模糊软集决策方法研究综述

李长仪，管建和，刘婷婷

（1.中国地质大学（北京）a.人文经管学院；b.信息工程学院，北京 100083；2.山东理工大学 商学院，山东 淄博 255000）

0 引言

软集理论由Molodtsov于1999年提出[1]，它为集合理论的研究开创了全新的参数化视角，从而受到领域内学者的广泛关注[2-8]。尤其是当Maji将模糊集理论扩展至软集范畴，确立模糊软集概念以来[9]，关于模糊软集理论及其应用的研究迅速成为该领域内的热点。诸如区间值模糊软集、梯形模糊软集、直觉模糊软集、犹豫模糊软集及其交叉结合等一系列模糊集与软集的融合性研究纷纷涌现[10-17]。

当软集理论引入决策领域后，其特有的参数化视角对当前的决策理论体系形成了有效的补充，伴随其丰富和发展也产生了一系列有价值的决策模型、方法和技术。本文在介绍经典软集决策理论的基础上，对模糊软集决策中的各类典型方法进行综述，探析相应模型、策略的理论意义、架构特点与决策局限，展望模糊软集决策领域的研究趋势。

1 理论基础

1.1 软集与模糊软集

假设U为研究对象的初始论域，EU（简记为E，称为参数空间）是与U中对象有关的所有参数的集合。这里的参数是描述对象性质、特征、特点的指标（在决策问题中，通常称其为属性）。于是，(U，E)又被称为一个软论域。

令P（U）为论域U的幂集，而A⊆E为参数集，则软集可定义如下：

定义1[1]：二元组S=(F，A)称为论域U上的一个软集，其中，F:A→P（U）是一个集值映射，称为软集的近似函数。取参数e∈A，则F(e)⊆U。

因此，软集不是对论域中所有对象全部信息的全面细致刻画，而是以参数的方式、从多方位的角度对研究对象的分类解读。基于实际决策问题中所掌握对象信息的有限性及审视角度的多样性，以参数化的方式进行对象刻画是符合决策常识的。

在此基础上，Maji等将模糊集理论与软集相结合，于是便产生了如下的模糊软集定义。

令F（U）为给定论域U上的全体模糊子集，E为参数集，且A⊆E。则：

定义2[9]：二元组F=(F͂，A)称为论域U上的模糊软集，其中，F͂:A→F（U）是取值为模糊集的映射，称为模糊软集的近似函数。

与软集类似，取参数e∈A，则F͂(e)∈F(U)称为e-模糊近似集。

由此，模糊软集可看作给定论域的参数化的模糊集族，是软集的模糊化扩展，是以参数为架构、以模糊信息为表征的对象表达模型。其不再局限于精确软集对对象参数的0/1简单描述，而是以更为灵活的模糊形式表达参数隶属程度，从而可广泛应用于各个领域的不确定状况。

1.2 经典软集决策

基于经典软集的决策研究中，Maji和Roy应用粗糙集理论中的属性约简方法对软集参数进行约简，然后计算选择值或加权选择值进行决策[18]；而Chen对Maji所采用的粗糙集属性约简方法的适用性表示质疑，提出了基于参数依赖的约简策略[19]；Çag̬man定义了软集的乘积并以之设计了uni-int决策算法，实现基于不同参数子集间的融合性决策[20]；之后又建立了软矩阵理论，并给出uni-int算法的矩阵化形式（max-min决策方法）[21]；F.Feng定义了选择值软集及k满足关系，对Çag̬man的uni-int算法进行了扩展[22]；Kong应用参数概率填补软集中的不完全参数信息，并基于选择值实现决策[23]；Q.Feng基于软集构建了分辨矩阵及软分辨矩阵，应用软分辨矩阵中各分类的参数对比结果进行对象排序[24]。伴随软集决策理论研究的不断深入，面向不同领域的应用架构也开始建立起来。肖智基于软集理论提出了企业竞争力综合评价方法[25]；Qin定义了信息系统等价类的软集模型以获取相应粗糙集的近似集，从而对分类数据集进行聚类属性甄选[26]；Xu将软集理论与统计回归分析相结合应用于商业失败预测中的财务比率分析[27]。

总体而言，基于选择值的策略是最为典型的解决基于软集架构决策问题的方法。它遵循了软集理论的参数化研究视角，将论域对象的一系列参数刻画集结为性能优劣的综合表达，成为后续模糊软集决策研究的重要思想基础和方法支撑。

