“疑探并举”出新知——以“三疑三探”教改实录一则为例

王 欢

（安徽省合肥市第十中学，安徽 合肥）

一、“疑探并举”内涵

“三疑三探”教学模式包括“设疑自探”“解疑各探”“质疑再探”三个环节，通过疑问与探究相结合的教学手段，促进学生学会主动提出问题，独立思考问题，合作探究问题，同时养成敢于质疑、善于表达、认真倾听、勇于评价和不断反思的良好品质和习惯.

二、课堂实录一则

（一）给出例题，解疑合探

例题 已知曾＞0，赠＞0 且 2曾+8赠-曾赠=0，求曾+赠的最值.

T：思考，尽可能想出更多的解法.

S1：（解法一）由 2曾+8赠-曾赠=0 知

故曾+赠≥10.

T：利用基本不等式求出了最小值，是一种常见的解法，还有疑问吗？

S2：没有验证等号成立条件，当曾=2赠时取等号.

T：S2同学很细心，等号成立条件很重要，这是个容易忽略的地方，需要特别注意.

S3：用基本不等式只能求出最小值，怎么来证明没有最大值呢？

S4：由知，如果令曾=8，为了满足等式成立条件，须赠∞+∞，此时（曾+赠）∞+∞，故没有最大值.

S5：我还想到了另外一种解释，基本不等式其实就是对勾函数的一种特例，令，可知，此时化成一个关于t的对勾函数，根据函数图象可知，值域为［18，+∞），即无最大值.

T：这两位同学分别从两个角度来说明问题，第一位同学使用了数学中极限的思想，第二位同学对基本不等式的本质，即对勾函数，有很深刻的理解.

S6：我也利用基本不等式解出了这道题目，由 2曾+8赠-曾赠=0 知，进而故求出最小值为16.

T：这位同学用了两次基本不等式，进而求出最值.

S7：为什么两种做法得到的答案不同呢？

S8：（马上回答）他的做法不对，在第一次使用基本不等式等号时成立的条件是2曾=8赠，而第二次是曾=赠，显然两者不可能同时满足，故等号条件无法成立.

T：不错，利用基本不等式求最值，一定要注意三个基本条件，特别是在多次使用基本不等式的时候，一定要注意等号成立条件是否相同.

S9：（解法二）由 2曾+8赠-曾赠=0 知，（曾-2）（赠-8）=曾赠-2曾-8赠+16=16，故

T：S9同学非常聪明，巧妙地运用了配凑的方法进行求解.配凑法是一种较为高级的方法，需要平时的积累加上一定的灵感.

S10：（解法三）由 2曾+8赠-曾赠=0 知，此时，由曾＞0知曾-8＞-8，故f（曾）∈（-∞，2］∩［18，+∞），无最值.

T：用含有曾的代数式表示赠，进行替换，再利用基本不等式求最值，这也很常用的一种解法，可是得到的答案与前面不妥，他的解法有什么不妥的地方吗？

S11：我认为他做得不对，当得到时，因为赠＞0，故＞0，从而曾＞8，此时，曾+赠的范围是［18，+∞），与前两种解法的答案就一致了.

T：很好，S10同学只看到了题目中曾＞0的条件，而S11同学能看到隐含的条件这也提醒我们在做题的时候要注意挖掘隐含条件.

（二）教师引导，质疑再探

T：以上的第一、第三种解法都是解决此类题目的常用方法，现在请大家回过头来再看解题方法、过程，勇于提出你的疑问，进而探寻解法背后更加深刻的数学本质.

S12：第一种解法使用的是基本不等式，但是只有一个最值，而且这个最值还需要在等号成立的条件下才能求出，这就为解题带来了不便，在第一种解法中，可以明显感觉到这一点，我认为，基本不等式既然源于对勾函数，那么它的数学本质就应该是函数，求此类最值问题，也就转化为求对应函数在所给区间上的最大值和最小值.

