聚焦数学核心素养：高考数学命题的新趋势

吴道春

摘 要：所有数学核心素养都是在数学基础知识、基本技能、基本思想的基础上经历数学基本活动（四基）逐步达成的.学生是学习活动的主体，要让学生体验知识发现和问题解决的全过程，积累数学基本活动经验.

关键词：数学核心素养；高考命题；趋势

近年，数学核心素养成了国内外数学教育理念和课程改革的共同聚焦点.正在修订的《普通高中数学课程标准》对数学核心素养做出明确的界定：数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现.它是在数学学习的过程中逐步形成的，包括数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模和数据分析六大要素.

这两年（2016～2017）高考数学命题的趋势已经悄然地转向聚焦数学核心素养，试题重点考查学生的数学核心素养水平，呈现新的特征.下面，我们借助对2016～2017年江苏高考數学试题的分析，研究聚焦数学核心素养的高考数学试题的结构特征，探索性地提出教学建议.

一、数学抽象的考查

例1 （2016年第20题）记[U={1，2，…，100}.] 对数列{an}和U的子集T，若T=[Φ]，定义ST=0；若T=[{t1，t2，…，tk}]，定义ST=[at1+at2+…+atk].现设{an}是公比为3的等比数列，当[T={2，4}]时，ST=30.（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意的正整数[k（1≤k≤100）]，若[T?{1，2，…，k}]，求证：[ST

例2 （2017年第14题）f（x）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1]上，[f（x）=x2， x∈D，x， x?D，]其中[D]=[{x|x=n-1n ，n∈N?}]，方程f（x）[-]lgx=0的解的个数是 .

结构特征：这两题都是将数列、函数等核心概念与集合相结合，构造的数学对象具有高度的抽象性，考查学生的数学抽象核心素养，如例1中的[SC，SD，SC?D]，例2中的f（x）.

教学建议：（1）首先，在平时的概念教学中，必须让学生经历数学核心概念的形成过程，学生要“悟透”概念的本质特征，在大脑中形成清晰的认知结构；（2）解决抽象问题的关键是化抽象为直观，要引导学生恰当地“表征”问题.表征即问题在大脑中是如何表现出来的[1]，是大脑对问题包含的信息进行加工和重构后形成的对问题的本质特征的认知和表达.为使这种认知和表达简洁而清晰，有利于分析和解决问题，应尽可能选用数学的语言、工具和结构或者熟悉的实物表示.例如，我们将上面两题中的[SC，SD，SC?D]和f（x）分别用图1、图2表示.

由图1易得“[SC≥SD]”等价于“[SE≥SF]”，“[SC+SC?D≥2SD]”等价于“[SE≥2SF]”，其中，[E=C??UD]，[F=D??UC].图2是函数f（x）一个周期的图象（本题表征的关键），通过平移可得区间（0，10]上的图象，“f（x）-lgx=0的解的个数”等价于“函数y=f（x）与函数y = lgx在（0，10]上的图象的交点的个数”.

二、逻辑推理的考查

例1略解：（1）[an=3n-1].（2）[ST≤a1+a2+…ak=3k-12<3k=ak+1.]

（3）当[E=Φ]或[F=Φ]时，易证[SE≥2SF]；当[E≠Φ]且[F≠Φ]时，设k，l分别为E，F中的最大数，则[3k=ak+1>SE≥SF≥al=3l-1]，[k>l-1]，又易知[k≠l]，所以[k≥l+1].

[2SF≤2（a1+a2+…+al）=3l-1<3l≤3k-1=ak≤SE]，即[SE≥2SF].综上，[SE≥2SF]，

[（SE+SC?D）+SC?D≥2（SF+SC?D）]，即[SC+SC?D≥2SD].

例2略解：数形结合知在区间[1，2）上，函数y= lgx与函数f（x）的图象有唯一交点（1，0）；在区间[2，3）上，设函数y= lgx与函数f（x）上部分图象交点的横坐标为[x0]，则[lgx0=（x0-2）2]，[x0]=[10（x0-2）2]，由[x0-2∈D]且为有理数知，左边的[x0]为有理数，右边为无理数，矛盾，交点不存在，函数y= lgx只与函数f（x）下部分图象有一个交点.同理可得在区间[3，4），…，[8，9）上各有1个交点，共8个.

