基于APOS理论的数学概念教学研究——以《分数的意义》为例

焦欢欢

（江苏省南京市百家湖小学，江苏 南京）

数学概念是具体性与抽象性的辩证统一，是“过程”与“对象”的统一体。APOS分别代表学习的四个阶段（活动阶段、程序阶段、对象阶段和图式阶段），下面笔者将以苏教版五年级下册《分数的意义》为例，将单位“1”“分数”“分数单位”概念作为研究对象。

一、活动阶段——直观感知，积累感性认识

【教学片段】

师：（呈现月饼图）看到这个月饼图，你想到什么分数？

师：（出示一米的米尺）你想到用什么分数表示？

师继续出示一升、一些物体的直观图，让生看图说分数含义。

【分析】“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象，在活动阶段，学生借助直观材料、数形结合，说出具体分数的含义，并在不断变换客观数学对象的过程中，感悟“变”与“不变”，积累分数概念的经验。

二、程序阶段——活动内化，形成概念表象

【教学片段】

师：刚才，我们说分数，现在，我们能不能自己在头脑中想一个分数，并创造出来？学生依次展示并说出一个正方形的一堆苹果的的意义，教师展示在黑板上。

师：比较黑板上的图，在分法上有什么不同的地方？

生：平均分的份数不同，表示的分数也不同，平均分的对象也不同。

师：你能根据平均分的对象把它们分分类吗？每一类都是把什么进行平均分的？

生：（生上台分类）第一类是把一个物体进行平均分，第二类是把计量单位平均分，第三类是把一些物体平均分。

师：是的，把平均分的对象分成了一个物体、一个计量单位和许多物体组成的一个整体。

【分析】“程序阶段”是学生在头脑中对活动进行描述和反思。这个阶段，学生自己“做分数”，自觉内化之前的活动，在脑中建立分数表象，通过画的方式将表象外化出来，教师顺势引导学生按照平均分的对象进行分类，将零散的平均分对象进行结构分类——一个物体、一个计量单位、一个整体，初步形成单位“1”的概念。

三、对象阶段——抽象概括，揭示概念本质

【教学片段】

师：刚才分的一个物体、一个计量单位、一个整体，都和自然数几有关？

生：1。

师：数学上把平均分的对象，比如一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常，我们把它叫作单位“1”。

师：上面这些图分别是把什么看作单位“1”？

师：认识了单位“1”,上面的分数分别是把单位“1”平均分成多少份？表示这样几份？

师：你觉得什么是分数呢？

生：（在生交流的基础上概括）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。

师：你能说说黑板上各个分数的分数单位吗？它们分别有几个这样的分数单位？

【分析】“对象阶段”就是通过对前面活动阶段、程序阶段的抽象，认识到概念的本质，对其赋予形式化的定义和符号，成为一个具体的对象。通过提问：一个物体、一个计量单位、一个整体，都和自然数几有关？并追问概念的本质，将平均分对象放到更高层次的结构中，将之前的“程序”压缩为一种“对象”：单位“1”、分数、分数单位的形式化定义，从而实现分数概念过程和对象的统一。

四、图式阶段——知识整合，形成概念结构

【教学片段】

师：今天我们学习了单位“1”、分数、分数单位这三个概念，它们之间有什么联系呢？

生：单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数是分数单位，表示其中几份的数是分数。

生：任何一个分数都是由一个或几个分数单位组成的。

师：还记得以前学的整数的计数单位吗？一个整数又是由什么组成的呢？

生：整数的计数单位有个、十、百、千等，一个整数就是由几个整数单位组成的。

师：没错，我们目前学到的数，不管是整数还是分数，这些数都是由几个计数单位组成的。

【分析】图式阶段，指的是学生能够把之前相应的“活动”“程序”“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”进行整合，形成个体头脑中的认知框架。这阶段，教师通过启发学生将单位“1”、分数、分数单位三个概念联系起来，横向构建三者概念之间的关系，又回忆整数的意义，形成纵向联系，最终形成认知结构。