采用响应面法的圆盘造球机可靠性优化设计*

晏远志，杨金堂，万 欢，侯作义

(1.武汉科技大学 a.冶金装备及其控制教育部重点实验室；b.机械传动与制造工程湖北省重点实验室，武汉 430081；2.老河口市绿华环保科技有限公司，湖北 襄阳 441800)

0 引言

圆盘造球机是球团矿生产的重要设备，其性能优劣对球团矿生产的效率影响很大。对于质量庞大的造球机，轻量化能够有效地减小其转动惯量，降低能量损耗，降低成本，增加造球机的灵活性和稳定性，从而提高球团矿质量和生产效率。通过对造球机整体来看，盘体质量较大，直接会影响整机的工作性能，这表明有必要对造球机盘体结构进行优化以提升其工作性能。目前国内外对圆盘造球机的研究相对较少，郑东梅[1]分析了圆盘造球机的基本结构，并研究了某些运动学规律，何敬川[2]对圆盘造球机盘体进行了简单静力学分析，但是常规的运动学和强度分析已不能满足当前造球机的发展需要，因此有必要对其进行深入的研究，诸如对圆盘造球机盘体进行轻量化设计。本文轻量化设计的基本思想是以有限元分析为基础，通过建立数学模型，利用数值计算求取最优解的设计方法，对目标零件进行轻量化设计。本文以某公司的φ1800圆盘造球机盘体为研究对象，结合有限元分析和尺寸灵敏度分析方法[3-4]选定影响其性能的关键尺寸作为优化参数，以最大等效应力为约束条件，以盘体结构质量作为优化目标，使用响应面法[5]对盘体进行优化，使其结构更加合理；借助可靠性分析方法[6]对优化前后的盘体质量和最大等效应力进行可靠度计算，发现优化后其可靠性更高，这表明本次优化是合理可靠的。

1 盘体强度和静刚度分析

1.1 盘体静力学分析

某公司圆盘造球机整机结构如图1所示，由于造球机盘体的质量过大，将严重影响其工作性能，所以对其进行轻量化设计是本文的主要任务。为了方便生成球团，圆盘造球机的盘体一般具有一定的倾斜角度，即35°～55°。当盘体的倾角最小时(即35°)盘体底面所受的压力最大，此时可看作盘体工况最为恶劣的情况。本文通过有限元分析获取盘体的静刚度和强度，为后面的优化设计提供可靠的依据。根据盘体的实际工作状况和文献[2]，得出造球机工作时矿粉分布状态如图2所示。

图1 圆盘造球机整机结构图

图2 圆盘造球机工作时矿粉分布状态

计算盘体所受三种载荷分别为：矿石粉对盘体的底面产生的正压力N1=2755Pa；盘体的外壁所受的正压力N2=1714.8Pa；盘体成球区矿石粉所产生的载荷N3=1734Pa，盘体的边界条件情况如图3a所示；设置盘体的材料为Q235A钢(密度为7850kg/m3，弹性模量为206GPa，泊松比0.3)，划分好网格后，在盘体轴孔处施加固定约束，经过ANSYSWorkbench有限元分析软件，计算获得的应力云图和各方向的位移变形云图如图3、图4所示。

图3 盘体的边界条件、应力云图、总位移变形云图

1.2 盘体强度和静刚度校核

本文研究对象为圆盘造球机盘体，其结构材料为 Q235A钢，其屈服极限σs为235MPa。根据所施加的载荷情况和研究对象所用材料的选取情况，取安全系数n=2。再根据塑性材料许用应力计算公式：

σ=σs/n

(1)

计算得[σ]= 117.5MPa，由于34.5<[σ]，所以强度校核表明盘体结构满足强度条件。由图3中盘体在x、y、z三个方向上的静力变形值以及其所受外作用力大小，即可求出盘体在x、y、z三个方向上的静刚度值，计算结果如表1所示，由于盘体在Y方向上所受外载荷最大，这使得盘体在Y方向上的变形量最大，且刚度最差。因此，在对盘体结构进行优化时，应着重于提高其Y方向上的刚度值。

图4 盘体在X、Y、Z三个方向上的位移变形量

X方向Y方向Z方向最大变形量(mm)0．0290110．652190．012889刚度值(N/mm)3．34×1044．167×1037．519×104

通过以上静力学分析，得到盘体的应力云图和位移变形云图有关结果，说明当前建立的盘体模型在相应载荷下的应力和位移变化都较大程度地满足了性能要求，说明盘体在设计时使用的材料有些浪费，可以对盘体结构进行一定的优化，改变结构尺寸，在满足性能要求的前提下，减轻盘体结构重量。

2 盘体结构的优化设计

2.1 设计变量的选取

由于盘体尺寸参数对盘体结构质量和最大等效应力的贡献不同，而且在结构设计中，为减轻结构的质量，往往会改变其强度和刚度。本文提出一种基于灵敏度[7]分析来指导盘体优化设计的方法。灵敏度分析的数学意义为：对于函数，g=(x1,x2…xn)函数值g对变量xi变化的灵敏程度，即：

