钱宝琮的数学教育思想

2018-02-24张美霞

咸阳师范学院学报 2018年2期

张美霞，代钦

（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特 010022）

1钱宝琮生平

钱宝琮（1892—1974），字琢如，是我国著名的数学史家、数学教育家、中国数学史研究的奠基者之一。1892年5月出生于浙江嘉兴南门外一个小地主家庭。1974年病逝于苏州。1903年2月考入嘉兴府公立秀水县学堂，1907年2月考入苏州省铁路学堂土木建筑专科，1908年参加公费留学欧美学生招考，并因成绩优异破格录取，是被录取者中年纪最小的。1911年毕业于英国伯明翰大学，1911年7月考入曼彻斯特工学院建筑系，1912年2月因家境原因回国，开始漫长的教学生涯，先后任教于上海南洋公学、江苏省立第二工业学校土木科、南开大学、南京第四中山大学（后改名为中央大学）、浙江大学。1956年被调到中国科学院，任一级研究员，由此开始了他的科学史研究的职业生涯。

钱宝琮生前担任过苏州工专土木科主任、苏州工业学校附属高级中学教务主任、中国科学社理事会理事、《科学》杂志社数学编辑、中华学艺社学艺丛书委员会委员、中国天文学会第六届评议会评议员、浙江大学数学系主任、《浙江大学季刊》编委会委员、《数学杂志》第一卷编委会成员和评议会会员、中国数学会改组后“新中国数学会”会员等重要职务，用辛勤的劳动培养和造就了一大批数学家，如陈省身、江泽涵、吴大任、程民德、张素诚等。

钱宝琮一生留下了诸多论著，是我国数学史研究和天文学史研究领域的奠基人和开拓者。吴文俊院士称赞“钱宝琮所著《中国数学史》论断正确可靠，堪称少见的世界名著”[1]417。1998年，在路甬祥和吴文俊院士的关怀、指导下，郭书春和刘钝等编委会成员成功整理出版了10卷本《李俨钱宝琮科学史全集》。另外，钱永红编写的《一代学人钱宝琮》是《李俨钱宝琮科学史全集》的拾遗补阙，文中收录了钱宝琮的学术存笔、自传、报告、学者书札等内容。无论钱宝琮是业余的数学史研究者（1956年之前）还是专业的（1956年后）数学史研究者，他的工作向世人证明了中国古代数学曾有的辉煌，为中国数学史研究奠定了坚实的基础。在数学教育方面，钱宝琮有五十多年的教学经验，课堂气氛非常活跃，深受学生的欢迎，形成了自己独特的数学教育思想，他的数学教育思想对当今数学教育有重要的启示作用。

2钱宝琮数学教育思想

钱宝琮虽继承和发扬了中国古代注重数学实用性的优良传统，但对古代数学教育并非一味效仿。对当时教育界的教育形势也非顶礼膜拜，而是通过自己的教学实践，探索自己的教学道路。

2.1重视数学史的传播与普及

民国初年，很多青年学子视数学为畏途，对于古代数学成就更是知之甚少。西方学术界起初并不承认中国古代数学的成就，即使是日本著名数学史家三上义夫的《中国和日本数学之发展》（The Development of Mathematics in China and Japan，Teubner，1910）也没有完全证明中国古代数学的独立性，很多学者怀疑中国数学的原创性[2]。

钱宝琮于1919年开始挖掘、整理中国算学史，并从20世纪30年代开始现代意义上的中国数学史研究。他认为挖掘、整理中国算学史的主要目的之一就是培养学生的爱国主义情怀与民族自豪感，正确认识我们伟大祖国光辉灿烂的数学成就，激励学生学习的积极性。他十分重视数学史料的传播与普及，除了在期刊报纸上发表数学史论文外，1925年到1927年，钱宝琮在南开大学开设数学史课程，并编写了《中国算学史讲义》，成为中国在大专院校开设数学史课程的先驱，他还多次组织中学教师讲习班讲授数学史，在杭州、上海等地作报告、作讲座，在北京师范大学开设数学史课程[2]。另外，他还提出师范大学应该开设数学史课。据谷超豪在《回忆钱宝琮老师》[1]321中讲道，他见到钱宝琮之前，对中国古代数学史一无所知，在校期间所学的数学内容完全是西方的，通过上钱老师的课，才知道中国古代数学的伟大成就。钱宝琮除了开设数学史课程之外，他在教授微积分等课程中也要渗透数学史内容。严昀在《缅怀敬爱的钱宝琮老师》[1]336中回忆说：“钱老师上微积分课的第一节课，讲述了古代数学的光辉成就，并鼓励学生要好好学习。”

