用表格法解决初中数学应用题的研究实践

徐 妍

（广东省中山市黄圃镇中学，广东 中山）

一、问题的提出

初中数学应用题是学生普遍感觉到难的问题。笔者曾做过调查，两个班90名学生，愿意做应用题的不超过20人，喜欢做的更是少之又少。有些学生在小学就已经对应用题产生畏惧心理，看到较多文字就已感到束手无策。很多人只是通读文字而不能理解意思。升入初中后，由于应用题的难度逐渐提高，隐含的逻辑关系更加复杂，再加上初中理解应用题的一般方法是设未知数、列方程，这就更使得学生感到极大的不适应，对应用题的畏惧感也与日俱增。具体表现为：①设未知数时，用未知数来表示相关量不熟练；②抓不住等量关系；③找出等量关系后又不会列方程；④分析问题时，缺乏整体意识等。

二、研究实践

1.研究设计

（1）研究界定

表格法：就是通过列表理清有关列方程（组）解应用题的题目中的各条件和各数量之间的关系，从而帮助解题者审清题目的一种方法。表格由M行N列所组成，而其中每格中的数据可称为表格中的元素。表格具有简洁、直观、系统和有趣的优点，能化繁为简、化难为易，对比性强，一目了然。

初中数学应用题：应用题是将所学知识应用到实际生活实践的题目。应用题一直都是数学学科的重点和难点，目前教学大纲对学生解答应用题的能力提出了较高的要求。我们将研究范围限定于初中学段的数学应用题。

（2）研究方法

经验总结法、实验法、个案研究法。

2．研究实施

（1）表格建模

基于经验总结法，将初中数学应用题归类，进行表格建模。得到表1。

匹配问题：物品一 物品二每数共调配问题：情况一 情况二原有调配现有积分问题：情况一 情况二胜负平总计

表1 初中数学常见的七类应用题表格模型

（2）表格法应用实验

选取任教的两个班级作为实验对象，前测分数均值基本相当，可以认为学生的学习能力和学习水平基本相当，一个班为实验组，另一个班为对照组。教学内容为初中数学的典型应用题，教学结束进行后测。

表格模型的应用步骤分两步：

一审题，确定本题属于哪一类型题目，包括行程问题、工程问题、数字问题、利润问题、匹配问题、调配问题、积分问题。

二填表，先填上已知关系量、再确定设未知量，然后表示其他相关量，并找出已知条件中表示等量关系的一个语句，列出方程，将表格填写完整。

（3）表格法应用法则

笔者和学生一起总结出了“三二一”法则。以下列举“三二一”法则的应用。

例1行程问题：某班的学生到距学校15千米的地方秋游，一部分学生骑自行车先走，40分钟后，其余学生乘汽车去，结果同时到达，已知汽车的速度是自行车的三倍，求汽车的速度。

三个量：路程、速度、时间。

两种情况：乘汽车的学生、骑车的学生。

一个等量关系：骑车学生的时间－乘汽车学生的时间＝40分钟。

将找到的“三二一”填入表格并完善。（设骑车速度为x）

表2 表格法应用示例1行程问题

根据等量关系得到：15/x－15/（3x）＝2/3。

例2工程问题：一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问乙丙还需几小时完成。设乙丙还需x小时完成。

三个量：工作量、工作效率、工作时间。

鉴于不同模式的矩阵对环境有不同的适应性和选择性，必须要从职责分工、系统支持和团队文化等方面进行密切配合。①明确总体、专册所在专业处及专业室、设计院总部和专业处副总工程师的职责分工，强调总体在数据管理、计划编制和执行管理，以及进度控制方面的职责，并在生产指挥上给总体以充分授权，全力维护总体指令的权威；②加强勘察设计信息化建设，保证总体能够对设计计划、设计流程、设计任务与人员的匹配、设计资料互提等进行全过程管控，努力实现各专业网上协同设计和管理信息化；③培育开放式的内部文化，倡导各专业处及专业室之间、总体组内部建立良好的横向沟通协作文化，为总体开展优质高效的沟通奠定基础。

两种情况：甲乙合作、乙丙合作。

一个等量关系：工作量之和等于1。

表3 表格法应用示例2工程问题

根据等量关系得到：3（1/6+1/12）+（1/12+1/18）x＝1。

例3匹配问题：某车间28名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母18个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

