常见均匀刚体转动惯量的计算

杨小云

摘 要：转动惯量是刚体力学中的一个重要物理量，在许多大学物理教材中，对一些常见均匀刚体的转动惯量只给出了结论，没有给出计算过程。本文根据转动惯量的定义计算出一些常见的几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体绕定轴转动的转动惯量，得出了刚体的转动惯量与一些因素有关。期望这些内容能对大学物理教学和学生的深入理解提供帮助。

关键词：均匀刚体 转动惯量 转轴

中图分类号：P159.3 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）10（b）-0184-02

转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量，它描述了刚体在转动中惯性的大小。它和物体做平动时的质量m地位相当，其定义式可由刚体的转动动能和动量矩推导出来[1]。几何形状简单、质量连续且均匀分布的刚体对转轴的转动惯量的定义为。常见的均匀刚体有圆柱、圆环、圆盘、细棒、球体等，教科书虽给出部分均匀刚体转动惯量，但没给出计算过程，本文将根据转动惯量的定义计算出这些常见均匀刚体的转动惯量。

1 空心圆柱体转动惯量的计算

如图1所示为质量m的空心圆柱体，在半径r（R1

因空心圆柱体是均匀的，ρ为恒量，因此

，又因为圆柱体的质量

为，所以可得：。

当R1=R2时，得薄壁圆筒（如图2）对通过中心的几何轴z轴的转动惯量为I=mR2。

当R1=0时，得实心圆柱体（如图3）对通过中心的几何

轴z轴的转动惯量为。

根据实心圆柱体的转动惯量的结论，将实心球在与z轴垂直的方向上切成半径为r，厚度为dz的薄片，实心球密度为ρ，则该薄片质量为，实心球的质量为

。根据几何关系，即可知可知实心

球对通过球体直径z轴的转动惯量为[4]：

根据实心球的转动惯量的结论，设空心球的内径为R1，外径为R2。同密度的实心球，若以R1为半径，则质量为

M1；若以R2为半径，则质量为M2，由m2-m1=m

公式（3）中若R1=R2时，得球壳对通过球心的z轴的转动惯量为：

2 环形圆盘转动惯量的计算

如图4所示质量为m的环形，在半径r（R1

由于环形圆盘是均匀的，σ为恒量，因此；

将环形圆盘的质量代入（5）可得环形圆盘对z轴的转动惯量为：

当R1=0时，得圆盘对通过中心且与盘面垂直的z轴的转

动惯量为。

当R1=R2时，得圓环对通过中心且与圆环垂直的z轴的转动惯量为I=mR2。

3 细棒和长方形转动惯量的计算

如图5所示质量为m的细，在棒内距z轴为x处，取长为dx，横截面积为S的质元，设棒的密度为ρ，则该质元的质量为，所以细棒A对z轴的转动惯量为

。由于细棒是均匀的，ρ为恒量，

因此，若细棒A的质量为m=ρlS，则细棒对z轴的转动惯量为：

如图6所示质量为m的长方体，沿转轴z方向取一长为dy，宽为dx，高为 的细长方体，因细长方体横截面非常小，因此横截面上任意一处可看成一个坐标为（x，y，z）的点。设长方体的密度为ρ，则该细长方体的质量为。又因细长方体的转动半径为则细长方体的转动惯量为，整个长方体的转动惯量为

3 结语

转动惯量是大学物理中关于刚体力学的一个重要的物理量，而关于常见均匀刚体的转动惯量的计算也是大学物理学习中的一个重点之一。本文利用微元法计算了空心圆柱体和环形圆盘的转动惯量，并通过讨论推广得到了薄壁圆筒、实心圆柱体、实心球、空心球、球壳、圆盘、圆环相对其中心轴的转动惯量。

参考文献

[1] 韩众.几种形状规则刚体转动惯量的计算[J].山西大同大学学报：自然科学版，2014，30（4）：25-27.

[2] 漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3] 马文蔚.物理学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 张金锋，刘建军，公丕锋.基于均质球对称刚体转动惯量的计算[J].吉林师范大学学报：自然科学版，2016（1）：84-85.