(2)

对于盘体结构参数的灵敏度分析，函数g可表示盘体结构的质量、最大等效应力等性能指标；变量xi为盘体的主要结构参数；灵敏度值S为结构参数变化对盘体性能指标的影响程度，然后对比较敏感的参数进行优化设计，避免了对盘体轻量化设计的盲目性，提高了优化效率。盘体的各个尺寸参数在盘体中的具体位置如图5所示。

图5 盘体尺寸位置简图

各待优化参数对应的参数符号、初值、范围如表2所示。

表2 选定尺寸的变化范围

2.1.1 盘体最大等效应力对其结构参数的灵敏度分析

利用第1节中的有限元分析方法，以P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7为结构参数，分析得到盘体的质量与结构参数关系，如图6所示。

图6 盘体质量与结构参数关系

对图6中的盘体质量与结构参数灵敏度曲线做二次函数拟合，所得到的盘体质量M，与各参数增量之间的函数关系为：

(3)

式中，ai，bi和ci，为拟合函数的系数；Δxi为各参数的增量。由式(2)对式(3)求导，计算得到盘体质量对各结构参数的灵敏度如下：

(4)

式中，Sσ为盘体质量对各参数的灵敏度，用矩阵形式可表示为：

Sm=LΔx+K

(5)

式中，Sm、L和K分别为式(5)中Sσ，2ai，bi的向量表示形式，对应的向量L，K分别为：

K=19.2540 8.7306 0.3136 2.0084 3.2416 0.7396 1.5390

将Δxi代入式(5)得盘体质量M对各结构参数的灵敏度矩阵为：

由上述灵敏度分析理论可知，盘体质量对各结构参数灵敏度的大小排序为：盘底板厚P1>盘外壁厚P2>条形肋板宽P5>条形肋板厚P4>圆肋板宽P7>圆肋板厚P6>轴孔厚P3。

2.1.2 盘体最大位移变形对其结构参数的灵敏度分析

盘体最大等效应力与各结构参数的灵敏度曲线如图7所示。

图7 盘体最大等效应力与结构参数关系

同理，可以计算出盘体最大等效应力对各结构参数的灵敏度矩阵为：

由此可知，盘体质量对各结构参数灵敏度的大小排序为：盘底板厚P1>条形肋板宽P5>条形肋板厚P4>圆肋板宽P7>圆肋板厚P6>盘外壁厚P2>轴孔厚P3。

综合Sm和Sσ的灵敏度计算结果可以看出，轴孔厚P3和圆肋板厚P6参数的变化对盘体的质量和最大等效应力的影响很小，可以忽略不计，因此本文选取P1、P2、P4、P5、P7为本次优化的设计变量。

2.2 响应面法优化

响应面优化方法是试验设计与数理统计相结合的方法，用于处理多个变量对一系统或结构的影响问题，通过建立响应与参变量间的函数关系最终确定最优解。本文基于响应面法的结构优化方法首先确定目标函数和约束函数；然后通过试验设计方法选定设计点，根据试验设计点及其对应的目标函数值和约束函数值进行响应面拟合，建立目标函数和约束函数值关于设计变量的响应面模型，最后对模型进行求解，最终达到结构优化的目的。

2.2.1 建立响应面模型

本文在ANSYS Workbench中采用中心复合实验设计[8](CCD)生成100个初始试验样本点，并随机抽取了20个测试样本点。对于结构优化问题，二阶模型形式比较灵活，对真实响应近似程度较好，为简化计算，采用不含交叉项的二次多项式构造响应面模型[9]。其中参数个数n为5，其一般公式如下：

(6)

式中，a0，bi，ci(i=1，2…，n)为2n+1个未知的待定系数。本文根据数值仿真结果，选用随机抽取的20个样本点，构造约束函数的二次多项式响应面拟合模型。得到最大应力S和质量M的表达式如下：

2.2.2 优化建模与求解

根据拟合的二次多项式，以盘体结构质量最小为优化目标，以盘体最大等效应力小于34.54MPa为约束条件，以x1，x2，x3，x4，x5为设计变量，建立如下优化模型：

(7)

按照以上优化模型，进行优化求解，将各变量取整后得到最优解如下：

x1=13，x2=9，x3=28，x4=26，x5=22

2.3 盘体优化结果的验证

为了对优化后的盘体结构进行综合评价，需对新设计的结构性能与原始结构进行对比。考虑优化前后的盘体整机性能，将从结构质量、最大应力、以及位移变形量进行综合对比。将优化后的模型导入ANSYS Workbench中进行静力学计算，得到其最大等效应力为30.78MPa，最大总变形为0.594mm，总质量为421.17kg，盘体结构优化前后结果对比如表3所示。由表3可看出，盘体结构经过优化后，在最大等效应力减小了10.88%的同时，其质量减小了16.35%，这既保证了盘体强度又达到了盘体轻量化的目的，取得了很好的优化效果。

