导数在恒成立问题中的应用

林郁松

（广西平南县中学，广西 贵港）

导数是高中数学的基础知识，他是联系数学知识的桥梁和纽带。导数的运用能够有效解决数学问题，是证明不等式、研究函数性质、研究函数极值最值问题、求曲线斜率和解决物理问题的有力工具。可以借助导数建立恰当的数学模型，解决函数应用中的恒成立问题。

导数教学大纲主要是运用导数性质，研究函数的单调性，对极值最值问题进行研究，会求函数的单调区间，并且知道可导函数在某点取得导数的充分必要条件，会解决数学中的实际问题。导数学习目标主要是充分利用导数这一工具解决恒成立问题，让学生能够学会转化，分类讨论的数学思想，提高学生解题能力。

下面我们可以通过一些热身练习和典型例题了解导数在解决不等式恒成立中求参数取值范围的问题以及含参数导数问题的分类讨论思想。

一、热身练习

设函数f（x）=ax^3-3x+1（x属于R），对于任意x属于［-1，1］，都有f（x）＞=0成立，则实数a的取值范围？

解：这里的函数是f（m），m是变量，t^2和t代表两个常数，这是关于m的一元一次函数，m的定义域是［-1，1］。

（1）由f（-1）＞0，所以有t^2+2t＞0，t（t+2）＞0，①t＞0②t＜-2。

（2）由f（1）＞0，得t^2-2t＞0，t（t-2）＞0，①t＞2，②t＜0求（1）（2）的交集：得出 t＞2 和 t＜-2（这里写“和”，不能写“或”）。

二、典型例题

已知函数f（x）=-x^3+bx（b为常数）在区间（0，1）上单调递增，且方程f（x）=0的根都在［-2，2］内，则b的取值范围是？

第一个条件：求导之后，容易分析出导数值在（0，1）上大于等于0恒成立，利用根的分布，作出二次函数图像列出关于不等式，再求解，求其交集。

第二个条件：讲f（x）因式分解知道一个根为0（明显在所规定的区间内），另外两个为正负根号b（当B大于等于0时成立），结合第一个条件所得不等式讨论：当b大于等于0时和B小于0时，再分别与第一条件所得的含B的不等式求交集。

在数学学习过程中遇到恒成立问题时，学生往往有很好的技巧去解决此类问题。恒成立问题，包括换元、化归、数形结合、函数与方程思想方法及导数的应用和性质，恒成立问题解决能够培养学生的灵活性创造性思维，有利于提高学生的综合解题能力。探讨导数在解决恒成立问题中的应用，通过恒等变形如果不能直接解除参数，那么可以将参数分离出来，构造新函数，再用导数求解。

当0＜y＜1时；F′（Y）＞0；当y＞1时，F′（y）＜0；所以F（y）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数 F（y）在 y=1处取得极大值。

因为y≥1，所以h′（y）≥0，

所以 h（y）在［1，+∞）上单调递增，

所以［h（y）］min=h（1）=2＞0，从而g′（y）＞0。

解题规律:要使得 F（y）≥c（或 F（y）≤c）（c 为常数）在某个区间［a，b］恒成立，先求出 F（y）在该区间上的最小值 F（y）min（或最大值 F（y）may）并且 F（y）min≥c（或 F（y）may≤c）即可解决问题。

例2.已知函数f（x）=-x+alnx。

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明

当a≤2则f′（x）≤0当且仅当a=2，x=1时f′（x）=0所以f（x）在（0，+∞）单调递减，

（2）由（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a＞2。

由于f（x）的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设 x1＜x2，

则x2＞1。由于

在高中数学学习过程中以及高考试题中，运用导数可以解决函数的最值、极值、不等式问题，导数还可以在知识的网络交叉处设计问题，在学生高考中占有重要地位。因此，我们必须重视导数在恒成立问题中的重要作用，作为教师要突出对于导数恒成立问题应用中的探讨，探索能够有效解决数学问题的解题规律和技巧，向学生讲授导数的独特运用方法，引导学生独立自主的解决恒成立问题。