从一道高考选择题谈最小势能原理的应用

李 康

(江苏省苏州工业园区金鸡湖学校,江苏 苏州 215000)

图1

例1.(2018年4月浙江选考物理第13题)如图1所示,一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处,A、B两点水平距离为16m,竖直距离为2m,A、B间绳长为20m.质量为10kg的猴子抓住套在绳子上的滑环从A处滑到B处.以A点所在水平面为参考平面,猴子在滑行过程中重力势能最小值约为(绳处于拉直状态)

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J. (D) -2.0×102J.

1 3种解法及比较

1.1 函数思想

图2

猴子在滑行过程中,绳处于拉直状态,由重力势能公式Ep=mgH(H为A点到猴子重心的竖直距离)可知,猴子到达绳上最低点C点时,重力势能最小.如图2所示,设B点到C点的竖直距离为h,BC段绳长为L,则AC段绳长为20-L,利用A、B两点间的水平距离16m,建立h与L的函数关系如下

(1)

上式关系复杂,很难整理出h=f(L)的显函数形式,对(1)式两边求导有

(2)

当h取最值时,有h′=0,代入(2)式整理得

(3)

1.2 解析几何

图3

(4)

(5)

1.3 最小势能原理

图4

最小势能原理是指当一个系统的势能最小时,系统会处于平衡状态.因为最低点重力势能取最小值,所以猴子在C点应处于稳定平衡状态,只要找出受力平衡位置即可,如图4所示.

猴子受到重力mg、两个大小相等的拉力T而处于平衡状态,延长AC交竖直线BF于D点,利用对称性知 ΔCBD是以C为顶点的等腰三角形,CF为其高,故AD=20m.又DE=16m,有AE=12m,即BF=5m,因此A、C两点间竖直距离为7m.后续过程同解法1.

点评:比较上述3种解法,解法1需建立h与L的函数关系,利用隐函数求导法则求出h的最值.由于此题在物理概念和规律上并没有设置过难的障碍,学生都能建立了函数关系,但求最值的运算难度过大.解法2利用椭圆的定义获取滑环运动的轨迹方程,再借助椭圆与水平直线的位置关系,求得A、C两点间竖直距离.前两种解法都需将大量时间分配于复杂的数学运算上,因而过于数学化而缺乏“物理味”.解法3利用最小势能原理,将重力势能最小值的讨论转化为对稳定平衡状态的受力分析,结合受力的对称性,简单运算便能得出结果.

2 最小势能原理的应用

2.1 力学中的应用

2.1.1 台秤示数的变化

图5

例2.如图5所示,台秤上放有盛水的杯子,杯底用细线系一木质小球,平衡时台秤的示数为某一数值,若细线突然断开,则在细线刚断开的瞬间,台秤示数的变化情况是

(A) 变大. (B) 变小.

(C) 不变. (D) 无法确定.

图6

解析:以容器和木球组成的系统为研究对象,若细线断开,木球将上浮至水面,因木球上浮留下的空位将由水来填充.由于相同体积的木球质量小于水球质量,所以系统重心下降,重力势能减小直至最小值,将重新达到稳定平衡状态.这一过程中系统处于失重状态,台秤示数小于总重力,故选(B).

变式1:如图6所示,台秤上放有盛水的杯子,通过固定在台秤上的支架用细线悬挂一小铁球,铁球全部浸没在水中,平衡时台秤的示数为某一数值,今剪断悬线,在铁球下落但还没有到达杯底的过程中(不计水的阻力),则台秤的示数将

(A) 变大. (B) 变小.

(C) 不变. (D) 无法确定.

解析:以容器、支架和铁球组成的系统为研究对象,若剪断悬线,系统将重新达到稳定平衡状态,其重力势能减小至最小值,这一过程仍处于失重状态,选(B).

图7

变式2:如图7所示,一个铁球和一个木球用一细线拴住刚好能悬浮在水中,将装有水的杯子放在台秤上,让两球悬浮在水中,经过一段时间,浸在水中的细线突然断开,则在细线刚断开的瞬间,台秤示数的变化情况是

(A) 变大. (B) 变小.

(C) 不变. (D) 无法确定.

解析:以容器、木球和铁球组成的系统为研究对象,分析过程同变式1,选(B).