设生产螺钉的工人数为x。

三个量：每名工人生产数量、工人数、总生产数。

两种情况：螺钉、螺母。

一个等量关系：螺母数量是螺钉数量的2倍。

表4 表格法应用示例3匹配问题

（4）表格法应用效果

将测试分数进行比较，讲授了表格法的实验组与未讲授表格法的对照组分数存在显著差异，实验组平均分明显高于对照组。选取A班中的某生C讲授表格法前后分数也有明显差异，前三次测验平均分81.67，后三次平均分94.0，提高了12分。学会表格法解应用题之后，面对应用题测试，学生变得明显轻松自信，效果明显。实验证明，学生应用表格法能够比较快乐地、高效地解决数学应用题，收效良好，很好地突破了这个难点。

表5 A班某生C应用题测验成绩

（5）表格法应用小结

实践发现，表格法的优点表现在：

①帮助学生读题，攻破“题意关”。

应用题一般涉及的数量关系较多，关系复杂，学生有时读了很多遍题，仍觉大脑一片空白，不知所云。通过列表，学生可将题目背景中所涉及的已知数量和未知数量进行梳理，并将其分门别类，展示在表格中，让学生对题目的中心思想有一个准确的把握，攻破“题意关”。

②帮助学生分析，攻破“思路关”。

列出表格后，下一步重要工作就是要将相关数量用代数式表示出来。学生会将题中的已知数量直接填写在表格内，对于未知数量，学生会考虑选择哪个未知量设未知数，其余量又如何用含未知数的代数式表示。这无形中给学生提供了思维的顺序，帮助学生理清思路。

③帮助学生寻找隐性等量关系，攻破“难点关”。

有一些应用题其等量关系很明显，我们称之为“显性等量关系”，这种等量关系学生在读题后很容易找到；有些等量关系隐含在题意之中,我们称之为“隐性等量关系”，这种等量关系学生不易找到。借助表格，找“隐性等量关系”往往事半功倍。

在表格法的实际应用过程中，学生表现出如下一些问题：

①部分学生语文理解能力较差，当题目中出现了很多量，学生就分不清应用哪个模型。即使能分清用哪个模型，有时也无法识别哪个数代表的是哪个量，最终导致无法顺利填表。

②表格法解应用题大多数时候是竖着表示，横着列式。部分学生会思维固化，遇到竖着列式的题时不会变通。

③虽然草稿上已经理清等量关系，但有学生因为原来的思维设错未知数，最终导致解题错误。

④当表格中的情况分成几个阶段时，就会出现表格中套表格的情况，这个时候学生不容易处理。

三、研究小结

1．创新之处

在以前解应用题的过程中，学生的解题习惯比较容易停留在“想”上，但又想不清楚。通过表格法，可以把自己思考的过程明明白白地写出来，看得见，“无形”变“有形”。抽象的关系变为具体的符号，有利于自己判断审题是否正确。实践证明，在应用题的教学中运用表格的分析方法是分析数量关系、解决问题的有效途径，它让已知的、未知的量都参与到了解决问题的核心——列关系式，这是用算式解法无法比拟的优势。

表格法的创新之处在于，帮助学生将应用题中所蕴含的逻辑顺序、逻辑关系理顺、理清，从而极大地降低解题难度，使得学生解应用题变得轻松而富有成就感，大大提高学生的学习自信。

2．存在的问题

表格法的创新，大大降低了应用题的解题难度。但也出现了一些问题：

（1）有部分学生思维固化，只会套用模型，不会自己独立分析，以基础较薄弱的学生居多。因此，应用表格法时，不能忽略学生解题能力的培养。学生的解题能力用题海战术、死记硬背的机械记忆是培养不出来的。不应强求学生对表格模型的机械记忆，而应强调的是表格模型的理解与运用。应倡导的是“授之以渔”，而非“授之以鱼”。实际表现看，学生解题的错误，一般是由于理不清应用题中的逻辑关系造成的，表格法恰恰可以帮助学生理顺其中的逻辑关系，这才是表格法的意义所在。

（2）学生都有多年积累的经验，特别是对于基础较好的学生，用最简单、最易操作的方法来解决问题，并不一定强求用表格法。学生的解题方法是悟出来的，而非教出来的。解决问题的策略是多样化的，只要“殊途同归”就好。