2 模糊软集决策方法分析

根据模糊软集决策的策略选择，本文将模糊软集决策方法归结为以下几类：基于参数对比的方法、基于参数值集成的方法、基于水平软集的方法、基于相似度量的方法等。本文将分别对以上各类方法展开综述，此外还对模糊软集群决策方法的关键技术进行了分析。（见表1）。

表1 模糊软集决策方法比较

2.1 基于参数对比的决策方法

基于参数对比的决策方法是根据模糊软集论域中各对象在相应参数上的大小比较关系而实现的决策排序。

早在2007年，Roy和Maji基于模糊软集中对象在各参数上的比较关系构建比较表，然后计算得分值进行决策排序，形成了模糊软集的这一决策思路[29]。为解决指标集之间有差异的群决策问题，李铭洋基于模糊软集构建加权比较矩阵，以加权比较得分值进行决策排序，从而在比较考量中纳入了参数的重要度[30]；邵亚斌应用特征函数表达了论域对象相应参数上的比较关系，给出基于加权距离的比较得分值进行决策排序，进一步实现了比较关系的具体量化[31]；王浩伦为解决失效模式与影响分析风险评估问题，将三角模糊软集转化为一般模糊软集，构建比较决策表形成方案排序[32]。

基于参数对比的决策方法契合了模糊软集的参数化架构及研究视角，但基于独立参数的比较排序最终归结为论域对象的综合得分，从而令各参数的优劣表现直接互补，容易导致非均衡解的产生。此外，该方法的计算复杂度高度依赖于模糊软集论域中对象的稳定性，当对象出现变动时，整体决策过程往往需要重新执行，这将直接影响决策的执行效率。

2.2 基于参数值集成的决策方法

基于参数值集成的决策方法是应用各类模糊数集成算子对论域对象的参数值进行集结，从而形成综合的模糊选择值以进行决策排序。

当Roy的比较得分值方法提出后，Kong对其表示了异议，认为应根据模糊选择值进行排序[33]。这一思路结合了多属性决策中综合评价的策略，也沿袭了经典软集的选择值决策手法。但通过对实质为模糊隶属度的参数值可加性的深入探讨，以F.Feng为代表的学者认为Kong以参数值求和计算模糊选择值的方法并不适用于模糊软集决策[34,35]。

在基于区间值模糊软集决策的研究中，Yang基于区间数上下限各自求和的方法计算区间模糊选择值进行排序[10]；而Xiao将区间值模糊软集转化为一般模糊软集，以加权模糊选择值进行排序[36]；Chen则运用区间三角模糊选择值计算决策值，实现基于区间值三角模糊软集的动态决策[16]。关于直觉模糊软集的决策方法中，Das基于直觉模糊软集的基数和选择矩阵，由医生关于多种症状的评价产生疾病的权重值[37]；Deli将直觉模糊参数软集转化为直觉模糊集，并进一步约简为一般模糊集以执行决策排序[15]；武华定义了广义直觉模糊软集的参数值聚合算子以产生被评估对象的直觉模糊评估值，再通过得分函数和精确函数进行排序[38]。

基于参数值集成的决策方法实质是基于各型模糊数集成算子，将模糊软集转化为相应的模糊集，然后根据模糊隶属度予以决策排序。目前，越来越多的模糊数集成算子被不断引入模糊软集决策之中，但这些研究主要集中在数理运算上的有效性，而对决策领域所关注的科学性、均衡性、现实性并未过多涉及。需要注意的是，模糊软集中的参数值表达的是论域对象在该参数上的模糊隶属度。鉴于对其可加性的疑虑，以参数值执行加和的决策方式在学界依然存有争议。

2.3 基于水平软集的决策方法

基于水平软集的决策方法是运用给定阈值将模糊软集转化为精确软集，从而以经典软集的选择值执行决策排序。

2010年，F.Feng首先提出了基于水平软集的决策方法，其中包括0.5（水平软集）、mid（水平软集）、top（水平软集）等具体的可调整策略[34]，并将其应用于由区间值模糊软集形成的约简模糊软集决策[39]。该方法在保持参数之间独立性的同时带来了简便易行的决策操作，故后续诸多学者的研究持续跟进。Jiang对F.Feng的方法向直觉模糊软集领域推广，提出了可调整的直觉模糊软集决策方法[40]；而Mao则定义了直觉模糊软集的中位数水平软集和P分位水平软集及可调整决策方法，进一步丰富了水平软集的应用策略[41]。Basu针对F.Feng的水平软集策略分辨能力不足的缺陷，提出了平均可能方法（MPA）以获取均衡解[42]。深入分析该方法可以发现，平均可能度的计算要求软集各参数具有相同的重要度，且基于其构建的平均可能水平软集忽略了不同参数的参数值分布形态的差异性。同时，当基于平均可能水平软集所产生的决策方案唯一时，并不能确保其是最优的且均衡的，而该情形也不会触发后续均衡决策过程。显然，“平均可能水平软集的决策方案不唯一”这一约束对产生均衡决策的保证并不充分。