S13：我同意上一位同学的观点，运用基本不等式求解还有另外一个难点，就是如何配凑成标准形式，这需要一定的技巧，往往不容易想到.

T：以上两位同学对第一种解法的本质把握得非常到位，需要提醒的一点是S12同学在表述上有点问题，“最值”是函数性质的一个特定名称，这也提醒我们在学习数学的时候一定要注意语言的严谨性.函数思想是贯穿高中数学的一条主线，通过基本不等式这一章的学习，大家需要进一步加强对对勾函数的掌握.

S14：老师，可不可以把所求的代数式曾+赠看作是一个关于两个变量曾和赠的函数解析式，进而把求曾+赠的范围转化为求一个关于两个变量的函数在定义域上的值域？

T：这位同学提出了一个很大胆的想法，把所求看出函数，也就是f（曾，赠）=曾+赠，这是函数吗？如果是函数，它又是什么函数呢？

S15：我认为f（曾，赠）=曾+赠是一个关于两个变量的函数，之前我们学习的都是关于一个变量的函数，叫做一元函数，那么这个就应该是二元函数.

T：很好，有同学已经给出了这种函数的名字，同学们准备如何来研究二元函数呢？

S16：根据以前学习函数的经验，我认为可以先作出函数的图象，然后直接找出在给定定义域内函数的值域即可.

T：这是一种很好的思路，只可惜以我们现在的知识还不能直接作出二元函数的图象，还有同学有其他思路吗？

S17：学完一元方程，学习二元方程的时候，使用的方法是“消元法”，这种消元的思想可以用来求解二元函数的值域，例如，例题中的第三种做法使用的是代换的方法，将代入f（曾，赠）=曾+赠得到，即转化为求一元函数f（曾）在［8，+∞）的值域.其数学本质就是消元的思想.

T：很好，这位同学用类比的方法，找到了求解二元函数的一种方法——“消元法”，消元的目的是将二元函数转化为所熟悉的一元函数来求解.今天，我们首次给出二元函数这个概念，请同学们总结一下，在不等式这一章，还遇到过哪些二元函数的题目呢，又是如何求解的呢？

S18：题目：已知葬≥0，遭≥0，葬+遭=1，求的范围.解法：通过基本不等式或消元法求解.

S19：题目：已知曾，赠满足条件的取值范围.解法：运用几何意义求解.

T：通过解答同学们给出的题目，我们进一步认识了二元函数，同时也总结出了求解二元函数给定条件求最值问题的三种常用解法，即消元法、基本不等式法和几何意义法.同学们今后见到有关二元函数问题时，要注意总结做法.在这个题目的三种不同解法中，函数思想作为连接其中的纽带，使得各种做法之间又相互联系，使得数学这门课程更加缜密！这也要求同学们在以后的学习中在注重一题多解的同时，也要思考如何多解归一，体会数学学习的乐趣.

三、小节

认知心理学家认为，创新来自基本的认知过程，就本质而言，创新是广义的认知，当原认知结构进行内化（推理）时出现断线（疑问），二者都必须借助质疑、解疑才能重新建构，进而融会贯通，建立新认知结构.

在自由质疑、解疑合探的过程中，一方面，教师更容易发现学生数学认知结构的断链处，从而进行有效的弥补（例如S5同学在使用两次基本不等式时没有考虑等号成立条件，暴露出他的认知结构中“未能理解基本不等式的数学本质”的问题）；另一方面，学生对原有认知结构中内容、关系重新审视反思，可能有所发现、创新，从而进行数学知识、结构的重新建构.（例如同学创新性地提出二元函数这个概念，在众人合力探索之下，总结归纳出求解二元函数条件极值的几种常见方法）.由此可见，创新始于质疑，终于探索，要想创新必先敢于质疑，想要创新必先勇于探索.“三疑三探”教学模式之所以能够培养出创新性人才，其本质尽在“疑探并举”中.