基于培养学生几何直观素养的策略探究

易月

摘 要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》中10个核心词中明确指出“几何直观”，同时也多次提出几何直观的相关问题.作为一线教师，在平时的数学教学过程中，多给学生展现一些直观图形，多让学生尝试画图，可以让学生更好地理解抽象的概念，更好地理解题意，探索问题解决的思路；也能更好地帮助学生开拓思维，培养几何直观素养，提高数学核心素养.从看图体会几何直观、画图培养几何直观、构图建立几何直观三方面探究如何提高初中生的几何直观素养.

关键词：数学教学；几何直观；形象思维；问题解决

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在《义务教育数学课程标准（实验稿）》中6个关键词（数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力）的基础上变化为10个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，其中就增加了几何直观一词.同时在总目标四个方面的具体阐述中明确指出“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维”.在学段目标的第三学段（7～9年级）数学思考中也明确指出“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”.明确提出几何直观这一素养，这无疑是给我们的数学教学下达了一个重要指示，“几何直观素养”是初中学生的一种基本素养，说明培养学生的几何直观素养是数学教学过程中的重要目的之一，也是提高学生数学核心素养的重要方向之一.

在新课标实施的今天，在培养综合素质人才的今天，关于几何直观素养要求的问题，在数学课程改革中被明确提出，同时也得到改革者的格外关注.著名哲学家加里宁曾说过：“数学是思维的体操.”此话说得非常精辟，因为数学无时无处不体现思维，而几何直观就是数学思维活动的一种体现，也是人们在学习和生活中经常用于解决问题的一种有效途径.

一、几何直观的重要意义

什么是几何直观呢？在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解決问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”

我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观.”蒋文蔚也指出：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”同时，几何直观是一种创造性思维，是一种重要的数学解题手段，在解决数学问题的过程中起到不可磨灭的作用；几何直观是认识事物的基础，有助于学生对数学问题的理解.借助几何直观，可以帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论，从而形成良好的数学思维品质.

二、初中学生几何直观素养的现状与分析

初中学生在面对较复杂的数学问题时，会显得无所适从，不知道如何去解决.主要表现为：

1.不理解题意，弄不清楚题目的意思，不知道要解决什么问题，目标是什么.

2.知道要解决什么问题，但是不知道怎么去解决.

3.在解决问题的途中，碰到了繁杂的运算或走进“死胡同”，寻找不到有效而便捷的方法.

作为一线教师，在平时的教学中时常发现，在面对复杂的数学问题时，还存在着这样的现象，即使教师作了一定的讲解，一部分学生还是不能理解；或者当时理解了，一段时间后遇到类似的问题又不会解决了.这些现象时刻提醒着我们教师，课堂教学中似乎缺少些直观形象的教学途径，学生在解决问题时，很少从“形”的角度去思考；没有体会到直观图形为理解问题、寻求解题思路带来的快捷；也似乎缺少化繁为简的方法和能力.因而，我们需要培养学生的几何直观素养，把复杂的数学问题变得简明、生动形象，有助于理解题意，探索问题解决的思路，预测结果，从而达到解决问题的目的.当然，部分老师在数学教学的过程中，重视培养学生的逻辑推理、应用意识和创新意识等素养，而往往忽视了几何直观素养的培养.

三、培养学生几何直观素养的实践策略

（一）在已知图形的分析过程中，感知几何直观

何谓直观，就是用感官直接感受的，直接观察的.在几何中有许多定义，函数中有许多性质，对于学生来说很难记忆、难以理解，这时我们就需要用图形直观地展示在他们面前，让他们用直观的感觉来体会相关的定义、性质，使数学的教与学变得形象生动，有利于激发学生的学习兴趣，提高学习效率.

1.在抽象概念的学习中感知几何直观

数学的许多概念很抽象，难以理解，这时候就需要让学生通过直接感受、观察体会出来.在浙教版的教材编排中有许多概念，就是通过具体实物模型或者观察实例直观感知，引出相关的概念、定义、公式或性质.

比如，在七年级上册第6章“图形的初步知识”中，我们就利用生活中的黑板、平静的湖面等直观地给学生平面的印象，篮球、油桶、烟囱等的表面给他们曲面的印象，在这里学生只需凭直观来认识就行了，但同时应深入浅出地突出平面的本质意义：一是平的，二是可以无限伸展的。在七年级下册第1章“图形的平移”这一课时中，也是采用直观的方法引出平移的概念，从而观察总结出平移的性质.

