高考数学中导数的解题方法研究

武建波

（临沂国际学校，山东 临沂）

高考压轴题中导数类题目涉及诸多方面的内容，如函数的构造、导数的求导和运算、不等式的应用以及极值和单调性的考查等，这些内容结合了分类与整合、函数与方程以及转化与化归等数学思想，考查了学生多方面能力的综合应用，如：逻辑推理能力、判断能力、整理运算能力以及抽象思维能力等，对学生有很高的要求。也正因此，学生才会在导数类题目中感到举步维艰。本文从以下几个方面阐述了如何解决高考数学中的导数类题型。

一、掌握基础知识，提高解题速度

尽管近些年来的导数内容多以应用题的形式考查，并未有直接考查导数概念的题型，但是，正所谓“千里之行，始于足下”，如果学生没有稳固的基础知识，就不能从导数概念的实际背景出发，结合题目中所给的条件，从题目中提取相关信息，解决实际问题。因此，只有掌握导数的基础知识提升解题速度的前提，才能在思想和方法上进行深化。

例如，在高中数学人教版中导数基础知识部分，大纲中要求学生掌握的基本内容有导数的概念，包括平均变化率和瞬时变化率的意义，变化率与导数之间的相互联系等，这些都是学生解决综合问题的基础，在平时的学习中要注意加强这方面的练习。在导数的运算部分，教师要加强学生在初等函数的求导公式、导数的加减乘除运算以及复合函数的求导等几项基础能力的练习。在高考数学试题中，强大的运算能力是提高学生解题速度的前提，因此，在做导数类运算题目时，笔者建议学生要多注意总结一些常用的运算技巧，为综合性大题的解题方法思考留出足够的时间。

二、分析数学思想，巧用数学方法

数学思想方法是抽象思维的形象化，对其的掌握和运用体现了学生对数学本质的认知，近年来的高考导数试题中涉及了很多数学方法和解题技巧的结合，例如数形结合思想、分类讨论思想以及函数与方程思想，再结合构造法、放缩法等解题方法，使得高考导数压轴题花样百出，难度剧增。因此，在学生掌握导数基础知识的基础上，教师还要在日常的教学中对数学思想和数学方法的渗透加以强化，努力将各种数学方法和不同的知识模块相结合，使学生能够灵活运用。

解答此题，需要先解出g（x）=0时，m的取值，然后构建一个新的函数h（x），在此基础上研究该函数的单调性，求出其极值点和最大值点，根据其特征做出函数h（x）的图象，然后再根据得出的函数图象分区间对h（x）的零点进行讨论。反思整个解题过程，可以发现在讨论函数的极值、最值以及零点问题时，都会看到分类讨论这一数学思想的身影，这是因为在解决以上问题时，我们不能对题目中给出的对象进行统一的研究，只有在经过一定的分类之后，才能将每一种情况下的结果确定清楚。因此，学会分析总结一定的数学思想和解题技巧，对于帮助学生尽快找到恰当的解题思路具有重要作用。

三、适当进行拓展，巧妙锦上添花

由于导数部分的知识与高等数学的内容密切相关，高考试题中还经常会出现考查学生数学思想的“高观点”试题，而高等数学中的洛必达法则、拉格朗日中值定理以及泰勒公式等对于解决高中导数的一些难题具有四两拨千斤的效果。因此，为了解决这一类导数题目，就需要教师在平时为学生适当拓展一些高等数学的理论知识，以帮助学生巧妙解题，达到锦上添花的效果。

例如，在下面一道高考导数压轴题中，巧用洛必达法则，就能降低解题的复杂度。设函数f（x）=ex-1-x-ax2，若当x≥0时且f（x）≥0。

1.若a=0，求f（x）的单调区间。

2.求a的取值范围。

一般来说，此类题目的第一问都比较基础，因此学生得分率较高，而真正困难的地方在第二问，解答此问时，如果学生按照标准答案中的解题思路，由于其思维性较强，在处理到一定阶段的时候，学生多半就会进行不下去，导致得分率很低。而如果学生在第二问中巧妙地使用洛必达法则，在求解a的范围时，就会容易得多。当然，想要做到灵活应用，还需要学生在平时的练习中下功夫。

导数在高考数学压轴题中作为一道综合性强、难度较大并且具有一定区分度的典型题目，常常使学生感到棘手，许多学生甚至会放弃此类题目的作答。但只要教师能够指导学生按照科学的方法进行复习，特别在日常的学习中注重基础的把握和数学方法的分析归纳，最后加上恰当的课外拓展，就一定可以帮助学生树立信心，最终在高考中战胜此类问题，取得满意成绩。