试探面积法在初中数学解题中的运用

吴剑钦

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。通过对面积和面积法的学习，一方面，能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识;另一方面，通过学习面积法，构建“数形结合”几何模型，能将中学数学中一些较为抽象和代数化的知识进行更为直观、具象的几何解释。对此，教师必须更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、中國古代数学的面积发展史

面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久，源远流长。与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代主要用于田垄、土地的测量。早在公元前2世纪，中国古代数学家就著有《算术书》，这是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中包括对田地的测量、土地税征收，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。

二、面积的计算

1.与面积相关的公式

第一，三角形的面积公式：三角形底边a乘以高h除以2，数学公式表示形式为S=ah;第二，梯形面积公式：梯形上底a加下底b乘以高h除以2，数学公式表示形式为S=（a+b）h/2;第三，矩形面积公式：矩形的长a乘以宽b，数学公式表示形式为S=ab;第四，平行四边形面积公式：底边a乘以高h，数学公式表示形式为S=ah;第五，两个全等的平面图形的面积相等;第六，任何一个封闭的平面图形，其总面积等于各个部分面积相加之和。

2.与面积相关的定理

第一，两个相似的三角形的面积比与相似比的平方相等;第二，两个三角形的底边跟高若是相等，则这两个三角形的面积相等;第三，梯形、三角形、平行四边形等平面图形，若底和高都相等，则面积相等;第四，两个三角形的对应边相等且夹角互补，则这两个三角形的面积相等;第五，相互等角或相互补角的两个三角形的面积之比，等于夹角或补角的两边的乘积的比;第六，等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比。

三、面积法在初中数学解题中的应用

中国著名的院士张景中在《仁者无敌面积法》中大量运用面积法进行几何图形求解及证明，充分证明了面积法在解题中的优越性。在中学数学解题中，面积法既可以用来计算平面几何图形的大小，又可以将面积作为一个桥梁以求解，或证明其他一些表面相似，以及看似无关实则相关的非面积几何问题和代数问题。以下，笔者就简要介绍面积法在初中数学解题中的几种应用。

1.面积法建构几何等量关系求解边长

如“已知△ABC，把AD设为Rt△ABC的斜边BC上面的高，并且设定AB=45，AC=60，对AD进行求解，即求AD。”本题是中学数学中最常见的直角三角形求高问题。一般解题思路主要是依据相似三角形和勾股定理进行求解，解题过程较为复杂，而采用面积法建构等量关系，使得解题更为高效、快捷。学生从已知条件中得知题中有两个垂直关系，根据勾股定理可先求出线段的长，再根据面积法建构几何等量关系AB·AC=BC·AD，从而求出线段AD等于36。

2.面积法求证线段比例等式

采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙，其通过构建面积这一桥梁，来证明几何图形的线段比例等式关系，直观而又清晰，极易为多数初中生所接受。如已知△ABC，设E为AD的中点，通过对BE进行连接，并且把它延长交AC于点F，设BD∶CD=2∶1，求证AF∶FC=2∶3。对于该证明题，我们可以通过面积法进行求证。首先， 对CE进行连接，设S△CED=x，由于AE=DE，可以知道S△ACE=x，由BD∶CD=2∶1，可以知道S△BED=2x;由AE=DE，得出三角形AEB的面积等于三角形BED;设S△EFC=y，则可以得到等式，计算得出x=y。

3.面积法计算概率

中学数学教材也有涉及概率的内容。当计算一些较为简单的随机事件所发生的概率时，除了使用列表分析法之外，学生还可以采用面积法进行计算。如在解“在一个黑白相间面积均等分布的圆盘中，转动圆盘，求圆盘停止时指针指向非阴影部分的概率”这道题目时，学生运用传统解题方法，过程极为复杂，而利用面积法求解该题，则十分简易。

（作者单位：江西省赣州市南康区龙岭中学）