又如，在八年级下册第3章“方差和标准差”这一课时中，教练如何选拔射击手参加射击比赛，我们可以简化这一问题，试以下面两组数据为例，思考解决办法.甲、乙两位运动员在射击选拔比赛中，各射击10次，成绩如下表（单位：环）：

为了稳中求胜，需要选择一名稳定的射击手去参加比赛，谁去更合适呢？

这就是一个方差的大小比较问题，但初学者很难理解如何用方差去判断波动的大小，我们可以这样设计：请同学们以射击次序为横坐标，对应成绩为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，借助图形的直观性，很容易分析这两组数据的稳定性.同时学生对于“方差”概念的认识也有一个提升，直观感受到，方差越大，波动越大，越不稳定.

再如，在七年级下册第3章“乘法公式”这一课时中，教材中为了让学生加深对公式的理解，利用几何背景图，让学生根据两个图形的面积的等量关系直观地体会公式的几何意义.

2.在动态演示的过程中感知几何直观

在数学教学中，许多时候会遇到动态问题，这时就需要运用多媒体技术，如几何画板，给学生演示动画效果，让学生根据动画效果直观感知数学问题的运动过程，同时分析清楚题意，明确解题方向.

如，在九年级下册第2章“直线与圆的位置关系”这一课时中，先给学生看海上日出的动态图片，在这个过程中，让学生直观感受三种不同的场景，然后再把太阳与海平面抽象成圆和直线，从而得到直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.

再如，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）.如图3，若曲线y=（x>0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是______.

对于此题，老师通过几何画板的动态演示，学生很容易观察发现，在正方形与曲线相交的临界点之间就是所求范围，即点A在曲线上和点C在曲线上时，也就是在这之间曲线与正方形都有交点，这样问题就迎刃而解了.

在“图形与几何”这部分课程中，有许多案例都可以通过动画演示让学生感受到几何直观，从而为概念、定义、定理的学习奠定一定的基础.借助“几何画板”的演示，让学生直观、形象、动态地感受几何直观，扎实地掌握基础知识.

3.在大胆猜测的探索中感知几何直观

“没有大胆的猜测就做不出伟大的发现.”其实在解决许多几何问题时，我们也常常需要大胆猜测，凭直观感觉去猜想相关结论，然后用推理的方法论证猜想的正确性，从而达成通过直观想象发现数学问题的本质，进而找到解决数学问题的方法.

比如，如图4，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE=BE.（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求AD的值.

对于三角形，学生的猜想结果不相同，主要有兩种猜想：等边三角形和等腰三角形.接下来，就需要验证到底哪种猜想正确.因为猜想有可能正确，也有可能错误，这就需要进行严谨科学的求证.

又如，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）.（1）如图5，求点C的坐标；（2）如图6，连接PA，PC.若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化？若不变求出其值；若发生变化，求出变化的范围。

本题第（2）小题，许多学生没有头绪，他们就会把图中已知线段的长度找出来，猜测AQ的长度与它们有什么关系.这时教师就要鼓励他们大胆猜测，AQ到底可能是多少？并且引导若相等则需要证明什么即可，用分析法来执果索因，寻找结论正确的条件，从而证明自己猜想的正确性.

猜测是人们心理上一种因为好奇或本能的探测思维定向，根据不明确的思维路线来寻找答案的行为.我们就需要利用直观给我们带来的感觉，大胆猜测，小心求证，这也是解决数学问题的一种常用而有效的方法.同时，学生也能从猜想的乐趣中走向创新，培养创新意识.

（二）在根据已知条件画出图形的分析过程中，培养几何直观

从学生的学习反馈中了解到，学生遇到的困难是不愿意画图，嫌麻烦；或者不知道用画图的方式去理解题意，寻找解题策略；又或者有画图意识，但是没画出问题解决所需要的图形.几何直观洞察力在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，通过画图可以使复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路.因此，教师要有意识地培养学生动手画图的能力，让他们在纸上不断地试画，不断地比较，逐步画出符合要求的图形.

1.在动手尝试画图中培养几何直观

初中数学中“尺规作图”是一项基本技能，是数学美的一种直观形式的表现，也是我们启发学生创新思维的重要工具.然而，许多学生掌握了尺规作图中的基本作图，但是利用基本作图作稍稍复杂一点的图形，就不知道如何用尺规作图了.

