微分方程在实际生活中的应用

包丽平

摘 要：微分方程是数学的一个非常重要的分支，很多物理和化学的基本定律都由微分方程提供，而在生物学和经济学中微分方程可以模拟复杂系统的行为。微分方程数学模型来自人们的实际生活，在现实生活中微分方程数学模型能解决非常多的实际问题，几乎在人类社会的每一个角落都展示了其无穷的威力，尤其是在物理、化学、工程技术、军事、经济、医学与生物等领域都有着非常重要的作用。本文主要提出这些领域中的一些问题，进行微分方程建模，然后通过解这些微分方程来解决这些实际问题。

关键词：微分方程 数学模型 实际生活 应用

中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（b）-0177-02

客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映，便有变数（或变量）概念。事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的，反映在数学上，就是变量之间的关系，从而又形成了函数的概念。由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数（或微分）间的关系式，即微分方程。通过求解这种方程，同样可以找到指定未知变量直接的函数关系。因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。因而，研究微分方程具有很重要的应用价值和实际意义。

1 微分方程数学模型应用

1.1 微分方程在物理学中的应用

数学作为物理学的重要工具与语言，对物理学的教学和研究起着十分重要的作用。物理现象的概括、物理概念的提出、实验数据的归纳整理、逻辑推理分析的进行等过程都离不开数学。微分方程作为数学的重要分支，在对物理学中的力学、热学、量子力学、電磁学等诸多规律的探究过程中都有着不可替代的作用。

给出边界条件我们可以求出电势分布情况。Poisson-Boltzmann方程被广泛运用于各种电解质溶液体系性质的计算和分子模拟中，特别是生物体系中各种大分子在溶液中电荷分布和溶液自由能的计算。

1.2 微分方程在军事中的应用

在世界第一次大战期间，F.W.Lanchester就建立了多个估计战争结局的微分方程数学模型，这些模型研究了确定性的影响因素、双方参战人数的多少和每个士兵平均战斗力的强弱。所以在过去的战争方式单一时期，微分方程数学模型能很好地预测战争的局势。

如果交战双方在t时刻的兵员数量分别为x=（x）t，y=（y）t，双方的伤亡率均与双方兵员数量成正比，在不考虑士气的情况下，研究交战规律。

设交战的A方t时刻的兵员数量为x，B方兵员数为y，则t时刻各方的伤亡率分别为：，其中比例系数，分别为A，B各方的战斗威力。表现为装备及技术水平越高，系数，b越大，因而给对方的杀伤越大。把t时刻各方的伤亡率化成积分形式，然后积分可得ax2-by2=c。

1.3 微分方程在经济中的应用

微分方程在经济学理论中还可以分析商品的市场价格与需求量之间的关系，还可预测商品的销售量、再生资源的产量、分析国民收入、投资、储蓄等经济问题.

1.4 微分方程在生物医学中的应用

微分方程已逐渐渗透到医学研究的各个领域，微分方程描述了事物的动态过程，可以揭示疾病的发生规律，如传染病、医学图像处理、乳腺癌DCE-MRI分析等都应用到微分方程。

假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n。开始时染病人数为x0，在时刻t的健康人数为y（t），染病人数为x（t），由于总人数为常数，有x（t）+y（t）=n。设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为k，称k为传染系数，我们可以得到下面的方程。这个模型称为SI模型，即易感染者和已感染者模型。

SIR模型曾被Kermack等用于检测本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫，其理论曲线与实际数据相当吻合。

2 结语

本文主要介绍了经常用到微分方程的4个领域中例子。在物理方面，与生产活动与人们自身感觉到的像光、热、声、力学以及电磁场理论都离不开微分方程。在战争方面，现在战争过程中彼此之间手段越来越多，不确定性因素越来越多，故我们可以利用微分方程以及概率论的结合，运用随机微分方程来分析战争的情况。传统单一的战争和现在手段多样化的战争都可以用微分方程来预测其结局.在经济学方面，如预期的市场模型、Black-Scholes期权定价模型等都是微分方程数学模型。在生物医学方面，除了本文举例的传染病模型外还有细菌的繁殖模型、药物动力学模型以及流行病数学模型都是微分方程模型。微分方程这个具有生命力的数学分支，分布在我们生活的各个角落。

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