浅谈几何概型的解题策略

赵鼎锋

【摘要】 几何概型是一种新颖的题型，它做到了将概率与几何相结合。几何概型作为一种概率研究的新方法，也就成为了高考的一个新增考点，不同类型的题，解题方法也大不相同，比如体积、面积、长度等不同的出题背景下，几何概型试题的解题方法是不同。这种新题型将几何与概率结合在一起，给概率的研究开辟了一条新的道路。

【关键词】 几何 概率 策略

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）01-016-01

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近几年几何概型类试题频频出现高考试题中，系统性的分析这一类型问题，就可以看出这个题型十分新颖，这种新型题材对学生的学习来讲是一种挑战，对老师的教学也是一种挑战。几何概型类试题的解题方法大体分三种，首先要判断该试题是不是几何概型类试题，第二就是将题干中给出的可能发生事件所占区域和事件发生的全部可能性所占区域运用几何图形的形式表现出来，最后是用几何概型的公式解答出题目的答案。

一、几何概型的定义

在几何概型中，一个事件发生的可能性可以用发生该事件的面积、体积、长度或者角度表达出来的话，我们称这种数学模式为几何概型。在习题中，我们可以将几何概型问题转化为区域内取点的问题，在一个特地定的区域内，有无数个点，具体取到哪个点是随机的，取到这个点的概率就是答案。我们假设的特定区域可以是一个平面的图像，也可以是一段线段，甚至是立体图形也有可能。我们使用概率与几何结合解题的方式称为几何概型。

二、几何概型的基本特点

几何概型是概率求解的一种新型方法，我们可以看成是在任意一个范围内任意取一个值，这个值正好落在这个范围的概率就是这个随机事件发生的概率。无限性和可能性是几何概型问题两个主要特点。在一个取值范围之内有无数个值，也可以转化成区域内取点问题，也就是在一个区域中有无数个点，所以几何概型具有无限性的特点，每一个不同的点被取到的概率是相同的，由于点是有无数个，所以每个都有可能被取到，这也就是几何概型的可能性特点。

三、几何概型的解题策略

（一）测度为长度的几何概型

我们可以将每个几何概型的试题都看作是在一个区域中取点的问题，在一个试题中，假设只有一个变量，我们就可以用数轴或者一条简单的直线来表示，这就是测量为长度的几何概型类问题。测量为长度的几何概型的公式=构成答案的可能性长度比上事件所有可能性长度。比如例一：在一根长为三米的绳子中，随机剪断绳子，问剪断后的两段绳子都大于或等于一米的概率是多少？这道题我们可以根据下图所示，将绳子平均分成三段，只有在中间一段剪断，得到的两端才会都大于等于一米，所以该问题答案的概率为三分之一。

（二）测度为面积的几何概型

在一个几何概型例题中只有一个变量的情况下，我们可以用数轴或者一条直线来解题，如果在一道例题中出现两个变量，就需要我们运用平面直角坐标系来解決问题。这就需要运用到面积的概念了。计算概率的公式=构成题干所给区域的面积比上所有可能的区域的面积。比如例题一：假设小红定了一份牛奶，送牛奶的人可能会在六点三十分到七点三十分之间将牛奶送到小红家，小红的妈妈离开家去上班的时间段为七点到八点之间，问小红的妈妈在上班前拿到牛奶的概率为多少？这个例题中就有两个变量，首先当小红的妈妈去上班的时间大于送奶工送奶的时间，那么小红的妈妈就可以在上班前拿到牛奶，我们可以用平面直角坐标系来画图解决这个问题。设送奶人到达的时间为x，小红妈妈离家去上班的时间为y，假设小红妈妈离家前能得到牛奶为事件a，利用平面直角坐标系来解答这个问题，首先确定横坐为牛奶送到时间，小红妈妈去上班的时间用纵坐标表示，小红妈妈离家前能得到牛奶的事件构成区域如图示：因为在送奶人和妈妈上班时间的指定区域，他们各自的时间是随机的，题目属于几何概型问题。由题目可知，当我们假设的点落到阴影部分时，就意味着小红妈妈在去上班前能得到牛奶。

（三）与体积有关的几何概型问题

如果可以用体积表示几何概型的度量，那么公式为构成事件可能性的体积比上全部可能结果的区域体积。如例题：有一杯子中装了两升水，水中含有一个杂质，用一个小杯子，从大杯水中取出0.1升的水，问水中含有这颗杂质的概率是多少？根据公式我们可以得出，水中含有杂质的概率为0.1升水比总水量2升，所以水中含有这颗杂质的概率是0.05.

（四）与角度有关的几何概型问题

通过特殊三角形引导学生学习与“角度”有关的几何概型，让学生体会到与“角度”有关的几何概型的特殊性[3]。在直角△BDF中，∠B=30°，过直角顶点F作射线FM交线段BD于M，求使BM大于DF的概率。这个角度有关的例题，我们可以把∠F分成三份相等的部分，我们就会得到三个范围，射线FM落在这三个范围里面的概率都是三分之一，对应的∠F的三条平分线将BD分成三段，注分出的这三条角平分线的长度是不同的，因此M落在这三个区间内的概率并能用长度的方法来算。所以BM>DF的概率应该是六分之一。

总结

综上所述几何概型涉及到了长度、面积、角度、体积等相关问题，这一新题型的探究，使几何与概率紧密相连，为概率的研究提供了新的方向。几何概型是一个新型的随机事件处理模型，用于是概率问题图形化处理。这一新颖的类型题给学生与教师同时带来了挑战。在高考题中，几何概型难度要求不高，我们应该开阔思维，尽快熟悉这一高考新题型。

[ 参 考 文 献 ]

[1]余波.关于新课标《几何概型》文科教学的几点思考[J].课程教材教学研究（教育研究）.2014（03），02：03.

[2]高丽娟.高中生“几何概型”学习困难及对策研究[D].山东师范大学.2015（16），23：24.

[3]孙利萍.学生的易错点剖析之一——与“角度”有关的几何概型[J].2014（17），11：12.