比如，如图7，已知线段a、b以及∠а，求作△ABC，使得AB=a，AC=b，∠A=∠а.

像这类作图题，我们教师要引导学生在草稿本上假想图形已经作好（即△ABC已经存在），然后，分析哪些边已知，哪些角已知，我们能用直尺和圆规作出来（AB、AC以及∠A可以作出来），再看看作出这些要素的先后顺序（先作角，确定点A位置，再在角两边截取线段AB=a，AC=b，这时点B、点C位置也确定了，最后连结BC）.

2.在图形的变换中培养几何直观

我们常常遇到这样的情况，一个问题出来，而且没有图形，学生就不知道从何处下笔，怎么来处理这个问题，这就需要我们从已知条件出发，通过画出图形，直观地展现在他们面前，帮助他们解决问题.

比如，如图8，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？

蚂蚁爬行的路线在圆锥的侧面上，而侧面是一个曲面，在曲面上求爬行的最短路程很困难，但是我们只要把圆锥侧面展开图画出来，转化为平面上两点间的距离就简单多了，很直观地知道利用“两点间线段最短”就能很好解决了！

又如：已知函数y=（x-1）2-1（x≤3）（x-5）2-1（x>3），若使y=k成立的x的值恰好有三个，则k的值为（ ）

A.0 B.1 C. 2 D. 3

本题我们若用分类讨论的方法去求解比较麻烦，也比较繁.

函数问题常常通过画出图象，用直观的视觉效果去研究就比较简单了.我们可以画出y=（x-1）2-1（x≤3）（x-5）2-1（x>3）的函数图象，而y=k是一条平行于x轴的直线，再利用动画平移直线y=k，要求满足条件的x的值的个数就是看两个图象交点的个数，学生就会很清楚地得出结果.

3.在图形的不确定中培养几何直观

有些学生也有用图形去分析解决问题的意识，但是由于图形的不确定性，导致考虑不完整，解答遗漏.这就需要教师在教学中让学生不断试画，不断完善，逐步形成符合要求且完整的图形.

如，如图10，王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积.

同学们看完题目后，肯定知道画出图形求解，但一般同学容易忽视顶角为钝角的情况，所以画图时存在不确定因素的情况下，要注意分情况进行讨论，避免遗漏，答案不完整.

再如，2014年杭州中考题第16题，点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H.若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于_____.（长度单位）

此题很难一次性画出正确的图，开始一般会先画出这样的草图：A、B、C三点大致等距分布在圆周上，图中都是线段（图11），明显未满足BH与AC的数量关系（BH=AC）这一条件，同时题目中两次垂直的交点，有大量的字母需要标注，如果平时相关知识掌握不到位，图形容易出现错误，这样解答时走弯路、费时间是不可避免的；另外，有的同学不会分析题意，漠视多次出现的“直线”一词，没有进行分类讨论，产生了“会而不对，对而不全”的现象.但在画出正确图形的情况下，学生也能更形象直观地分析题意，从而根据弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值等知识判断出“相似三角形”这关键的解题一步.

几何学习中，有意识地根据已知条件自己动手画图，积累基本经验，培养分析、发现、提出、解决问题的能力，提升自己数学文字语言和图形语言的相互转化能力.通过分类有助于学生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异，分类是探索数学研究对象性质的有效途径.特别是对于几何图形分类，更有利于培养几何直观性和思维的层次.

（三）在构造图形解决问题中，建立几何直观

构造思想是数学解题的一种重要思想，它可以建立已知与未知、条件与结论、数与形的关系.然而几何图形的构造，能直观地反映我们所要解决问题中数量之间的联系.借助图形帮助思考，常常会收到事半功倍的效果.

1.在解决代数问题中构造图形，建立几何直观

在数学问题中，我们还会遇到这样的情况，从题目表面上看是一个代数问题，并且若用代数的方法去解决，很复杂、很麻烦，计算量也很大，同时容易出错.许多同学可能还不知道从哪里开始思考，但是，如果我们换个角度思考，把它构造成几何图形，在图形给我们几何直观的感觉下，再利用相关的几何知识去求解，解题思路也就明了许多了，解题方法也就一目了然了.

如：求代数式y=+的最小值.

