举题说法：“直线、圆”典型问题探究

2018-03-06徐茂炳

新高考·高一数学 2017年7期

徐茂炳

【编者的话】亲爱的同学们，解析几何的本质是利用代数方法解决几何问题，这类问题的突破口往往是图形，然后把问题“台阶式”分解，达到化大为小的目的.希望今天的探究能帮助大家突破直线和圆方面的难点.

1.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0，两个顶点为A（l，2），B（ 1， 1），求顶点C的坐标.

同学们，题目要求我们求出点C的坐标，一般情况我们先设出其坐标，然后如何利用角平分线建立等量关系呢？初中我们知道“角平分线上的点到角的两条边距离相等”，从这个结论出发求解的难点是什么？（直线AC，BC方程比较复杂）那么角平分线还有什么性质呢？

请问，“已知三角形两个顶点A，B和另一顶点C的角平分线，我们如何作出顶点C？”我们可以作A关于直线l的对称点A'，然后直线A'B和l的交点即为点C.

解设点A关于直线的对称点A'（m，n），则直线2x+y-1=0是线段AA'的中垂线，所以（n-2）/（m-1）=1/2，2×（m+1）/2+（n+2）/2-1=0，

即m-2n=-3，2m+n=-2

解m=-7/5，n=4/5.所以A'（-7/5，4/5）

（这个方程组怎么来的？中垂线即垂直平分线，垂直利用斜率，平分利用中点）

因为B（-l，-1），所以直线BC的斜率为9/2，所以直线BC的方程为y=-9/2x-11/2.所以联立方程组y=-9/2x-11/2，2x+y-1=0，解得x=-13/5，y=31/5，所以点C的坐标为（-13/5.31/5）

2.求证：四点A（O，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）共圆.

同学们，如果给你四个点，你如何判断四点共圆？

思路1，根据不共线的三点共圆，我们可以求出其中三个点构成的圆的方程，然后用第四个点检验；思路2，四边形对角互补.

那么从计算角度来说，思路1比较好操作.已知三点求圆的方程，我们可以设一般方程，然后解三元一次方程组，也可以联立垂直平分线的方程组（尺规作图的过程）.

证明因为A，B，C三点不共线，（为什么交代这个？这三点的选择有没有要求呢？）

所以设过A，B，C三点的网的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=O，

（如果设方程（x-a）²+（y-b）²=r²，r>O，则先求线段AB和线段AC的中垂线，请同学们自己试试看，并比较解法间的难易）所以，代入得1+E+F=0，5+2D+E+F=0，25+3D+4E+F=0

解得D=-2，E=-6，F=5所以网的方程为X²+y²-2X-6Y+5=0.

因为D（-1，2）代入网的方程满足1+4+2-12+5=0，所以A，B，C，D四点共圆.

3.过点P（3，0）有一条直线Z，它夹在两条直线l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0之间的线段恰好被P平分，求直线l的方程.

题目要求我们已知一点P求直线l的方程.一般情况我们设其斜率为k（这时候容易漏掉斜率不存在的情况，这是点斜式的缺陷），然后联立方程组，由直线l和l₁.求点A，直线l和₂：求点B，利用AB的中点为P即可解答，

解设直线l与₁，的交点为A，直线l与l₂：的交点为B.

当Z的斜率不存在时，A（3，4），B（3，-6）不成立（同学们，防止漏掉斜率不存在的情况）；

当l的斜率存在时，设直线Z的方程为y=k（x-3），2x-y-2=0，y=k（x-3），解得x=（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2），所以A（（3k-2）/（k-2），y=4k/（k-2））由x+y+3=0，y=k（x-3），解得x=（3k-3）/（k+1），y=6k/（k+1），所以B（（3k-3）/（k+1），-6k/（k+1））

（方程组中把k看成常数，解方程组是这道题的难点，消元求解）

因为P为线段AB的中点，所以4k/（k-2）-6k/（k+1）=0.

（这个等式是利用A，P，B纵坐标的关系，横坐标可以吗？）

由题意可知k≠0，所以k=8，所以直线l的方程為y=8（x-3）.

这种解法思路比较自然，利用点斜式，难点在于求解A，B的坐标.但是我们如果直接设A，B的坐标呢？

解设A（a，2a-2），B（b，-b-3），（因为A，B分别在直线l₁，l₂上）

因为P为线段AB的中点，所以有

a+b=6

2a-2-b-3=0

所以a=11/3（为什么只要求点A即可）

则A（11/3，16/3），由P（3，o）可知斜率为k=8，所以直线l的方程为y=8（x-3）.

这种解法计算过程比较简单，回避了联立方程组求解的过程.从直线的构成要素（点）出发，直接设点，然后利用中点求解，方法比较巧妙，