基于GARCH族模型的德国DAX股指的估计及预测

曾静文

[摘 要] 通过对德国DAX股指的特征性分析，发现德国DAX股指是非正态的、平稳的，并且具有自相关性。运用ARCH效应检验发现，残差具有ARCH效应，说明该股指适合用GARCH族模型来建模。通过显著性检验以及AIC值越小越好、极大似然函数越大越好的选取准则，得到扰动项服从学生分布下的TARCH（1，1）对于德国DAX股指的对数收益率波动的拟合效果是最好的。在该模型的基础上对条件方差和收益率进行了预测，发现条件方差最后收敛于0.00001左右的一个无条件方差，而预测的收益率和实际收益率之间的误差很小，说明预测效果较好。

[关键词] GARCH族模型；对数收益率；条件方差；预测

[中图分类号] F830.91 [文献标识码] A [文章编号] 1009-6043（2018）01-0166-04

股票的波动性研究往往都是运用GARCH模型来描述，而GARCH族模型包括一般的GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH和EGARCH模型。GARCH模型族的残差在大多文献中是服从正态分布的，而查阅资料发现该残差可以假设服从正态分布、学生t分布和广义误差分布。因此，基于4种GARCH模型，使扰动项分别服从以上三种分布，得到12种模型，最后通过实证分析得到最优模型，并在该模型的基础上对条件误差和对数收益率进行了预测。

一、GARCH族模型及其发展

（一）GARCH族模型

1.ARCH模型

Engle提出了ARCH模型，但是ARCH模型不能反映实际数据中的长记忆性，且为了得到较好的估计，时常需要估计很多的参数，于是计量经济学家提出用GARCH模型来代替ARCH模型。

2.GARCH模型

GARCH模型中，最常用的就是GARCH（1，1）模型，因其能对数据进行很好的描述。其形式为：

从模型的表达式可以看出，GARCH（1，1）与ARCH模型最大的区别就是方差方程，多了一个条件方差项，此方差项的加入可以避免估计很多参数。

3.GARCH-M模型

对于金融资产，人们一般认为“高风险对应高收益”，即风险越大，预期的收益率就越大。此处的风险是用条件方差来表示的，并将这种波动引入均值方程中。GARCH-M（1，1）模型的形式为：

4.非对称GARCH模型[1]

许多股票研究员发现，股票价格存在着非对称性，即负的冲击比正的冲击更容易产生波动，波动率针对市场下跌的反应比市场上升的反应更加迅速，也被称为“杠杆效应”。而针对有杠杆效应的数据，我们应该使用非对称的GARCH模型。而非对称GARCH模型包括TARCH模型和EGARCH模型。

TARCH模型也称门限GARCH模型，这个门限是采用一个虚拟变量来设定的，用来区分正和负的冲击对条件波动的影响。TARCH（1，1）模型的形式为：

方差方程中的项，称为非对称效应项，好消息和坏消息对条件方差有着不同的影响。好消息对条件方差只有一个α1倍的冲击，而坏消息则对条件方差有着（α1+γ）倍的冲击，γ>0表明存在杠杆效应。

EGARCH模型又叫指数模型，其方差方程不再分析条件方差σ，而是分析lnσ，并使用扰动项和扰动项的绝对值与扰动项的标准差之比来刻画正负冲击对波动的影响。EGARCH（1，1）模型的形式为：

当γ<0时，说明价格波动受负的外部影响大于受正的外部影响，成为杠杆效应。

（二）GARCH族模型的扰动项分布假设

上述的模型中，都是假定扰动项μt服从正态分布，而在实践中我们发现，许多金融事件序列的无条件分布具有比正态分布更宽的尾部。2007年程婧瑶研究股市波动率时，假设扰动项服从学生t分布；而在2013年ChristosKollias在研究歐洲市场股票波动性的时候假设扰动项服从广义误差分布。为了能够更加精确的描述时间序列分布的尾部特征，需要对扰动项μt的分布进行假设，一般有三种假设：正态分布、学生t分布和广义误差分布。给定一个分布，GARCH使用极大似然估计来对参数进行估计。

二、数据的选取和基本检验

（一）数据的选取及说明

采用GARCH模型建模，一般是选择日度数据或者日内的高频数据，这样更有利于参数估计的收敛性和稳健性。选取德国DAX股指，采用5分钟高频数据，样本期间为2017年5月31日至2017年6月19日，剔除没有交易的日子，共计1352个观测数据。为了刻画德国股市的波动现象，采取对数收益率作为研究对象。