基础一般或者中等偏上水平的学生都会对此题一筹莫展，其实我们只要把这个问题转化为下面的问题，就会很直观也很清楚地求解出来.

如图13，MA⊥AB于A，NB⊥AB于B，AM=2，BN=3，AB=12，请在线段AB上找出一点C，使得MC+NC最小.

当然，此题还可以根据式子的特点，建立如图14坐标系后，问题就转化为：在x轴上求一点M，使得它到两点A（0，2）和B（12，3）的距离之和（即AM+BM）最小.

经过这样转化后，就成了求最值问题中的基本题型（两点在一条直线同侧的最值问题），大多数同学也会求解了.

再如，若实数x满足x3-x+2=0，则下列对x值的估计正确的是（ ）

A.-1

我们现有的知识，只学过一元一次方程和一元二次方程的求解.对于这种三次方程，简直是无从下手.这时，教师就要引導学生联想到方程与函数的关系，用函数的图象去估计方程的解的问题.于是，我们首先确定x=0不是方程的解，所以两边同时除以x，并变形得，x2-1=，再设y1=x2-1和y2=，在直角坐标系中画出两个函数的图象，两个图象的交点的横坐标即为估计的x的值.

代数问题转化为几何问题或者函数图象问题，巧妙地避开了繁琐的推导计算过程，无论在直观上还是解题过程中都达到了最优化.利用几何图形的直观性去帮助解决代数问题，很快化繁为简，化难为易，也让学生在解题的过程中，建立几何模型，加深对几何图形的理解，同时学会灵活运用数学思想——转化思想的方法.

2.在解决几何问题中构造图形，建立几何直观素养

图形本身就具有量的性质：线有长度，面有面积，体有体积.所以在几何问题的学习中，也有很多问题可以通过构造图形，将原来一般的抽象的量转化为具体的几何量，再结合相关的知识进行解题.

比如，已知图16中四边形ABCD、DCEF、FEGH都是正方形，求证∠1+∠2+∠3=90°.

这道题主要是利用相似三角形的相关知识进行求证，但是，似乎都没有图17这种构造更能显现出来“无字证明”的美！

又如，求以，，（其中a，b，c为正数）为三边的三角形的面积.

这道题，一般学生是无法求解的，并且没有任何的思路.于是，我们教师要作启发，“看到算术平方根以及根号里面有平方，你会想到什么呢？”这样的引导，对具有一定几何直观素养的学生来说就可以联想到勾股定理，我们就可以构造如图18所示的矩形，其中AB=2a，AD=2b，E、F分别是AB、AD的中点，则△EFC的三边分别是，，.由图可知，用矩形面积减去3个三角形的面积即为所求面积.

用构造图形的方法去解决复杂的数学问题，有时比其他的方法更加直观、简捷、明了，同时也不失数学需要的严谨性.根据题目的特点，联想与之相关的几何联系，构造适当的图形，将复杂的问题转化，化繁为简，化抽象为直观.将模糊不清的条件明了化，将错综复杂的关系条理化，这也是转化思想的重要性的再次体现.

四、建议与反思

学校教育的生命线就是教学质量，因此我们的研究要立足于教材，服务于中考.实践证明，在提高学生几何直观素养的同时，学生的解题能力有明显提高，导致教学质量也有大幅度提高.“用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题.”这是一种基本的数学素养.几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想.培养学生几何直观素养，是新教材的要求，也是提高学生数学核心素养的要求.

培养学生几何直观素养，对于学生学习数学，解决数学问题都有重大的意义.在教学过程中，教师要有意识地培养学生图形意识，利用几何直观对问题进行分析，在解决问题的过程中强化几何直观性.但学生几何直观素养的培养也不是一朝一夕的事，这是一个循序渐进的过程，所以教师应避免急于求成，这需要教师在初中三年的数学学习过程中长期灌输，在潜移默化中影响他们，在潜移默化中培养他们的几何直观素养，从而提高数学的核心素养.

参考文献：

[1]秦德生，孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考，2005（10）.

[2]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用[J].数学教育学报，1997（4）.

[3]苏建伟，李鹏.国内几何直观研究综述[J].海南广播电视大学学报，2017（1）.

[4]宋晓燕.初中代数教学中培养学生几何直观的实践研究[D].重庆师范大学，2013.

编辑 赵飞飞