无限长直导线感生电动势的简便推导

姚关心 贾华锋

摘 要：利用了初等数学和法拉第电磁感应定律，推导出无限长直导线在穿过磁场和不穿过磁场两种情况下的感生电动势的统一表达式，并指明了感生电动势方向的判断方法。推导过程简单，避免了高等数学中微积分的复杂运算。

关键词：无限长直导线；电磁感应定律；感生电动势

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）2-0056-2

1 引 言

根据麦克斯韦电磁场理论，当空间的磁场发生变化时，将在其周围区域产生涡旋电场，该电场对放入其中的电荷有力的作用。因此，将导体放入该场中，导体中的电子会在涡旋电场的作用下定向移动，从而在导体的两端产生感生电动势。导体两端的感生电动势的求解是大学物理和中学物理教学中一项重要的研究内容。由于产生感生电动势的磁场通常分布在某一个特定区域，给我们计算导体两端的感生电动势带来了困难。目前，对有限长的导体在一些规则的几何外形的磁场中的感生电动势的研究较多[1-5]，而对无限长的导体两端电动势的研究相对较少，其采用的是高等数学中微积分的方法[4]。论文将利用初等数学和法拉第电磁感应定律方法，讨论无限长直导线在任意形状的磁场区域所产生的感生电动势。

2 模 型

如图1所示。磁感应强度的方向保持不变，大小以常数、大于零变化，无限长直导线垂直于磁场方向，求图1中两根无限长直导线的感生电动势的大小。

3 解答过程

3.1 无限长直导线 l1 感生电动势的推导

在图1中无限长直导线l1的下方放置一根无限长直导线l3，l3∥l1，如图2所示。

由初等数学可知，两条平行线在无穷远处相交。 设交点分别为a、b两点，则两根相互平行的无限长直导线可以看成一个闭合回路L1。在回路L1区域内没有磁场，则磁通量的变化率为零。 用ε表示回路的感生电动势，ε、ε分别表示无限长直导线l1、无限长直导线l3的感生电动势，由法拉第电磁感应定律，各个部分的电动势之间的关系可写为

ε=ε+ε=0（1）

由（1）式可得

|ε|=|ε|（2）

（2）式说明，在磁场外任何无线长直导线的感生电动势的大小相等，与无限长直导线到磁场区域的距离无关。下面来求这感生电动势的大小。

在图1中磁场的上方放置一根无限长直导线l4，l4∥l1，如图3所示。

同理，这样的两根相互平行的无限长直导线也可以看成一个闭合回路L2。我们任意规定回路L2的绕行方向为如图3所示的顺时针方向，根据右手螺旋定则可知， 磁场区域的横截面面积元的方向垂直于纸面向内。在回路L2内区域磁场做均匀变化，其变化率为。用ε表示回路的感生电动势，ε、ε分别表示无限长直导线l1、无限长直导线l4的感生电动势，由法拉第电磁感应定律，各个部分的电动势之间的关系可写为

ε=ε+ε=S>0（3）

式中的S为磁场区域的横截面积。

由于

|ε|=|ε|（4）

联立（3）（4）两式可得

ε=S（5）

其大小可表示为

|ε|=S（6）

由（5）式可以看出无限长直导线l1的感生电动势大于零，其方向与回路绕行方向相同。 结合图3与（5）式， 处于磁场外的无限长直导线的感生电动势的方向与磁场方向满足右手螺旋关系。若无限长直导线l1处在磁场区域的边缘，同样得出与上面相同的结论。

3.2 无限长直导线l2 感生电动势的推导

设图1磁场区域中无限长直导线 l2 上下方的横截面积分别为S1、S2。无限长直导线l2 的感生电动势可以看成上下两个区域磁场变化产生的感生电动势的代数叠加。根据3.1中的结论可知，无限长直导线 l2 上方区域的磁场变化产生的感生电动势方向向左，下方区域磁场变化产生的感生电动势方向向右，规定水平向左为正方向。总的感生电动势可写为

ε=（S1-S2）（7）

当S1>S2时，ε>0，无限长直导线l2的感生電动势方向向左，与S1面的磁场满足右手螺旋关系。

当S1

因此，无限长直导线l2的感生电动势可表示如下

|ε|=ΔS（8）

式中的ΔS为磁场被无限长直导线分成的上下两区域的横截面积之差。 感生电动势的方向与面积较大的部分的磁场满足右手螺旋关系。

3.3 讨论

通过对（6）和（8）两式进行比较和分析可知， 无限长直导线无论穿过磁场与否， 其产生的感生电动势大小的表达式可统一写成

|ε|=ΔS（9）

对于无限长直导线未穿过磁场区域， 可认为该导线将磁场分成两个部分， 其面积可看成S和0（S>0），ΔS可看成S，其大小仅与磁场区域横截面的大小有关。

对于无限长直导线穿过磁场区域， 将磁场分成两个部分， 其面积可看成为S1和S2，ΔS可看成S1-S2。其大小仅与这两个部分的面积差的大小有关。

感生电动势的方向均与面积较大的部分的磁场满足右手螺旋关系。

4 结 论

论文中，利用了初等数学和法拉第电磁感应定律等知识推导出无限长直导线在穿过磁场和不穿过磁场两种情况下的感生电动势统一表达式，并指明了感生电动势方向的判断方法。推导过程简单，且避免了高等数学中微积分的复杂运算。

参考文献：

[1]艾亮.再谈部分电路的感生电动势[J].物理通报，2017，36（08）：106-107.

[2]史博，张 辉，张连庆，等.关于感生电动势计算问题的分析[J].物理通报，2017，36（8）：14-21.

[3]贾起民，郑永令，陈暨耀.深刻理解法拉第电磁感应定律[J].物理教学，2010（07）：17-19.

[4]黄章科，金春辉，穆成富，等.任意形状磁场区域感生电动势的研究[J].大学物理，2015（12）：45-49，60.

[5]董友军.感生电动势的理解与应用[J].物理教学探讨， 2015，33（8）：70-72.

（栏目编辑 罗琬华）