标系等只要了解即可。

三、高考真题分析

1.求两曲线交点问题

例1.2016年高考新课标Ⅰ卷理

解法一：

解：

（1）∵x=acosty=1+asint（t为参数，a>0） ∴x2+（y-1）2=a2 ①

即 C1为以（0，1）为圆心，a为半径的圆。方程为：

x2+y2-2y+1-a2=0

∵ x2+y2=ρ2，y=ρsinθ

∴ ρ2-2ρsinθ+1-a2=0即为C1的极坐标方程。

（2）C2：ρ=4cosθ，两边同乘ρ得ρ2=4ρcosθ

∵x2+y2=ρ2， x=ρcosθ ∴x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4 ②

C3：化为普通方程为y=2x，由题意：C1和C2的公共点所在直线即为C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ∴1-a2=0， ∴a=1

[考点分析]

本题考点：参数方程与普通方程的轉化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线交点的意义及求法。

[解法分析]

参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，体现了数学中的“相互转化思想”。此方法是解决这类问题的基础解法。要让学生熟练掌握方程转化的公式。第二问，应用解析几何中经过两圆交点的圆系方程解题。

[教学建议]

直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互相转化，是 4-4最基本的内容，也是最简单的内容。要让学生熟记公式x=ρcosθy=ρsinθ及x2+y2=ρ2，并会运用。

在解题时，可以先将参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用解析几何的知识解决。这种解法的好处是：将参数方程转化为熟悉的普通方程，极坐标方程转化为熟悉的直角坐标方程，从方程形式上减少了学生的陌生感；在知识上，直线和圆的相关知识是学生在初中就接触的内容，在解析几何中是比较基础和简单的内容，学生容易下手和敢下手去解题，从而增加了得分的概率。

解法二：

解：

（1） 同解法一

（2）公共点的极坐标满足方程组：ρ2-2ρsinθ+1-a2=0ρ=4cosθ

若ρ≠0，由方程组得 16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0，

由已知tanθ=2，可得16cos2θ-8sinθcosθ=0，

从而1-a2=0，解得a=-1（舍去），a=1。

当a=1时，极点也为公共点，且在C3上。所以a=1。

[解法分析]

解法二在第二问中，采用极坐标方程的形式，利用方程组的思想解题。考查学生理解曲线在不同坐标系中的表现形式不同，但交点的意义不变，考查数学的本质。

[教学建议]

本题第一问将曲线C1的参数方程转化为极坐标方程，第二问直接给出直线C3的极坐标方程，这些条件都在将本题引导向极坐标方程解题。用解法一的方法可以解出本题，但在教学中只强调这一解法，学生会产生困惑——既然直角坐标系可以解决这些问题，为什么还要教极坐标系？这不是多此一举吗！极坐标系有什么好处？极坐标系问题都转化为直角坐标系解题，极坐标系不就成了直角坐标系的附属品了吗？等等，一系列的疑惑都将产生。这些疑惑并不是《坐标系与参数方程》这部分知识内容产生的，而是因为教学导向产生的，这有违教学大纲和数学精神，不利于学生学习数学的本质。所以，建议在平时教学时，这两种方法都要介绍。甚至在新课时，只介绍解法二。让学生理解和接受极坐标这一新内容，通过做题感受这一新的知识，以达到这部分的教学目的和教学要求，让学生在学到知识的同时，感受到数学的美。在习题课和应考时，可以向基础不好的学生，重点介绍解法一，作为一种得分的手段。

2.关于？籽的意义，t的意义的理解

例2.2016年高考新课标Ⅱ卷理

解：

（1）略

（2）

解法一：

将直线l的参数方程化为普通方程：y=kx，并代入到圆的方程得：（1+k2）x2+12x+11=0

x1+x2=-■，x1·x2=■

AB=■

=■=■

解得：k=±■， 所以l的斜率为■或-■

解法二：

在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R）

由A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2+12ρcosα+11=0

于是ρ1+ρ2=-12ρcosα， ρ1·ρ2=11，

AB=ρ1-ρ2=■=■

=■

解得cos2α=■ ，tanα=±■， 所以l的斜率为■或-■。

解法三：

将直线l的参数方程x=tcosαy=tinα（t为参数）代入到圆C的方程得：

t2+12tcosα+11=0

t1+t2=-12cosα， t1·t2=11

AB=t2-t1=■=■

=■

解得 cos2α=■，tanα=±■，所以l的斜率为■或-■

[考点分析]