点评:与常规方法相比,最小势能原理无需对木球、铁球的受力和运动进行分析,更不用牛顿运动定律求解.无论台秤上的系统组成怎样,只要细线断了,它将向一个更稳定的状态变化,重心降低,重力势能就会减小,处于失重状态,台秤示数变小.

2.1.2 弹簧模型的速度

图8

例3.如图8所示,在足够大的光滑水平面上放有两质量相等的物块

A

和

B

,其中

A

物块连接一个轻弹簧并处于静止状态,

B

物块以初速度

v

0

向着

A

物块运动.当物块与弹簧作用时,两物块在同一条直线上运动.图9中关于

B

物块与弹簧作用过程中,两物块的

v

-

t

图像正确的是

图9

解析:以弹簧和两物块组成的系统为研究对象,系统的弹性势能发生改变.根据最小势能原理,当弹性势能最小,即初、末两时刻,物块应处于平衡状态,加速度为0,故选(D).

点评:与常规的动量守恒、受力与运动分析相比,最小势能原理无需关注中间过程,只要利用初末两时刻势能最小、受力平衡的特点,便能快速解答.

图10

例4.如图10所示,一轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平面上,上端处于a位置,当一重球放在弹簧上端静止时,弹簧上端被压缩到b位置.现将重球(视为质点)从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最低位置d.则重球速度最大位置为

(A)a点. (B)b点.

(C)c点. (D)d点.

解析:以弹簧和重球组成的系统为研究对象,重球的重力势能和弹簧的弹性势能都在发生改变,系统的势能由两部分组成.当重球速度最大时,即动能最大,系统的势能最小,应该发生在受力平衡位置,故选(B).

点评:最小势能原理不仅适用于单个势能发生改变的情况,当各个势能均发生变化时,只要讨论各势能和最小时,系统同样处于稳定平衡状态.

2.2 电学中的应用

2.2.1 电势最低点的判断

图11

例5.如图11所示,A、B两点相距为L.在A、B两点分别固定两个不等量的点电荷QA、QB,现以L为直径画出半圆弧,试求此圆弧上电势最低点的位置.

图12

解析:假设有一正试探电荷q能在半圆弧上运动,圆弧上电势最低点P点,即为试探电荷的电势能EP最小的位置,由最小势能原理可知,试探电荷q在P点应处于稳定平衡状态,故所受库仑合力FP必无切向分量(作用线过圆心O),如图12所示.设PA与AB的夹角为θ,则

(6)

由库仑定律有

(7)

点评:此题可以由点电荷的电势公式,结合电势叠加原理求极值解答,这样的解法数学味太重、求解过程复杂,且点电荷电势公式明显超出高中课本要求.利用最小势能原理,将电势的讨论转化为平衡位置的确定,不仅大大简化了解题过程,还能训练学生科学思维.

2.2.2 复合场相关问题

图13

例6.半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有一质量为m、带正电的珠子,空间存在水平向右的匀强电场,如图13所示.珠子所受静电力是其重力的3/4倍.将珠子从环上最低点A处静止释放,求珠子在什么位置速度达到最大?

图14

点评:重力场与电场的复合场问题一般用等效思想处理,但最小势能原理的应用同样快速有效.

2.3 热学中的应用

2.3.1 微观分子世界——分子力与分子势能

例7.如图15所示4幅图中,能正确反映分子间作用力f和分子势能Ep随分子间距离r变化关系的图线是

图15

解析:根据最小势能原理,当分子势能Ep最小时,分子处于稳定平衡状态,所受分子力f为零,故选(B).

点评:选修3-3热学内容不在浙江物理高考范围内,但只要利用最小势能原理,也能快速处理分子力与分子势能的图像问题.

2.3.2 宏观热学现象——表面能

由于微观分子间的作用力,液体表面在宏观上受到表面张力的作用.空间站内处于完全失重的环境,液滴具有表面张力的势能(表面能)正比于表面积,所以最小表面能要求表面积最小,于是液滴成为球形.如果液滴还受到重力的作用,最小重力势能又要求重心尽量低,这与表面积最小是矛盾的,因而两者会达到一个平衡,如水平表面上液滴的形状会成扁球形,甚至在重力占主导地位时,液滴会成圆饼状.

综上所述,最小势能原理不仅可以用于力学、电学和热学,同时还能用于微观世界和宏观现象;不仅在弹簧模型的速度、复合场问题中提供了快捷的新方法,同时也为台秤示数问题、电势最低点的判断和浙江考生未学的热学相关知识开辟了有效的新思路.