2.2提倡数学史研究的重要目标是为中学数学教师素养的提高服务

中学数学教师的数学史素养对中学数学教学水平的提高具有重要意义，钱宝琮深刻认识到这一点。他不仅着力于从事大学数学教育与中国数学史研究，而且也非常关心当时的中学数学教育。他不但在大学数学教育中开设、讲解、渗透中国数学史，而且将中国数学史应用于中学数学教育教学中。在中学数学教学中，数学教学法是至关重要的，究竟怎样才能把一些数学概念的产生、发展过程得以全面、系统地讲解清楚呢？钱宝琮认为中学数学教师首先要具备数学史素养。他指出：“中学教师需要教学法，要教好学生，应该知道数学史，了解一个新的概念产生的客观条件，是如何从实践中来，不过现在还没有很好的参考书。过去西方对我国古代数学不太重视，其实，有许多东西是通过印度、阿拉伯传过去的。现在苏联等国家开始注意研究我国，但资料还不够，我们应该提供充分的资料。为此，我们方向是面向国际，还要为中学编出好的参考书。”[3]

同时，钱宝琮提出：数学史研究的重要目标是为中学数学教师素养的提高服务，在数学教材中设置数学史内容是相当必要的。显然，数学史与中学数学教育的真正结合，中学数学教师的数学史素养与数学教材中的数学史内容的设置两方面是相辅相成的。其中，中学教师的数学史素养的培养主要源于大学数学教育中数学史知识与数学方法的学习。由此，大学数学教育与中学数学教育形成了环环紧扣的数学史知识链。他曾设想：“要编写一部世界数学史，把重点放在初等数学的发展史……主要说明中学数学教科书（包括算术、代数、几何、三角、解析几何）中的来源。”[4]钱宝琮的这些书稿虽由于各种原因没有出版，但他于1955发表了《算术教材中祖国数学家的成就》，文中对初等数学中算术部分的古代数学史做了详尽的论述，包括：记数法、乘除法则、分数、十进小数、比例问题和算术难题。他指出：“祖国数学家不是仅仅对于算术有成就，对初等数学中不论代数和几何都是有伟大贡献的，在算术方面，几乎每一章都有祖国数学家的辉煌成就，在数学发展史上值得我们夸耀的。”[5]对于“算术难题”部分，他指出此类题型主要为了增进学生学习数学的兴趣，培养学生思考问题的能力。

2.3培养学生“质疑问难”的学习方式

正如莫里斯所说“问题是数学的心脏”，数学教学中培养学生问题意识于对学生思维能力的提高具有促进作用。在数学教学中，钱宝琮提倡启发式教学法，他反对填鸭式、经院式教学。他指出学生在学习过程中要不断提问，形成“质疑问难”的学习方式[1]339。问题的提出就是一大进步，问题的解决更是在求知过程中前进了一大步。这样有助于培养学生解决问题的能力，充分调动学生学习的积极性。他认为有很多中学生视数学为畏途，所以教师在教学中对此类学生必须循循善诱，引起其学习兴趣。

数学大师陈省身对钱宝琮的教学思想方法给予高度评价：“在教学活动中，宝琮先生十分注意调动学生学习的自觉性和主动性，善于启发学生自己的思路。他讲起课来，深入浅出，通俗易懂，旁征博引，左右逢源，把比较枯燥抽象的数学内容，讲得非常透彻，而且生动活泼，饶有风趣，这往往给学生留下深刻的印象，取得较好的效果。”[1]

