构造法在高中数学解题中运用的分析及研究

陈泓熹

【摘要】高中数学是我们学习的主要学科之一，提升数学学习水平的重要途径，一方面，是掌握数学公式和基础知识，另一方面，则在于数学解题思维的培养.本文主要分析了构造法在数学解题中的应用，并通过例题的方式对实际应用进行了解析，目的在于提高我们高中学生数学综合素质.

【关键词】高中；数学；解题；构造法

数学是高中阶段的一门基础学科，随着学段的不断增加，数学难度也越来越高，所以解题难则是我们高中生一直以来面临的问题.基于此，构造法便在高中数学解题中得以普遍运用.利用构造法，可以使抽象的数学问题形象化，降低数学问题的难度，调动学生学习数学的积极性，树立自信心.下文便以构造法为前提，分析其在数学解题中的具体应用.

一、构造法概述

（一）构造法

构造法即根据已知数学解题形式，利用一定的解题步骤进行数学问题求解的方法[1].一般学生在求解问题时，都将会形成思维定式，善于从正面思考问题，按照问题中的已知条件逐步推出答案，但是这一方法并不是适用于所有的问题，所以需要更换思维方向才能够顺利完成解题，而构造法的应用，便能够满足以上要求.

（二）数学构造法

数学构造法即数学学习以及解题过程中，所使用的重要方法，学生在求解数学问题的过程中，若一直按照以往的思维方法无法获得答案，便需要更换思考方向，利用反向思维发现问题中已知条件、数量等，突破正向思维的限制，建立一个全新的问题形式，从而将问题重新展现出来，进而达到降低数学问题难度的目的[2].数学构造法在数学解题中的应用非常普遍，其本身也体现了多样化、灵活以及创新等优势.和传统数学思维不同之处在于，数学构造法应用的重点体现在“创新”.

二、高中数学解题中构造法的运用

进行数学问题求解时，构造法已经得到了学生普遍的应用，在应用的过程中，最为经典的便是构造辅助函数法、构造方程法等.

（一）方程构造法

所谓方程构造法，是高中数学习题求解过程中使用效率最高的构造法之一.方程式对高中生而言十分常见，且方程本身作为数学的一项关键内容，也和函数等其他知识关联非常紧密.通过题型、已知数量关系以及结构特点，假设建立等量性公式，对几个不同的未知量存在的相互联系和方程式等量关系进行分析，并使用恒等式多角度变形这一方法，使数学习题内所包含的抽象内容转变为特殊、实质的内容，以提高学生数学解题的速度与质量.此外，运用方程构造法求解数学习题，也能够有效提高学生的观察能力和思维能力.

例1 设a，b，c为实数，若（a+c）（a+b+c）<0，证明（b-c）2>4a（a+b+c）.

解析 所证不等式（b-c）2-4a（a+b+c）>0，由此可联想到一元二次方程根的判别式，即b2-4ac，由此便可以构造二次函数f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只需要证明方程f（x）=0有两根，或者是f（x）和x轴相交即可.

当a=0时，由已知条件可得b≠c，反之，若b=c，那么c（b+c）<02b2<0则不成立.当a≠0时，设f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），因为f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c），由已知（a+c）（a+b+c）<0，所以，f（0）·f（-1）<0，所以二次函数f（x）图像和x轴相交，所以Δ=（b-c）2-4a（a+b+c）>0，即（b-c）2>4a（a+b+c）.

由此可知，通过方程构造法进行高中数学习题求解，可以降低数学题的难度，提高学生思维能力与观察能力，实现数学学习水平的提升.

（二）函数构造法

函数是高中数学领域内的一项重要内容，并且和方程一起构成了高中数学两大基础性结构.通过函数构造法求解数学习题，可以有效培养学生解题思维，使学生将学习到的知识运用到实际解题中[3].学生除了要学会解题技巧之外，也要培养解题思维，这是数学习题求解过程的主线.所有的数学习题中，代数习题与几何习题都包含了函数思想，因此，对这些这类题目进行求解时，便可以运用函数构造法，将难度大的数学问题转变成为比较简单的函数问题，再对其进行求解，在转化的过程中，学生思维与创新性也得到了提升.

例2 已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

解析 通过分析可知，本题的条件和结论都体现了对称性，所以很难直接证明，可以采用函数构造法进行求解.

证明 构造函数f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）.（是否需要详细说明，最好用分析法证明不等式的思想）

∵y，z∈（0，1），

∴f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）>0，f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）=yz>0，而f（x）是一次函数，其图像是直线.

∴由x∈（0，1）恒有f（x）>0，即（y+z-1）x+（yz-y-z+1）>0，整理可得x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

三、结束语

综上所述，构造法在高中数学解题中的应用，既能够降低习题难度，改变数学题的抽象特点，也可以培养学生的数学思维、创新能力，使学生的数学学习能力得到提升，为今后数学知识的学习以及习题的求解奠定了扎实的基础.

【参考文献】

[1]张帆.浅谈在高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].科技资讯，2011（12）：175.

[2]任海莉.浅谈构造法在数学解题中的优点和作用[J].科技资讯，2011（33）：166.

[3]杨燕.浅析构造法在高中数学解题中的应用[J].读与写（教育教學刊），2016（9）：112.