对等差数列与等比数列的几点探讨

姚祥利

【摘 要】站在高等数学的角度上看等差数列与等比数列，探讨这两个特殊数列的联系。将本来离散的问题转化成连续问题研究，用生成函数方法将数列构造成一个整体，用极限方法求解无限数列的相关问题。

【关键词】等差数列；等比数列；生成函数

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2017）35-0019-002

Discussion on Pairs of Almost Difference and Equal Sequence

YAO Xiang-li

（Shou County， Huainan City， Anhui Province Elementary School， Hefei， Anhui 230000， China）

【Abstract】From the perspective of advanced mathematics， we can see the relationship between these two special sequences by looking at the arithmetic progression and the arithmetic progression. The originally discrete problem is transformed into a continuous problem study. The generating function method is used to construct the sequence as a whole， and the limit method is used to solve the problem of infinite series.

【Key words】Equal number series； Equal ratio series； Generate function

引例：圆木堆放成横截面为梯形，顶层有3根，底层有8根，每相邻两层相差1根，共6层，问这堆圆木有几根？

解法一：把每根圆木看成直径为1，这样堆积成的是一个上底为3，下底为8，高是6的梯形，求有多少根圆木可以看成求这个梯形面积：

S=■=33.

解法二：一个个相加

3+4+5+6+7+8=33.

在本题中我们可以发现：等差数列求和公式中的“首项”与“末项”相当于梯形面积公式中的“上底”与“下底”，“项数”相当于梯形的“高”.梯形面积公式与等差数列求和公式进行了完美的对接.

问题1：等差数列为离散型的，而梯形面积是连续的，为什么两者之间的类型不同却存在着相似性？它们之间的联系该如何建立？

已知等差數列：an=a1+（n-1）d，n∈N+.

不妨设d>0，故可建立宽为1，高为an，（n∈N+）的长方形小条，并建立坐标系，见图1.

此时，每个长方形小条的面积正好对于其高an，故等差数列an=a1+（n-1）d，n∈N+前n项求和可构造成n个长方形小条的面积求和.

当连接每个长方形小条上端中点并延长时，可得到一条直线y=a1-■+xd而此时，易发现长方形小条的面积总和等于梯形ABCO面积.

这时我们已将等差数列求和构造成面积问题.这个面积如何求？有两种方法：一种是用梯形面积公式，一种是用积分的方法.

方法一：利用用梯形面积公式：

|OA|=a1-■，|BC|=an+■（n>1），|OC|=n，

SABCD=■·|OC|=■·n=■·n.

方法二：因为y=a1-■+xd为连续的函数，故可积，

S=？蘩■■（a1-■+xd）dx=[（a1-■）x+■x2d]|■■=na1+■d.

由方法一与方法二得到的结果即是等差数列前n项求和的求和公式，这种将离散的数列问题转化成连续型面积问题是可行的.

问题2：等差数列求和公式Sn=■n中■与梯形（三角形）的中位线公式，均匀分布的期望，线段中点公式非常相似，那么它们之间是否有什么联系？

对于等差数列{a1，a2，a3，…an}，公差为d.

当n为奇数时，■（a1+an）=a■，即为a1，a2，a3，…an的中位数；

当n为偶数时，■（a1+an）=■（a■+a■），即为a1，a2，a3，…an的两个中位数的平均数.

（1）■与梯形（三角形）的中位线公式有什么关系呢？与线段中点公式又有什么联系呢？

图2

在图2中是一系列坐标为（n，an）的点，其中an=a1+（n-1）d，n∈N+，连接这些点，可得到一条直线y=a1-d+xd.对于？坌n∈N+且n>1，有点（n，an），过该点做x轴的垂线，过（1，a1）点做x轴的垂线可得到一个梯形.其中，上底为a1，下底为an.

梯形中位线长度=■.

当时a1=0，则上述梯形变为三角形，即三角形可看为上底为0的梯形，这种关系仍然存在.

同样的对于点（1，a1），（n，an）构成的线段上的中点为（■，■）.

（2）■与均匀分布的期望又有什么关系呢？

均匀分布的期望定义[1]：

设ζ～[a，b]，则Eζ=？蘩■■x.p（x）dx=？蘩■■x■dx=■.

因为ζ是连续型的随机变量，在区间上每点的概念都是相同的，它的期望正是它的均值.

对于数列{an}来说，■也是其均值.

不管数列{an}看成是离散的点或是线段，我们都可以在n有限的条件下，找到一个稳定的位置.endprint

问题3：等比数列求和时，n为有限数和n→∞，有无区别？

等比数列求和公式：

Sn=■，q≠1，

Sn=■=a1（1+q+q2+…+qn-1）

=>1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）.

这个等式a=1是时的一个常见的因式分解公式：

an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+…+bn-1），

且当q∈Z，q≠1时，（1-q）|（1-qn）.

数学分析中有几何级数（等比级数）[2]：■qn-1=1+q+q2+…+qn+….

这个几何级数■qn-1，正是首项为1，公比为q的等差数列（无限数列）求和.

当等比数列{an}为有限项时，我们直接可用求和公式；可若是{an}为无限数列时，我们就可以用运用部分和数列{Sn}，Sn=■ai，用级数理论[2]来求解.

故n→∞时，{an}的求和就可以转化为■ai=■Sn=■■a1.

问题4：当n→∞时，等比数列的求和公式与q有什么样的关系？

S=■Sn=■■a1，

当|q|≥1时，qn→∞（n→∞），故■a1→∞（n→∞），即S是分散的；

当|q|<1时，qn→0（n→∞），故■a1→■a1（n→∞），即S=■；

且当|q|<1时，我们可由洛朗展开式[3]得：1+q+q2+…=■，则S=a1（1+q+q2+…）=■.

故对于无限等比数列求和

S=∞，|q|≥1■，|q|<1.

問题5：由常数列{a，a，…}生成的函数[4]是幂函数：A（x）=a+ax+ax2+…，这个幂函数的形式与等比数列求和极其相似，那么它们之间是否存在联系？

由于只有收敛的幂级数才有解析意义，并可以作为函数进行各种运算，这样就有了级数收敛性的问题[4].故此时讨论的问题与问题3和问题4本质是一样的，主要用到收敛性.不同的是在该问题中，我们将数列{a，a，…}用幂级数A（x）=a+ax+ax2+…表示成一个整体.故当x取值为一个常数时，幂级数A（x）即为等比数列求和.

当{a，a，…a}为有限项时，其幂级数A（x）=a+ax+ax2+…+axn-1；

当{a，a，…}为无限项时，其幂级数A（x）=a+ax+ax2+…+axn-1+…，其结果与问题4相同.

小结：在本文中我们可以发现数学的各个知识点之间存在着许多联系.初等数学中的问题，可以用高等数学解决.同时，高等数学中的问题，也可以转化为初等数学中的问题.而我们要做的，就是深入的思考每个问题，找到并探索其中的关系.从而使数学问题之间的联系更加紧密，也可提高我们的数学素养.

【参考文献】

[1]魏宗舒.概率论与数理统计（第二版）.北京：高等教育出版社.2008.4.

[2]陈纪修.数学分析（第二版）.北京：高等教育出版社.2004.5.

[3]钟玉泉.复变函数论（第二版）.北京：高等教育出版社.2004.1.

[4]许胤龙，孙淑玲.组合数学引论（第2版）.合肥：中国科学技术大学出版社.2010.4.endprint