据钱宝琮的学生严昀回忆说：“钱老师在讲课时，旁征博引，深入浅出，比较枯燥的数学经他一讲，变得生动活泼，易于接受了。”[1]336吴裕生在《读钱永红〈一代学人钱宝琮〉》中讲道：对于中学数学课程所形成的直观具体思维，以及拒绝无穷小、极限等概念，钱老师在教授微积分课程中，引用古人的名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，学生顿时茅塞顿开[6]。

2.4倡导数学理论与实用相结合

钱宝琮认为无论数学还是工程学、天文学等，在理论与知识的应用是相互联系、相互依靠的。他指出对于中国早期“学以致用”的一个错误理解就是认为不致用的就没有必要学习，认为数学是一种工具科学。他认为如果每个人都有这样的观点，中国的数学将永远不会进步。在《近似数计算方法的学习》一文中，钱宝琮进一步指出当时的初中算术教科书，所举的例题与练习题都脱离实际，数字太大，这样在教学中，教师与学生都感觉非常枯燥。他认为近似数算法与日常生活非常贴近，建议学生在初中一年级开始学习[7]。

在重视实际、重视计算方面，钱宝琮可称得上是典范。在浙江大学讲授微分方程时，他讲授理论的同时，特别注重实际的应用。遇到代数方程求近似根问题，他总是取系数为小数的方程，他认为这样可提高学生的实际应用能力[3]。在当时偏重理论且轻视应用的环境下，钱宝琮独特的观点是值得后人学习的。钱宝琮指出：“数学是起于实用，但只有实用绝没有数学，理论与实用相互为用，不是单单注意几个公式可以了事。研究数学不能因实用而放弃理论，同时也不能因为理论而偏废实用，二者不可缺一。”[1]123

对于数学是否是自然科学，长期以来，不少人错误地认为数学即是自然科学。即使到今天，《现代汉语词典》中自然科学的定义仍为：“研究自然界各种物质和现象的科学，包括物理学、化学、动物学、植物学、矿物学、生理学、数学等。”[8]把数学列为自然科学的分支学科之一。钱宝琮对数学与自然科学概念的认识与界定是深刻且科学的，他认为数学不是自然科学，数学是自然科学和应用科学发展的基础，因为它们的研究对象和方法不同。他指出：“数学有很多是应时代的需要而发展的，但是也有很多理论现在都找不到顾客，也不知该如何使用，如Fermat定理，质数的分布等。”（钱宝琮《数学的实用价值》，手稿，未发表，钱永红提供）然而，如果人们仍持有数学学以致用的观点，无视数学课程标准，将数学学习视为致用学科，忽略数学与各科之间的关系，他认为必将导致数学的发展停顿，各种自然科学和应用科学也很难进步。

2.5强调中学生数学思维方法的训练

钱宝琮极其关注当时的中学数学教育，对中学数学教育有着理性的认识。1941年，国民政府在《中学法》中指出：“中学应遵照《中华国民教育宗旨及其实施方针》，继续小学之基础训练，以发展青年身心，培养健全国民，并为研究高深学术及从事各种职业之预备。”“中学为严格训练青年身心，培养健全国民之场所。”[9]1943年，钱宝琮发表《论现行中学数学课程》[10]，文中毫不避讳地批判当时编订中学课程标准者对数学教育价值认识的弊端：误解中学数学教育的目标、价值和使命，又认定数学教育的目标为毕业出路之准备，所学科目为升学的预修科目，学习数学只为升学考试，同时，置数学思维训练于不闻不问之列。对于这些可悲的现象，钱宝琮提出：对于中学数学而言，中学数学课程应以培养健全国民为职责，中学数学为中等教育之重要科目，中学数学非工具学科。数学教育的目的不仅是为了升学或毕业。他指出：编订数学课程者，要真正了解各门学科的性质与其所意，完成“发展青年身心，培养健全国民”的使命，不当因毕业出路而转移其目标。另外，编订中学课程标准者不宜太过注重数学技能的实用价值，而忽略数学教育的文化价值与思维训练价值。