圆的直角坐标方程与极坐标方程的互相转化， 直线的参数方程，线段长的求法。

[解法分析]

第一问：将直角坐标方程转化为极坐标方程，考查公式，让学生牢记互化公式。

第二问：

解法一，将直线方程转化为普通方程，然后利用解析几何的弦长公式求解。

解法二，将直线方程转化为极坐标方程，然后利用ρ的几何意义求解。

解法三，直接使用直线方程，利用t的几何意义求解。

[教学建议]

本题第二问采用三种方法解题，意在让学生体会运用直角坐标方程、极坐标方程与参数方程三种方法解题的各自的解法、异同点及难易度差别。这三种方法比较起来，解法一的计算量略大，但更好理解。解法二和解法三计算量略小，但要求学生对ρ的意义，t的意义的理解程度较高。

从命题者角度分析，三种方法都可以解本题，一题多解，考查数学的本质。但本题更倾向于后两种解法，由于本题直线l经过极点（即直角坐标系中的原点），所以解法二和解法三的过程有些相似，但意义不同。学生一旦对ρ的意义、t的意义理解了，则解本题思路清晰，计算简便，可以很快的得分，这也体现出坐标系與参数方程的优势。

这就要求在教学中对ρ的意义和t的意义的讲解要到位。极径（ρ）是极坐标系中的点到极点的距离。如果所求线段所在直线经过极点，则考虑用极坐标系求解比较简单。t是有正负两种情况的。t的几何意义为直线x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）上的点到直线上定点（x0，y0）的距离，线段长公式AB=t1-t2=■。当所求线段所在直线不经过原点时，考虑用参数方程求解比较简单。以上几点一定要重点强调，并让学生通过做题来体会。学生一旦对ρ的意义和t的意义理解了，这部分内容的精髓也就掌握了。

3.求最值问题

例3.2014年高考新课标Ⅰ卷理

解：

（1）略

（2）在曲线C上任取一点P（2cosθ，3sinθ），到l的距离为

d=■4cosθ+3sinθ-6

则PA=■=■5sin（θ+α）-6，其中α为锐角，且tanα=■

当sin（θ+α）=-1时，PA取得最大值，最大值为■；

当sin（θ+α）=1时，PA取得最小值，最小值为■

[考点分析]

椭圆的普通方程化为参数方程，直线的参数方程化为普通方程；利用三角函数值域求最值。

[解法分析]

第一问：椭圆的普通方程化为参数方程，直线的参数方程化为普通方程，考查公式的应用，让学生牢记互化公式。

第二问：将线段长度用参数表示，利用三角函数值域的有界性求最大和最小值。

[教学建议]

将直角坐标的x，y 用一个参数表示，从而减少未知数的个数；再利用三角函数求值域。这一应用，充分体现了参数方程相对普通直角坐标方程，在求最值方面的优势。教师在教授参数方程这节课时，一定要介绍此应用。因为，可以通过此应用让学生在做题中体会应用参数方程解题的优势，激发学生的兴趣。

四、思考与总结

通过以上高考真题的分析可以看出，高考试题以直线和圆为载体，考查平面直角坐标方程与极坐标方程的转化公式。在参数方程方面，考查参数方程与普通方程的转化方法。在第二问中，考查利用上述方程，求解有关位置、交点和距离的问题等。

在教授参数方程时，要着重让学生理解好参数的几何意义，利用几何意义可以更快的解题。

在极坐标教学时，要着重让学生理解好？籽、？兹的意义，让学生熟练应用转化公式。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中《数学课程标准》（试验）.人民教育出版社，2003.4.

[2]数学课程标准研制组编写.普通高中数学课程标准解读.江苏教育出版社，2004.3.

[3]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书 数学.人民教育出版社，2005.6.