破茧成蝶,路在何方
——关于一道数学高考题的多角度思考
2018-02-24白子彦
白子彦
(五台县槐荫中学校,山西 忻州)
自实施新课改以来,创新意识就是高考数学考查的能力之一,伴随着课程改革的脚步,新课标Ⅱ卷中的创新立意的试题如缕缕清风,拂面而来,它们题意鲜明,背景丰富,寓意深厚,解法灵活多样,构成了新课标Ⅱ卷的一道靓丽的风景线,特别是理科第17题,这是一道集数列的递推公式、等比数列的定义、通项公式、及非特殊数列求和等问题于一体的综合性试题,研究好题如沐春风,此题看似平淡,却精彩纷呈,看似常规,却彰显能力,是一道值得研究的好题,下面从试题命制背景、解题思维形成的几种途径、变式提升入手进行探究。
命题给出答案如下所示:
(Ⅰ)由an+1=3an+1得所以是首项为公比为3的等比数列,因而{an}通项公式为
该题的解决,将 3n-1 缩为 2·3n-1,即 3n-1≥2·3n-1,进而得到不等式的证明,但这个不等式是如何想到的呢?由于过程过于简捷,又给放缩法增添了一层神秘的色彩。因此阐述这个不等式是如何放缩而来的是有必要的。
人民教育出版的普通高中课程标准实验教科书数学(必修)中,主编寄语中有这样一段话:如何才能学好数学呢?我们首先应当对数学有一个正确的认识①数学是自然的,②数学是清楚的。笔者对这句话的理解是:数学本身是自然的,我们用数学知识分析和解决问题时,也应力求解题思想的自然流露和解题过程的自然流淌。水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味。笔者是这样思考的:不等式左边是数列前n项和,由(Ⅰ)知又见数列既不是等差和等比数列,也不是记忆中能够求和的杂数列。
方法:构证等比数列证明。
研究高考试题的背景,就是要深挖题源,研而不倦。高考试题的背景是通过不同知识载体来实现和依托不同方式呈现的,只有我们弄清问题的本质,才能有正确的求解思路和方法。这道数列题的第二问本质就是借助等比数列的求和公式来命题的,因而在解题思路上应将其转化为等比数列的求和来解决。
教材是高考题产生之源,立足教材,着眼数学问题的自然产生,紧扣教材,关注数学问题的自然解决,因此作业教师,在引导学生探究多种解法的同时,要让学生领会原有的数学思想与数学方法。若能生成数学创新就更完美了,这样方能有效提高学生的思维能力和解题能力,使学生开拓解题思路,促进数学的高效学习。