圆锥曲线常见问题突破方法

■河南省温县第一高级中学 李红根

例1 已知F1,F2分别是椭圆x2+2y2=2的左右焦点,P是椭圆上的一个动点,那么的最小值是( )。

解析:设P(x0,y0),则,所以因为点P在椭圆上,所以所以当时取最小值为2。

突破方法:在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系。

图1

(1)求该椭圆的标准方程。

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外。求△P P′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程。

(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0)。

又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则

设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到点Q的距离最小的点,因此,当x=x1时,①式取最小值。又因为x1∈(-4,4),所以当x=2x0时,②式取最小值,从而x1=2x0,且

由对称性知P′(x1,-y1),故|P P′|=|2y1|,故

突破方法:(1)求直线方程。由题意寻找确定该直线的两个条件,进而得到直线方程。(2)求面积。先确定图形的形状,再利用条件寻找确定面积的条件,进而得出面积的值。(3)判断图形的形状。可依据平行、垂直的条件判断边角关系,再依据距离公式得出边之间的关系。(4)弦长问题。利用根与系数的关系、弦长公式求解。(5)中点弦或弦的中点。一般利用点差法求解,注意判断直线与曲线是否相交。

例3 如图2,已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1)。

(1)求抛物线C的方程。

(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点。若直线A O,B O分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值。因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为

解析:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2p y(p＞0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y。

图2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线A B的方程为y=k x+1。

突破方法:对于直线与抛物线的综合问题,经常是将直线方程与抛物线方程联立,消去x(或y),利用方程的根与系数的关系求解,但一定要注意直线与抛物线相交的条件。

(1)求a,b的值;

(2)设过F2的直线l与C的左右两支分别交于A,B两点,且|A F1|=|B F1|,证明:|A F2|,|A B|,|B F2|成等比数列。

(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,

由|A F1|=|B F1|,得-(3x1+1)=3x2+1,即解得,从而

从而|A F2|·|B F2|=|A B|2,所以|A F2|,|A B|,|B F2|成等比数列。

突破方法:双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系。解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题。设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|A B|=