在其他模糊软集的决策研究中，Yang的多模糊软集决策[43]，毛军军研究的时序模糊软集群决策问题[44]，Zhang的区间直觉模糊软集决策[45]，Wang的犹豫模糊软集决策[13]等，均运用了基于水平软集的决策思想。

通过对以上水平软集决策研究的解读可以看出，该方法秉承了经典软集的决策思想，在保持参数独立性的同时实现了简洁、高效决策。但同时也存在以下问题：首先，由模糊软集到精确软集的转化使得变换后的参数非好即坏，原有程度化信息完全丢失；其次，阈值的刚性带来了参数解读的严苛，会产生“丝毫差距以至天壤之别”的判断偏差；最后，水平软集的0/1形式评价结构令参数的决策认知两极分化，故分辨能力存在局限。此外，对于F.Feng提出的决策规则可调整的策略，调整标准的缺失使得调整操作具有盲目性。

2.4 基于相似度量的决策方法

基于相似度量的决策方法是基于模糊（软）集的相似性定义，对论域对象与理想解的相似程度进行衡量，以之实现决策排序。该方法在应用中可有两种策略：一是只给出理想解，将各对象与之进行相似度量；二是同时给出正负理想解，根据各对象与之距离在两者之间进行定位，完成相似度量。

就相似度量决策方法的研究历程而言，第一种策略的应用首先被予以关注。Majumdar在2008年就对软集的相似性展开研究[46]，然后对广义模糊软集基于参数值和相应参数的模糊隶属度进行相似性度量[47]；王浩伦应用模糊软集的群决策方法，基于专家意见相对平均值的偏移来确定产品族状态评价指标的权重[48]。在直觉模糊化的软集决策中，Muthukumar定义了直觉模糊软集的相似度量和加权相似度量方法，并应用于医学诊断[49]；Agarwal定义了广义直觉模糊软集，探讨了其相似性和大小比较规则以执行决策[14]。Alcantud在模糊软集决策方法的研究中，对F.Feng关于模糊选择值适用性的见解表示认同，并提出了基于对象参数值变换计算得分值的决策算法[35]。该方法应用过程中大量的参数值运算容易被误认为基于参数对比或参数值集成的决策方法，但通过深入分析可以看出，其实质仍然是基于论域对象的参数值模糊集与理想解模糊集的相似性度量。

基于正负理想解距离的相似性度量策略主要来源于TOPSIS决策思想。它将参数值表达融入距离运算，基于论域对象与正负理想解之间的距离进行相对定位，实现相似度量以完成决策排序。Xiao关于梯形模糊软集提出基于正负理想解距离计算接近度系数以执行决策排序[11]；Zhang定义了梯形区间二型模糊软集，基于参数加权的正负理想解距离定位进行决策[50]；Tao定义了不确定语言模糊软集，并给出了基于正负理想解距离的决策算法[51]。与TOPSIS决策思想一致，基于正负理想解距离的相似性度量方法的决策依据是基于距离的相对比值。因此，基于相对定位而最接近于正理想解的方案，其绝对距离并不能确保最小。

相似性作为模糊集的重点属性而被广泛研究，同时它也是决策领域的重要解决思路。近年来，这一方法被诸多学者应用于模糊软集决策。它将参数值表达的模糊隶属度抽象为论域对象与理想解之间的相似度，从而摆脱了参数各自独立的纬度束缚，为模糊软集决策开辟了新的视角。同时，需要注意的是：突破了参数壁垒的相似度，其可加性也带来了参数表现的互补，故一定程度上可能存在决策评价的非均衡性。因此，该方法应用中要防范“注重整体效用，忽视个体缺陷”的决策风险。

2.5 其他决策方法

除以上模糊软集决策方法外，还有学者将其他软计算理论、不确定度量、推理分析等技术应用于决策过程中。这些方法的引入丰富了模糊软集决策体系，为进一步提升决策性能开启新的思路，也为决策领域的深化与拓展提供了良好的借鉴。