结构特征：（1）推理的起点是数学核心概念，如集合、数列、不等式、函数与方程、周期、数系等；（2）推理的执行需要具备数学基本技能，如画（作）图、集合的运算、数列的求和、不等式的证明、比较大小、周期性的应用、矛盾分析法等；（3）推理的方法源于数学基本思想，如数形结合、分类讨论、转化、极端化、函数与方程思想、矛盾思想、对应思想等.

教学建议：（1）核心概念的教学，必须留给学生充分的“思辨”时间，学生必须理解清楚数学核心概念的内涵和外延，理解概念之间、概念和建立在它本身基础上的命题之间的关联；（2）摒弃“题海战术”，开启“精准练习”模式，掌握“通性通法”；（3）结合特定的问题，引导学生感悟数学基本思想，这是学生数学素养的养成和解题能力提升的关键，是数学教学活动的点睛之处.

考查逻辑推理的试题很多，由于文章篇幅有限，不再列举.我们把2016～2017年江苏高考数学试题涉及的数学基本思想罗列如下：数形结合、分类讨论、转化、函数与方程思想、概率与统计思想、归纳与类比思想、分析与综合思想、特殊化与一般化思想、整体与局部思想、猜想与论证思想、坐标思想（直角坐标、空间坐标、向量坐标、极坐标等）、极端化思想（极端、极限或临界情形，最大化，最小化等）、有序化思想、矛盾思想、对应思想、消元思想、算两次思想、补集思想、递推思想、对称思想、变换思想、组合思想、模型思想等.我们建议教师可以尝试以这些基本思想为主题开设系列专题课.

三、数学运算的考查

例3 （2016年第13题）在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，[BC]·[CA=4]，[BF·][CF=-4]，则[BE·CE]的值是 .（图略，下同）

例4 （2017年第12题）平面内向量[OA]，[OB]，[OC]的模分别为1，1，[2]，[OA]与[OC]的夹角为[α]，tan[α]=7，[OB]与[OC]的夹角为45°.若[OC]=m[OA]+n[OB]，则m+n= .

例5 （2017年第17题）椭圆E：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点为F1，F2，离心率为[12]，准线之间的距离为8.点P在椭圆E上且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

结构特征：（1）运算的方法是关键，如例3，关键是要把向量用基底表示，归根结底考查的是向量的一个核心运算思想——坐标思想，例4也可用坐标思想；例5考查的主要是方程思想；（2）运算的方向（从哪里开始算，往哪里算）需要探究，如例5，可以选择设点P的坐标，从点P开始往点Q算，也可以选择其他的方向；（3）运算的执行需要熟练運用公式、一定的技巧、耐心、细心，轻松地算出结果不容易，如例4、例5；（4）解析几何题，如例5以及2016年第18题，题目的结构很“简明”，都是以基本对象（如椭圆、圆、直线等）和基本特征（如焦点、离心率、准线、交点、弦、平行、垂直等）为元素进行“简明的组合”而成，考查的是基本运算，但对运算素养的要求较高.

教学建议：（1）数学运算的方法源自数学运算基本思想，在平时的教学过程中，教师要引导学生感悟数学运算的基本思想，如坐标思想、函数思想、方程思想、整体思想、换元思想、消元思想、参数思想、类比思想、对称思想、递推思想等；（2）不管是运算方法的选择，还是运算方向的探究，一是靠“经验”，二是靠“灵感”，三是靠“试误”，试误即不断地尝试和改进，最后成功，它是探究活动的形式和特征；（3）在一定量的运算训练中，提高数学运算的熟练程度，发现技巧，培养耐心和细心的习惯等；（4）摒弃“繁、难、偏”的题型，在提高学生基本运算的素养上下功夫.

四、直观想象的考查

直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、