对于数学教育的价值，他的观点是：“数学教育的价值有实用、文化和训练3方面，关于实用者，以数学技能为主；关于文化者，以数学知识为主；关于训练者，以数学方法为主。”此处所提到的“数学的文化价值”并非现代意义上的含义，它更偏重于数学知识的掌握。钱宝琮特别强调数学思维方法的训练价值：“任何学科都有它的真实知识和应用技术，也有它发展这些知识、技术的思维方法。各学科的对象不同，知识和技术各有各的擅长，唯有思维方法，从基本概念发展到理论的步骤是大致相同的。”（钱宝琮《数学的实用价值》，手稿，未发表，钱永红提供）从而他提出：“中学数学教学的训练价值决不在它的实用价值之下”，“无论在学校内攻读任何科目，或在社会中应付事物，皆须有数学技能、数学知识与数学方法之训练，方克奏效”[1]124，因为“一个受过中等教育的人，数学知识与技能可以很少用到，或者竟毫无用处，四五年后，一齐忘却了，但数学思维方法的训练，可以转移的部分，还是一生受用不尽的”。（钱宝琮《数学的实用价值》，手稿，未发表，钱永红提供）

显然，数学教育的功效并不仅仅着眼于数学技能与数学知识的培养，技能与知识的掌握固然重要，但对于学生数学思维的启发，更是不可漠视的重要目标。数学思维的训练价值至大，“天地盈虚与时消息，此百事物之动静状态，莫不其数量相关。形数科学之探讨，实于人生，最为切要”[10]。正如著名的数学家韦尔所言：“所谓数学的思维方式，首先是指数学用以渗透到研究外部世界的科学以及渗透到我们人类事务的日常思维活动中的那种推理形式，其次是数学家们应用于自己的研究领域中的思维方式。”[11]

2.6关注数学人才的培养

钱宝琮从事数学教学、科学史研究的同时，特别关心数学人才的培养和科学史研究队伍的壮大。他除了自己直接从事科研工作外，还善于发挥集体力量，经常和大家讨论学术问题。如果有具体的科研任务，他都亲自挂帅、分工合作，实现青老合作、集体研究。对于学术上有争议的问题，他鼓励学生要善于争论，年轻学者不能什么都听老年人的，老年人也不能以长者自居，年轻人要敢于发表自己的意见[4]。这体现了钱宝琮严谨的学术态度，那就是学术和真理面前人人平等。钱宝琮认为招收研究生是培养高水平研究人才的最有效途径，为了培养青年人迅速成才，他经常把自己搜集的资料或者已成熟的想法毫无保留地交给青年学者。另外，他还建议改变培养方式，并提议请严敦杰讲授中国科技史，内容从如何使用工具书开始[1]313。

钱宝琮发现人才的事迹是非常感人的。20世纪30年代初，华罗庚曾寄给钱宝琮一篇《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》论文，钱宝琮在审稿后，发现文章虽不高深，但有一定的创造性，于是介绍到《科学》杂志发表[1]322。后来清华大学数学系主任熊庆来看到此文评价甚高，于是经华罗庚的同乡唐培经介绍，华罗庚被清华大学数学系聘用。据董光昌回忆：钱宝琮在授课时唯一的课外话就是涉及著名数学家华罗庚的，大概是希望我们学习和发扬华罗庚的数学专研精神[1]322。

我国著名的数学家陈省身与钱宝琮的渊源很深。钱宝琮是一次偶然的机会发现陈省身的数学天赋的。在《陈省身文集》中“学算六十年”中讲道：“钱宝琮是有名的数学史家，嘉兴人，是父亲的同学。他看见我读的数学课本有霍尔和奈特的高等代数，便说‘这先生是考究的。’钱先生说起，可以同等学力资格，直接投考南开大学一年级。”[12]钱宝琮的建议和指导对陈省身影响很大，陈省身对钱宝琮很是感激：“先生的指导启蒙之恩，未敢或忘！”[1]1