此处，rt表示该对数收益率，pt表示后一时刻的股价，pt-1表示前一时刻的股价，则对数收益率为：

rt=In（pt）-In（pt-1）

（二）样本数据的基本检验

1.正态性检验

运用J-B统计量来检验序列是否服从正态分布：在正态分布的假设下，数据服从自由度为2的卡方分布。要计算JB统计量，首先要计算偏度和峰度。偏度是统计一组数据是否是非对称的，描述数据偏斜的程度以及方向。如果此值小于零，即数据左偏，否则右偏。峰度是衡量实数随机变量的概率分布峰态的统计量，正态分布的峰度为3，如果峰度值小于3，则表明峰度不足，反之则峰度过度。JB统计量检验一组数据是否来自于正态分布，若数据是服从正态分布的，那JB统计量的值为0。

将德国DAX股指的对数收益率序列导入Eviews软件中，得到偏度为0.427148，大于0，则右偏，峰度为15.21915，比正态分布的峰值3大，所以该序列呈现尖峰后尾的特征，而J-B统计量的值不为0，说明该序列不服从正态分布。

2.平稳性检验

作出德国DAX股指的对数收益率随时间变化的线性图形，发现数据围绕一直线上下波动，说明该序列很有可能是平稳的。采用ADF检验，进一步检验序列的平稳性。通过ADF检验发现，对数收益率序列的ADF检验值为-34.69532，当显著性水平为1%、5%及10%的情况下，所对应的临界值分别为-2.566676、-1.941058和-1.616542。说明ADF检验值在任何显著性水平下都明显小于临界值，所以该序列是平稳的。endprint

3.自相关检验

自相关性是指随机误差项的各期望值之间存在着相关关系，称随机误差项之间存在自相关性。通过分析自相关函数图，可知该序列是存在一阶相关性的，采用Box-JenKins方法，可以把模型暂定为AR（1）、MA（1）及ARMA（2，1）。运用最小二乘估计，通过比较AIC值，得出可由AR（1）模型对数据进行拟合。得到的模型为rt=0.057617rt-1+μt。

4.ARCH效应检验

用Eviews软件画出AR（1）模型rt=0.057617rt-1+μt的扰动项平方序列的时间序列图。在图中，扰动项平方序列具有明显的时变性和急簇性，说明扰动项很可能具有ARCH效应。

对于金融序列，一般会出现明显的集聚现象，即大的波动后会紧跟着另一个大波动，小的波动后跟随另一个小的波动，这就是ARCH效应。要使用GARCH族模型建模，则需要检验是否具有ARCH效应。ARCH效应有3种检验方法，这里采用自相关函数检验方法，进一步确定ARCH效应的存在。通过检验发现，自相关系数和偏相关系数显著不为0，而且Q统计量非常显著，所以残差具有ARCH效应，可以用GARCH族模型进行建模。

三、实证分析

GARCH族模型包括GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型四种模型，且其扰动项分布服从正态分布、学生t分布或者广义误差分布。在4种GARCH模型的基础上，使扰动项分别服从以上三种分布，得到12种模型，最后通过实证分析得到最优模型。把德国DAX股指2017年5月31日至2017年6月19日的5分钟的高频数据导入Eviews软件，得到以下实证结果。

（一）GARCH（1，1）模型的实证结果

由表1可知，当扰动项服从正态分布时，均值方程对应的R（-1）系数为0.045007，其对应的P值是不显著的，说明在使用GARCH（1，1）模型下假设扰动项服从正态分布是不合理的。当扰动项服从学生t分布和广义误差分布时，均值方程对应的R（-1）系数以及方差方程中的系数α1和β1均是显著的，说明在GARCH（1，1）的模型下假设扰动项服从学生t分布以及广义误差分布是合理的。表中LogL的表示对数似然函数，用来表示已知输出结果时未知参数的可能取值；AIC表示衡量统计模型拟合优良性的一种标准。而选择模型时，似然函数值越大越好，AIC值越小越好。扰动项服从学生t分布和广义误差分布下的对数似然函数分别为8279.549和8254.996，赤池信息准则分别为-12.25859和-12.22222。所以在使用GARCH（1，1）模型下，假设扰动项服从学生t分布，对德国DAX股指的拟合更好一些。

（二）GARCH-M（1，1）模型的实证结果

由表2可知，不管扰动项服从哪种分布，均值方程对应方差项的系数均是不显著的，即使用GARCH-M（1，1）来拟合德国DAX股指是不合理的。

（三）TARCH（1，1）模型的实证结果

由表3可知，当扰动项服从正态分布时，均值方程对应的R（-1）的系数是不显著的，说明在使用TARCH（1，1）模型下假设扰动项服从正态分布是不合理的。当扰动项服从学生t分布时，均值方程对应的R（-1）系数以及方差方程中α1、β1以及非对称项系数γ都是显著的，说明在TARCH（1，1）的模型下假设扰动项服从学生t分布是合理的。当扰动项服从广义误差分布时，方差方程中的非对称项系数γ是不显著的，说明在TARCH（1，1）的模型下假设扰动项服从广义误差分布是不合理的。

