挖掘思想方法 提升解题能力

傅玉

数学学习的内容不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.我们在学习过程中，应重视数学思想方法的提炼与积累，这有助于提升自身的解题能力和数学素养.

一、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.

例1 已知整式x2-[52x]的值为6，求2x2-5x+6的值.

解：∵2x2-5x+6=2（x2-[52x]）+6，

且x2-[52x]=6，

则2x2-5x+6=2×6+6=18.

【点评】本题是一道代数式求值的问题.观察代数式x2-[52x]和代数式2x2-5x+6，二次项的系数分别是1、2，一次项系数分别是[-52]、-5，它们之间都存在相同的倍数关系，即2x2=2×x2、-5x=2×（[-52x]）.因此，可以将x2-[52x]看成一个整体.这样的问题用整体思想解决充分体现了数学的简洁美.

二、分类思想

初中数学从数的研究开始就不断渗透分类思想.因为，通过分类，我们可以将相同属性的事物放在一起研究，将不同属性的事物分开研究.

例2 已知a，b是有理数，ab≠0，求[aa]+[bb]的值.

解：∵ab≠0，∴a≠0，b≠0.

当a>0时，[aa]=1；当a<0时，[aa]=-1；当b>0时，[bb]=1；当b<0时，[bb]=-1.①当a>0，b>0时，[aa]+[bb]=1+1=2；②当a>0，b<0时，[aa]+[bb]=1-1=0；③当a<0，b>0时，[aa]+[bb]=-1+1=0；④当a<0，b<0时，[aa]+[bb]=-1-1=-2.

综上，[aa]+[bb]的值为2或0或-2.

【点评】本题的条件中只提供了a、b的取值范围，由于a、b的取值有无数个，不能一一代入直接求值.考虑到绝对值的化简取决于数的正负性，所以将a、b进行分类，可以将无限个情况简化为有限种类型，从而简化问题.

三、数形结合思想

数形结合作为一种数学思想方法，就是借助于数的精确性来描述丰富的图形世界，达到“以数解形”的目的.借助几何图形的直观性来理清数量之间的某种关系，达到“以形助数”的目的.

例3 现有若干张如图1的正方形硬纸片A、B和长方形硬纸片C.

（1）小明利用这些硬纸片拼成了如图2的一个新正方形，用两种不同的方法，计算出了新正方形的面积，由此，他得到了一个等式： ；

（2）小明再取其中的若干张（三种纸片都取到）拼成一个面积为a2+nab+2b2长方形，则n可取的正整数值为 ，并请在图3位置画出拼成的图形；

（3）根据拼图的经验，请将多项式a2+4ab+3b2分解因式： .

【分析】（1）用两种不同的方法表示同一个图形的面积，一般来说可以用整体法和局部法.正方形的面积用边长的平方计算，即（a+b）2；这个正方形还可以看成一张A、一张B、两张C拼成，所以正方形面积还可以用四块小图形的面积和来计算，即a2+b2+2ab.从而得到（a+b）2=a2+b2+2ab.

（2）若用a2+nab+2b2表示一个长方形的面积，则说明这个长方形是由一张A、两张B、n张C拼成的.因为一张A、一张B、两张C能拼成一个正方形（如图4），那么再加一张B（如图5），就需要再加一张C才能拼成长方形（如图6）.所以n的正整数值为3.

（3）在（2）的基础上，再添加一张B、一张C，可以得到如图7的长方形，长为a+3b，宽为a+b.根据（1）的经验，可得a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）.

【点评】我们知道任意一个实数都可以与数轴上的一个点一一对应，这样的数形结合的思想也可以迁移到一些恒等式与图形面积的对应关系上来.分析这类问题首先要明确代数式中每一项可以表示什么样的图形面积，其次还要弄清这个代数式可以表示什么样的图形面积.将两种图形的面积统一起来，就可以直观地解决问题了.

四、符号意识

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于我们有条理地表达数学思考的过程.

例4 如图8，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根据这个规律，求第2017个点的横坐标.

【分析】边长为0的正方形，有1个点；边长为1的正方形，有3个点；边长为2的正方形，有5个点；…，∴边长为n的正方形有（2n+1）个点，∴边长为n的正方形边上与内部共有1+3+5+…+（2n+1）= （n+1）2個点.∵2017=45×45-8，结合图形即可得知第2017个点的横坐标为45.

【点评】本题考查了规律题型中的点的坐标，解题的关键是找出“边长为n的正方形边上点与内部点相加得出共有（n+1）2个点”.自发地用字母表示数，用代数式表示实际意义，是发展符号意识的最佳途径.用符号表达问题中的数学本质，既清晰又明了，自然地将问题简化了.

（作者单位：江苏省南京市宁海中学分校）endprint