3钱宝琮数学教育思想产生的渊源

钱宝琮的数学教育思想，是他多年学习、教学、科研经验的总结与升华，其思想的产生有深刻的背景与原因。

3.1深刻的数学思想

钱宝琮的数学教育思想最直接的来源就是他深刻的数学思想和数学观，“由应用而达到抽象的理想而能成为一种学问时，就是数学”，“数学是抽象的学科”，“人类开化，即有数学。世界欲近文明，数学之贡献愈大，而数学方法之造就亦愈精微”[1]122-124，为数学之普及提供了前提，体现了钱宝琮对学生数学思维方法训练的重视。

“数学的实用价值比其他各科更大”，“数学非工具学科”[1]122-124，钱宝琮重视数学实理论与实用相结合的思想，得益于钱宝琮所受土木工程学科的专业训练、教授工程学科课程以及他多年的中国数学史研究，他推崇古人重数学实用性的观点。另外，土木工程训练在钱宝琮的数学教学生涯中扮演的是一种基础性的角色，为数学教学中理论联系实践提供了理论依据。浙江大学电机系的赵大智回忆：“钱先生在讲授数学课时，显示了深厚的工程知识底蕴，很多问题都紧扣工程实际问题。”[1]420

3.2为国争光的坚定信念

1919年，胡适、钱玄同等“整理国故”的道路大大启发了钱宝琮，他开始以整理中国算学史为己任，揭示或解释古代数学成就的意义和价值，这成为钱宝琮后来放弃土木科工作与教学选择从事数学教育与科学史研究作为其毕生追求的直接或间接动因。钱宝琮热爱祖国，热爱中国的传统文化，他抱着科学知识救国的信念，投身于教育事业。培养学生的爱国主义情怀是钱宝琮教学科研工作的主要目的之一，也是他毕生的信念和追求，他鼓励学生奋发图强，成为新中国的栋梁之才。他视科研与教学如自己生命，视学生如自己的子女，在这种思想的指导下，培养青年、关怀后学成为钱宝琮义不容辞的责任。他常常鼓励年轻人要超越老年人，一代要比一代强。即使在“文革”期间，钱宝琮长期被批斗，他仍然请求继续写作，在遭到无数次的拒绝后，钱宝琮叹息说：“不能研究，活着有什么意思？”[1]293即使在病榻上还坚持研究，直至生命的最后一息。不论何时何地，钱宝琮为国争光的信念始终不变。

3.3深厚的文化底蕴

钱宝琮少年时代家庭教育氛围良好，积极学习新知识。其父钱迪祥思想进步，相信当时的“维新”之学，经常阅读一些进步刊物，并鼓励钱宝琮考新式学校，学习新的科学知识，为钱宝琮日后从事数学教育和科学史研究奠定了扎实的基础。钱宝琮在几十年的教学生涯中，曾教授土木专科各门课程、代数学、物理学、初等代数、方程解法、最小二乘法、整数论、微积分、初等力学、初等解析算法、初等微积分、微分方程式、球面三角术、中国数学史、世界数学史、数学发展史、中学数学教学法等课程。这与他具有广博的科学知识和较强的数学功底是分不开的。

钱宝琮精通古代文学，造诣极深。在浙江省嘉兴府的秀水县学堂读书时，学校中大部分老师都是改良主义者[1]572，对钱宝琮“科学救国”思想的启发起到了重要作用。这里不得不提到钱宝琮非常崇拜的恩师张宗祥。张宗祥在秀水县学堂所授科目为国文、历史和地理。钱宝琮经常去请教中国旧学知识，对其后来开始科学史研究产生了潜移默化的影响。

在中国数学史研究中，有些问题是非常复杂的，只有深入、系统地研究才能取得正确的结论[13]。钱宝琮的大部分结论是正确的。正因如此，他才能在数学教学中深入浅出、引经据典，把一个枯燥的问题讲得生动活泼，并充分调动起学生的积极性。