Zhang给出了基于粗糙集方法的直觉模糊软集决策模型，应用基于阈值的直觉模糊关系将直觉模糊集转化为精确模糊集，然后基于粗糙近似理论执行决策，与模糊选择值、水平软集及其直觉模糊集推广的方法、MPA方法相比，展现了良好的性能[28]。但也可以看出，该文献基于粗糙近似推理的方法更适合于对象的分类决策而非优选决策；而其执行优选的群决策方法是基于直觉模糊的水平集来实现的。随着推理分析技术的不断发展，其对模糊软集决策的支持也被学者所关注。Tang提出了基于灰色关联分析和D-S证据理论的模糊软集决策方法[52]；而Wang则应用模糊测度和D-S证据理论实现直觉模糊软集决策[53]。在此，D-S证据理论应用中的证据组合焦元爆炸问题须予以防范。此外，Peng分别应用决策者的遗憾规避和前景偏好理论解决基于区间值模糊软集的随机多准则决策问题[54]。但鉴于当前遗憾与前景等行为理论的研究以描述性模型为主，其规范性还有待加强。

2.6 群决策的权重与集结

目前，基于模糊软集的群决策方法中，相似度量常被应用于权重确定，通常以群体决策的平均值为标准，偏移程度越高则权重越小。Xiao基于相似系数的计算，按15%～30%的比例舍弃风险较高的专家评价，其余专家给以均等权重[36]；Mao基于欧式距离计算专家评价对平均值的偏移并构建规划模型，分别应对专家权重完全已知、部分已知、完全未知的情况[41]；Tao基于TOPSIS方法和最大熵理论为不确定语言模糊软集确定专家权重[51]。此外，伴随时序（动态）模糊软集的提出及其群决策应用的推广，又陆续有基于指数衰减（或对数增长）的权重确定模型被采用：如毛军军定义的时序模糊软集[44]、Chen定义的区间值三角模糊软集[16]，均基于指数衰减模型确定时间权重进行动态决策。

模糊软集群决策方法中的决策信息集结主要以加权算术平均、加权几何平均等集成算子或模糊软集的且（与，AND）运算为代表。Xiao基于区间值模糊软集以算术平均融合风险较低的专家评价，解决不确定环境中的多属性决策问题[36]；Mao定义了直觉模糊软集加权算术平均算子和加权几何平均算子进行多专家评价集成[41]；次年，给出了时序模糊软集的算术加权平均算子进行多时刻信息的集成[44]；Chen定义了算术加权平均算子以集成区间值三角模糊软集表达的多时刻动态信息[16]；Tao应用加权算术平均集结基于不确定语言模糊软集的多方专家评价[51]。而李铭洋采用模糊软集的且运算将评价值进行融合，以解决指标集之间有差异的群决策问题[30]；王浩伦利用三角模糊软集的AND运算对专家的评价信息进行融合[32]。

3 总结与展望

作为当前软集理论与决策领域交叉融合的热点，本文对模糊软集决策方法进行了综述；在此基础上展望其未来发展趋势，以下几个方向的研究值得期待：

（1）就现有模糊软集决策方法而言，有的考虑了参数彼此的独立性而倾向于更均衡的决策方案，但在分辨能力上却先天不足；有的注重了对论域对象综合性能的考量，却忽视了参数的个体缺陷。因此，在深化软集理论参数化认知的基础上，研究兼顾决策均衡性与分辨能力的决策方法，将有效提升决策性能，这也是模糊软集决策方法研究的首要目的。

（2）各型模糊软集决策方法包含的模糊信息形式各不相同，构建的决策模型彼此独立。但在当前的大数据时代背景下，信息形态非常复杂，数据获取渠道多元，表达方式多样。故现实决策问题的一手数据往往是混合型的信息表达，在此基础上实现便捷、高效的实时决策成为新的需求。因此，基于混合模糊信息表达的统一化决策方法的研究具有明确的现实意义。

（3）许多模糊软集决策方法的研究主要集中于数理运算的可行性与有效性，而关于决策的科学性与现实性涉及有限。此外，决策方法相对于现实决策问题的适用准则、性能评价、调整策略等系统性问题解决方案的探讨目前还为数不多。因此，基于决策领域视角的模糊软集决策方法的专业化剖析与系统性完善，将促进其与决策理论体系的深度融合，构筑从抽象数学模型到切实应用技术的解决路径。

（4）近年来，粗糙集的粗糙近似理论、灰色系统的灰色关联分析、D-S证据理论的推理方法、遗憾与前景的行为理论等被纷纷引入模糊软集决策研究，尤其是模糊集领域的一系列研究成果被源源不断的纳入软集范畴，形成了对模糊软集决策研究的持续促进。有鉴于此，其他领域理论与模糊软集的交叉融汇必然会为模糊软集决策方法的丰富和发展带来很好的助推作用。