表3 盘体结构优化前后结果对比

优化前后盘体静刚度对比如表4所示。由表可知，优化后的盘体结构在其薄弱方向上(Y方向)的刚度值得到了11.81%的提高，同时Z方向的刚度值也得到了改善。虽然X方向上的刚度值有减小，但考虑到其幅度变化较小，因此总的来说盘体的静刚度得到了提升。

表4 盘体优化前后静刚度对比

3 盘体的可靠性分析

3.1 可靠性指标

可靠性指标是评价系统或产品可靠性的量化指标，常用评定可靠性的指标有可靠度、累积失效概率、失效率、平均寿命和可靠寿命等[10]。可靠度是可靠性的量化指标，若可靠度不满足设计要求，则须进行可靠性优化设计，故可靠度优化设计是以可靠性分析为基础的。结构可靠性定义为满足约束条件的概率，可靠度的计算公式为：

(8)

式中，fx(x)为随机参数向量x=(x1,x2,…,xn)的联合概率密度函数；φ(x)>0为约束函数，表示结构的两种状态：

其中,φ(x)>0称为极限状态方程，表示结构处于临界状态或极限状态。

3.2 盘体可靠度计算

盘体的可靠度可以定义为应力S小于许用应力σ且同时质量M小于允许质量M′的概率。取σ=117.5MPa，M′=550kg，假设应力、许用应力、质量和允许质量均服从正态分布，即：

(9)

当x>0且y>0时，盘体正常工作，其可靠度R可表示为：

(10)

式中，g(x，y)表示变量x和y的联合分布密度函数，由于变量x和y均服从正态分布，则其联合密度函数为：

(11)

其中，ρ称为相关系数，其定义为：

(12)

利用ANSYS Workbench中的六西格玛设计准则，假设输入的各结构参数均为服从正态分布的的变量。运用拉丁超立方体抽样方法随机抽取100个样本，得到优化前后盘体最大等效应力和质量的概率密度，结果如图8所示。可知，盘体最大等效应力和质量近似服从正态分布。优化前最大等效应力的均值估计值μS0=36.243MPa，标准差估计值σS0=7.508MPa，优化前盘体质量均值估计值μM0=503kg，标准差估计值σM0=45.1kg。

(a)优化前最大等效应力分布图 (b)优化前盘体质量分布图

(c)优化后最大等效应力分布图 (d)优化后盘体质量分布图图8 盘体优化前后六西格玛分析结果

优化后最大等效应力的均值估计值μS=31.046 MPa，标准差估计值σS=3.255 MPa，优化后盘体质量均值估计值μM=402.94kg，标准差估计值σM=20.791kg。取盘体许用应力σ和许用质量M′的变异系数为0.2，即可认为σ是服从均值μσ=117.5MPa，标准差为σσ=23.5 MPa的正态分布，许用质量M′服从均值μM′=550kg，σM′=110kg的正态分布。相关系数ρ可由数值仿真结果由式(12)计算得出，其估计值ρ=-0.96。优化前随机变量(x0，y0)～N(81.25，47，24.672，118.882，-0.96)；优化后随机变量(x，y)～N(86.45，147.06，23.722，111.942，-0.96)。

通过式(10)可靠度计算公式，得出优化前盘体的可靠度R0=0.9325，优化后可靠度R=0.9876，可见，优化后的盘体可靠度有所提高，说明此次盘体轻量化设计是合理、可靠的。

4 结论

本文在利用ANSYS Workbench对圆盘造球机进行静力学分析的基础上,提出用基于灵敏度分析和响应面方法的基础上进行分析优化,并对优化前后进行可靠性计算，得到的主要结论如下：

(1)根据圆盘造球机静力学分析，得到其最大等效应力为34.54MPa和最大位移变形为0.658 mm，薄弱方向的静刚度为4.167×103，经校核表明盘体结构远远满足性能要求，可以进行轻量化优化设计。

(2)利用灵敏度分析的方法，计算盘体分析尺寸对其结构的最大等效应力和质量的影响程度，确定优化尺寸参数，避免了对盘体优化的盲目性；运用响应面法构造最大应力S和质量M的拟合模型，简化了优化计算的工作量，提高计算效率，优化后表明：盘体最大等效应力降低10.88%，薄弱方向部位静刚度提升10.56%，质量下降16.35%，达到了盘体轻量化和提升稳定性的目的。

(3)建立了考虑应力和质量相关性的可靠性计算模型，运用六西格玛设计准则，得到了优化前后最大等效应力和质量的概率分布，得出了优化前后盘体的可靠度，表明优化后可靠度提高了7%，验证了本文优化方法的可行性。

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