构造直角三角形，巧用性质破难题

孟慧

[摘  要] 直角三角形的性质定理对于问题变换、条件转化、思路获取有着极为重要的作用，因此在求解几何难题时可以合理添加辅助线、构造直角三角形，利用其特殊性质求解问题. 本文将以一道几何题为例探究利用直角三角形性质解题的策略，并对其进行深入研究，与读者交流学习.

[关键词] 直角三角形;几何;性质;定理;思想

考题突破，解题评析

1. 考题呈现

3. 试题评析

上述以探究的形式开展几何问题探讨，涉及了直角三角形证明和面积求解，虽然图形中含有圆和三角形两种图形，但主要是对直角三角形的性质定理进行利用.

第（1）问证明直角三角形面积的定值表达形式，利用勾股定理对其表达式进行了转化变形.

第（2）问则利用勾股定理的逆定理来完成直角三角形的证明.

第（3）问研究的图形虽然为一般三角形，但通过作辅助线构造出了直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系、勾股定理和面积关系来完成求解.

从整体来看，直角三角形的性质定理是建立等量关系的基础，是问题探究的关键，对于问题的思路突破有着至关重要的作用.

巩固提高，构建直角

直角三角形是一类较为基础的几何图形，其中的一些重要性质对于思路构建有着积极的作用，上述考题的破解就是利用其性质进行的问题探究. 因此在实际解题中对于一般的三角形可以尝试通过添加辅助线的方式构造直角三角形，在直角三角形中构建几何关系，利用直角三角形的性质定理来转化条件问题，实现问题的巧妙解答.

1. 构建直角，勾股巧用

直角三角形的勾股定理是几何上较为特殊的一个定理，是建立三角形边长关系的重要方式. 对于该定理的使用可以从两方面来完成，一是正用定理，由直角求边长;二是逆用定理，由三边长的平方关系逆推直角. 求解时需合理选择，巧妙利用.

2. 构造直角，互余推导

在直角三角形中的两个锐角存在互余关系，即∠A+∠B=90°，其互余的关系来源于三角形内角和为180°. 在研究几何问题时可以构造出直角三角形，利用其锐角互余来进行等角转化或内角推导.

上述三道考题的求解过程均通过辅助线添加构造了直角三角形，然后利用直角三角形的性质定理进行求解. 其中勾股定理是对直角三角形三边关系的体现，两锐角的互余可以用于内角的等量转换，而直角三角形的边角关系则直接建立起三角形边长和内角之间的联系，实现了边、角之间的转化，也建立起了代数与几何之间的联系. 合理利用直角三角形的性质定理对于几何的定性、定量研究有着积极的作用.

解后反思，学习思考

1. 归纳几何性质，深刻理解定理

直角三角形是几何领域的基本图形，也是一类较为特殊的图形，其特殊性主要体现在其边长、角度、公式定理上. 在学习直角三角形时需要采用数形结合的方式来理解其性质，理解其定理的应用条件和技巧. 在学习中，有必要对其性质定理进行系统的整理，可以从关系、定理、半长、接圆等方面进行归纳，从而加深对直角三角形的认识.

另外，也可以从几何与代数层面对直角三角形的定理进行总结，区分定理中哪些涉及直角三角形的几何关系，哪些是进行代数转化的定理，尤其要注意对勾股定理的学习，不仅要理解其浅层的对三角形边长关系的体现，还需要结合方程思想，理解其构建代数方程的深层价值.

2. 构造直角三角形，学习模型思想

直角三角形对于几何的证明求解有着极为重要的作用，是实现问题转化、条件获取的关键工具，但从上述考题中可以发现并不是所有的复合图形中都存在明显的直角三角形，因此我们在求解问题时要充分利用问题的条件，如90°角、相切性质、内接性质等，构造出合理的直角三角形.

需要注意的是，直角三角形的构造并不是随意的，应是建立在串联问题条件的基础之上，如上述例3的直角三角形构建使得条件cosB=3/5拓展到所有的直角三角形中.

另外，构建图形是一种重要的解题策略，是模型思想指导下的解题方法，不僅适用于直角三角形，同样可以将其拓展到其他基本图形中. 学习和使用构造思想对于拓展解题思维，提升解题能力有着极其重要的作用.

写在最后

直角三角形的性质定理在几何求解中有着极为重要的作用，在学习时除了需要注意对其性质定理进行归纳外，还需要关注辅助线的添加、直角三角形的构建方式.

图形构造本身就是一项重要的技能，如何快速合理地构造出合理的图形需要深入的研究和探索，掌握方法、多加练习，才能真正做到利用知识高效解题.