跨越学科的边界，从数学教学走向数学教育——以“平均数的再认识”教学为例

◇李京华

课堂教学应通过真实的问题情境，鼓励学生在现实挑战中发现知识、学习知识、运用知识，建立新旧知识之间的必然联系。而知识的综合逐渐成为世界科技发展的主导趋势，综合交叉学科已经成了创新的重要来源。通过跨学科、跨领域的方式，构建以解决现实问题为目的的多学科整合学习，弥合分科教学对学生认识知识的割裂，让教育回归自然，让深度学习自然发生。

一、重构单元教学内容，着重培育学生的公民意识

“平均数的再认识”一课是北师大版教材五年级下册“统计与概率”部分的内容。教材中本节课分两大块内容：一是通过讨论1.2米免票线的合理性，体会平均数的代表性；二是通过歌唱比赛打分的情境，让学生体悟有时去掉极值再求平均数，能更好地代表一组数据的平均水平。免票线的情境是现实存在的社会现象，蕴含着丰富的育人功能，能够激发学生的社会参与意识，培养学生的责任感与担当意识，这在数学学习中非常难得！作为一名教育工作者，我们要充分利用教材提供的好情境，尽可能发挥它的教育意义。通过五年的学习，学生已经经历了大量的统计活动，积累了丰富的收集、整理、表示数据的经验及初步分析数据的经验。对平均数的再认识，本课是基于对“身高不足1.2米的儿童免费乘车”这一规定的由来及解释其合理性展开学习的。那么，学生是否愿意讨论此问题呢？我对五年级27名学生进行了调查。

1.你知道在北京身高多少以下的儿童可以免票乘坐公交、地铁吗？

A.不知道 B.知道，身高（ ）以下的儿童可以免票乘坐公交、地铁

2.你知道我国身高多少以下的儿童可以免票乘坐火车吗？

A.不知道 B.知道，身高（ ）以下的儿童可以免票乘坐火车

3.你想了解有关免票线的事情吗？简单写写理由。

调查结果统计如下：

表1 “北京公交、地铁免票线”调查统计表

表2 “全国火车免票线”调查统计表

由上面的数据我们可以看出，学生对免票线这一社会事件并不了解，北京公交、地铁免票线是1.3米，正确率只有7.4%；全国火车免票线1.2米，正确率也只有40.7%。而对是否想了解关于免票线的事情，学生的回答更加出乎我们的意料：

表3 “是否想了解有关免票线的事情”调查统计表

面对一个自己刚刚经历过的社会事件，学生了解的正确率如此之低，近一半的学生却选择并不想了解这些事情了，因为已经与其无关。面对学生的回答，我的内心受到了极大的触动！中国学生发展核心素养是以培养“全面发展的人”为核心的，而一个全面发展的人，他的社会参与和自主发展、文化底蕴是同等重要的！我们的数学课，不能仅仅定位在让学生会去掉最高分和最低分再算平均数，我们有义务、有责任让学生意识到自己的责任担当！那么“1.2米免票线是否合理”这一问题，就自然融合了品德与社会的内容。依据对教材以及学生的分析和思考，我们重新构建了“平均数的再认识”单元教学，结构如下：

第一课时由思想品德老师和数学老师联合教学，激发学生的责任担当，确定解决“1.2米免票线是否合理”这一问题的流程，讨论收集数据的方法，布置收集数据的作业。

第二课时由数学老师教学，引导学生共同分析数据，做出决策。当然，课上我们讨论的是分析方法。由于数据的局限性，并不能真正得到结论，还需要扩大样本继续研究。因为这次的样本应该是全国范围内的，需要老师、同学甚至家长协同完成。

第三课时由语文、数学和思想品德老师联合教学，借助数学上的分析结果，运用适当的表达方式撰写提案，提交有关部门。

二、应用知识解决问题，培养学生的科学精神

“平均数的再认识”一课承载着培养学生数据分析观念的功能。面对“1.2米免票线是否合理”这一问题情境，学生需要经历调查、收集数据、分析数据、做出决策的全过程。

在解决“1.2米免票线是否合理”这一问题的过程中，学生调查研究的意识，对数据来源、处理、结果进行合理质疑的意识，尊重事实的态度，及用数据说话的习惯都能得到很好的体现，这势必会催生学生实事求是的科学精神。

师：大家都调查了吗？谁来说说你是怎么调查的？调查了几个数据？

生：我调查了4个人，我是问的方式，我问了一些7岁的小学生。

师：我们要调查几岁的？

生：6岁的，但是差不多，我调查的身高是1.27米。

师：他说了一个词“差不多”，大家怎么看？

生：我觉得如果只是差不多的话，数据会不准确，不能作为证据，不适合做一个给国家的提案。

师：应该要什么样的数据呢？

生：准确的。

生：真实的。

教师小结：对，我们要真实准确的数据，没有了这个前提，我们的提案就没有意义了。如果你缺少数据的话，老师也调查了一些，一会儿可以提供给你。

师：想一想这个1.2米的免票线到底合不合理？

生：合理。

生：不合理。

师：说说你的想法和需求？

生：数据还太少。

师：仅仅是数据太少吗？还有没有别的想法？

生：我认为这些都是北京地区的，有些地区人比较高，有些地区人比较矮。

师：是啊，调查数据时还要考虑区域。

师：根据目前的数据你能做提案了吗？

生：不能，需要扩大调查范围，重新调查，再做分析。

三、明晰概念的本质，提升数学素养

1.了解同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。

师：请大家仔细观察自己收集上来的这些数据，是否能解决1.2米免票线合理不合理的问题，说说你的想法。

生1：我调查的是6岁儿童的身高，可以求出平均数看合不合适。

生2∶我调查的身高可能比较凑巧,数据都很高,全都超了,一看这些数据就觉得1.2米免票线不太合理,最矮的是1.28米。

生3∶我调查了10个人,其中6个人可以享受这个免票待遇,按比例就是6∶4,所以我觉得1.2米免票线还是合理的。

生4：我想选一个范围，到街上调查一些行人，问问1.2米免票线是否合理，然后做出判断。

生5：可以像比赛那样，评分时几个评委一起打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下的再求平均数。