3.4求真、求美的性格

钱宝琮在较早时即对中国算学史产生了兴趣，对清代学者如王锡阐、梅文鼎、焦循等人一生不事王侯、专心学术的高尚品质十分敬仰，对乾嘉学派所提倡的“实事求是”的精神非常推崇。这些经历使他逐渐培养起求真、求美的性格与“实事求是”的教学和科研精神，这种性格与科研精神在他日后从事数学教育过程中起到了导向作用。钱宝琮的数学教育思想与他求真、求美的性格是分不开的。他认为：“人类有求真、求美、求善之天性，引而申之，触类而长之，则有科学、艺术及社会之工作。”[14]在教学与科研中，他始终恪守“实事求是”的学术风格，并提出“事皆征信，言必近真”的治学准则[1]41。

他一生光明磊落、坚持真理、淡泊名利。1928年，钱宝琮在浙江大学新成立的文理学院担任数学系主任，文理学院的院长邵裴子聘用陈建功来校任教[15]，钱宝琮主动把数学系主任让给陈建功。钱宝琮开了一个好头，后来陈建功又把系主任让给更年轻的苏步青[1]581。

4启示与借鉴

4.1提高教师的数学史素养

数学教师不但要具备扎实的数学基础知识与技能，还要具有数学史素养。正如钱宝琮所说：数学史研究的重要目标是为中学数学教师服务。数学教师的数学史素养不是能讲一些科学家故事和逸闻趣事那么简单。在当今初高中数学教师中，大多数数学教师毕业于师范院校，且一些师范学院不开设数学史课程，所以这些教师任教后，遇到数学史问题，有的教师只是一带而过，有的干脆不讲，出现了隔行如隔山的状况。对于如何提高教师的数学史素养，对数学教师进行数学史课程培训和申请数学史研究课题的路径是有效的。教师经过一系列的培训和研究后，在教学中方可使数学文化和价值真正渗透到教材中，激发学生发现数学的美和思想方法，进而更加喜欢、热爱数学。通过追溯古人的数学思想方法，可启发学生的数学思维，进而培养学生的探索精神和审美能力，可以真正体现数学史融入数学课堂的意义与价值。

4.2要注重培养学生数学应用意识

人类的社会生活、生产实践与数学密不可分。中国是农业国家，实用科学早有专著，很多数学家都极其重视数学知识的应用。对于现今的教育而言，有很多学校还是采取“题海战术”，重视对课本以及课外参考书中数学问题的解答。在生活中遇到实际问题时，学生不能很好地应用所学数学知识来解决。产生这一现象的主要原因之一就是数学教师在教学中没有正确处理好发展学生智力与培养学生解决实际问题能力的关系。因此，数学教师在教学中要有目的地培养学生数学的应用意识，而非只停留在数学应用题的层面上，引导学生多参与社会实践，让学生从思想上真正体会数学与实际的联系。

钱宝琮一生投身于数学教育与中国数学史研究，他的数学教育思想是深刻的，回顾其思想，对当今数学教育有重要启示，特别是他提出“数学史为中学教师服务”的思想，为后来数学史与数学教育的整合提供了思想来源和借鉴作用。

致谢：本文在撰写过程中得到钱永红老师的帮助，谨此致谢!

参考文献：

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[2]李文林.古为今用的典范——吴文俊教授的中国数学史研究[J].北京教育学院学报，2001，15（2）：1-5.

[3]钱永红.钱宝琮先生的数学教育理念与实践[J].数学教育学报，2010，19（2）：8-10.

[4]何绍庚.畴人功业千古,辛苦济时方——纪念钱宝琮先生诞辰 100 周年[J].中国科技史料，1992，13（4）：40-52.

[5]钱宝琮.算术教材中祖国数学家的成就[J].数学教学，1955（2）：13-17.

[6]吴裕生.读钱永红“一代学人钱宝琮”播慧流芳[Z].江苏浙江大学校友会通讯，2015（3）：94.

[7]钱宝琮.近似数计算方法的学习[J].新教育，1950（1）：51-53.

[8]中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典[M].北京：商务印书馆，2012：1727.

[9]罗廷光.教育行政：下册[M].福州：福建教育出版社，2006：317.