所以，扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）的模型对德国DAX股指拟合得更好。非对称项γ的值为0.164705，显著大于0，说明存在杠杆效应，即得出德国DAX股指确实存在非对称性。当发生好消息时，会给股票指数带来0.150889倍的冲击，而发生坏消息时，则会带来0.315594倍的冲击。

（四）EGARCH（1，1）模型的实证结果

由表4可知，当扰动项服从正态分布时，均值方程对应的R（-1）的系数是不显著的，说明在使用EGARCH（1，1）模型下假设扰动项服从正态分布是不合理的。当扰动项服从学生t分布时，均值方程对应的R（-1）系数以及方差方程中所有的系数估计都是显著的，说明在EGARCH（1，1）的模型下假设扰动项服从学生t分布是合理的。当扰动项服从广义误差分布时，方差方程中的系数γ是不显著的，说明在EGARCH（1，1）的模型下假设扰动项服从广义误差分布是不合理的。

所以，扰动项服从学生t分布下的EGARCH（1，1）的模型对德国DAX股指拟合得更好。非对称项的值为-0.067513，显著小于0，说明存在杠杆效应，即得出德国DAX股指确实存在非对称性。当发生好消息时，会给股票指数带来0.30107倍的冲击，而发生坏消息时，则会带来0.436096倍的冲击。

由前文可知，只有GARCH-M（1，1）模型不管扰动项服从任何分布，对数据的拟合都是不合理的。而另外三种模型，均是在扰动项服从学生t分布的时候所对应的LogL最大，AIC值最小。说明我们所选取的数据，假设扰动项服从学生t分布时拟合效果更好。

通过上述的非对称GARCH族的实证结果发现，被选用的数据确实存在非对称性，即用扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）模型及EGARCH（1，1）模型更合理。而扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）及EGARCH（1，1）模型的对数似然函数分别为8281.821和8281.136，AIC值分别为-12.26048和-12.25946。即扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）的对数似然函数更大，AIC值更小。

綜上所述：扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）对于德国DAX股指的对数收益率波动的拟合效果是最好的。模型为：endprint

四、预测

由上文可知扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）对于德国DAX股指的对数收益率波动的拟合效果最好，下面运用该模型进行预测。金融资产的波动率以及收益率都是很重要的指标，而GARCH族模型的波动率是用条件方差来刻画的，收益率则是采用对数收益率。对2017年6月20日至6月23日的338个5分钟高频数据进行预测。

（一）波动率的预测

从图1可以看出在预测的区间内，条件方差预测值在增加，呈现“上凸”的形状，图形的一阶导数在不断减小至0，最后收敛于0.00001左右的某个值，即为无条件方差。

（二）收益率的预测

图2显示的是对数收益率的预测值，未来各期的预测值均在零值附近，这是因为我们采用的均值方程为rt=-0.056811rt-1+μt。均方误差值和平均绝对误差分别为0.000551和0.000358，说明预测值和真实值之间的误差很小，预测效果较好。

五、小结

通过对德国DAX股指进行波动性分析，先是进行特征分析，发现该股指非正态、平稳，且具有自相关性。在GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型的基础上分别假设扰动项服从正态分布、学生t分布和广义误差分布得到12种模型。通过极大似然估计对模型进行参数估计，发现扰动项服从学生t分布下的TARCH（1，1）对于德国DAX股指的对数收益率波动的拟合效果是最好的。并且对该模型的波动率和收益率进行了预测，预测效果较好，说明GARCH族模型在股票的波动性以及收益率的预测上具有一定的实用性。但有几个问题仍待解决：

（一）被选用的GARCH族模型均为单变量GARCH模型，只能研究单一的市场，而当出现多个市场时，市场与市场之间是有相互影响的，这是需要进一步探究的问题。

（二）Eviews软件只能输出预测的图像，而不能输出具体的预测值，而在投资中，投资者更想得到确切的数值。通过R软件以及Matlab软件编程能够得到具体的预测值，这也是需要进一步探索的问题。

[参考文献]

[1]李嫣怡，刘荣，丁维岱.Eviews统计分析与应用（修订版）[M].北京：电子工业出版社，2013：207.

[責任编辑：潘洪志]endprint