师：面对这么多的方法，你有什么想法？还有什么问题？四人小组讨论讨论。

组1：我觉得生5的方法比较可行，因为最低的和最高的差太多了，应该去掉最低和最高的再求平均值。

师：为什么想到去掉最高的和最低的呢？

组1：如果不去掉最低的和最高的身高，这个身高可能到另一个年龄段了。

师：你认为它（极端数据）对平均数产生了干扰。

生1：我想对他们的结论进行反驳，全北京的儿童有这么多，你怎么知道你去掉的是最高的身高呢？可能有极端的1.35米和1.34米，你把1.35米去掉有什么意义呢？

生1：我觉得数一数谁最多比较好，大部分人都超过了1.3米就要改，大部分人都没超过就不用改了。

生2：我想给他一点补充，他这样想应该是将这个免票线设在最普遍的群体上。

师：你觉得这个免票线应该代表大多数人。

生3：我觉得每个人的数据在一定程度上都是不太准确的，如果你找到的都是一点三几米的数据，你是不能这么武断地说1.2米的免票线是不合理的。也有可能你找了好多是那种特别矮的，超过1.2米的人非常少，也不能说1.2米是合理的。

师：简单说一下你的观点。

生3：我觉得应该取平均数，而且要取多数人的平均数，数据要尽量的多，这样才能保证越接近实际情况。

2.在运用平均数解决问题的过程中，发现平均数很灵敏。

在数据较少时，平均数受极端数据影响较大。在对极端数据处理方法讨论的过程中，学生逐步意识到当数据足够多时，极值对平均数的影响就不那么明显了，加深了学生对平均数的再认识。

师：在刚才的讨论中，大多数同学选择了平均数。接下来就按你们说的，扩大点儿数据，两人一组，借助平板电脑算一算收集到的6岁儿童的平均身高。思考：平均数是否能代表你们组身高数据的整体水平，帮我们做出判断？

生：我把我们得到的数据输入平板电脑，发现平均数是121.6厘米，比120厘米大，我们还发现大部分数据都大于120厘米，所以我们认为120厘米的免票线不合理。

师：看了他们的这组数据，你们有什么问题吗？

生：我觉得138厘米这个数据不太合理，好像太高了。（如图1）

生：我觉得也有可能有138厘米身高的，比较特殊罢了。

图1

师：那么，121.6厘米能不能代表这一组数据的总体水平呢？

生：我还是建议去掉138厘米再算平均数，因为138厘米太高了。

师：去掉这个极端数据，再算一下平均数。

生：平均数变成120.429厘米了。

师：让我们动态看一下去掉138厘米前后的变化，思考该不该去掉呢？

生：我觉得应该去掉，去掉后平均数依然大于1.2米，所以我认为免票线不合理。

生：我觉得去不去掉都可以，因为多数人还是高于1.2米。

师：有人认为应该去掉，有人不认同，这个问题我们暂时存在这里。

师：还有哪组愿意说一些你们的数据？

生：我们合起来的数据共有30个，平均身高是114.821厘米，不超过1.2米，在这30个数据中，只有三四个超过了1.2米，我觉得1.2米免票线是比较合理的。

生：我们组调查的人的平均身高是123厘米，只有4个人的身高没有超过1.2米，其他都超过了。（如图2）

图2

师∶大家观察一下这组平均数在发生变化，有什么变化呢？（如图3）

图3

生：我发现不管加不加后边的数据，平均数都在1.2米旁边游荡，低于1.2米的很少，一般都比1.2米高一点。

师：你的意思是当数据足够多时平均数就在一个数值左右徘徊，趋于稳定，就能够代表大多数人的身高水平。跟我们最开始的初衷是否一致？

生：我觉得并不是因为他们的身高都在1.2米左右，而是因为加上的数越来越多时，平均数的变化就比较小了，数多了比较可靠。

师：现在我把这些数据一个一个删除，再按回车键看一下平均数动态的变化过程。思考：这个平均数敏感吗？稳定吗？

生：它稳定保持在一个阶段，摆动不是特别大，敏感的是只要加一个数它就会变化，就算是很小很小的数，它也会变化。

师：说明每个数都有它的意义、价值和影响。师：在什么情况下稳定呢？

生：在人多时。

师：当数据多了，它就稳定在一个值的左右，就能代表这组数据的平均水平了。

师：我们再看之前的138厘米，要不要去掉呢？

生：不能去掉，因为刚才讨论过了，每个数都有它的意义。

生：当数据足够多时影响就小了，就不用去掉了。

总之，“平均数的再认识”这节课，始终围绕着“1.2米免票线是否合理”这一现实问题展开讨论，在解决这个问题的过程中，学生自然而然地想到要调查、收集数据、分析数据、做出决策，从而解决问题。在解决问题的过程中，鼓励学生亲近数据，愿意用数据说话，能从数据中提取一些信息，而在用数据的过程中，自然想到平均数，在对极端数据处理方法的讨论中，深入理解平均数的代表性，感受平均数的价值，数据分析观念和应用意识自然而然地融入学生的思维中，落实了对数据分析观念及应用意识的培养。