数形结合思想在函数中的应用

崔丽华

（甘肃省临夏回民中学，甘肃 临夏）

在函数问题的解题过程中，通过数解形以及形助数的数形结合思想方法的运用，达到了最佳的解题效果。数形结合不仅是一种重要的思想，同时也是解决函数数学问题的重要方法。通过数形结合思想的有效运用，实现了形象图形与数学语言的充分融合，在解题过程中形象图形发挥了重要的辅助作用，能够将抽象的知识形象化、具体化，降低了解题的难度。对于学生数形结合思想意识的形成，以及其认知结构中根扎数形结合思想观念，将其当成一种运用自如的思维工具，对函数问题的空间想象能力不断提升与完善有着重要的促进作用，使学生真正达到了数学语言、数学表达式和图形之间的互译，形成了良好的解题习惯。因此，在数学教学过程中必须要对数形结合给予足够的重视，并让学生巧妙地运用数形结合的思想对函数问题进行有效解答。

一、以形示数

二次函数中的概念是对某种数量关系的反映，通常采用符号或者文字的形式来表示这种数量关系。而图形作为重要的语言，具有文字表述所不具有的直观展现特点，其精练性更加突出，利用图形的这一特点就可充分解释文字语言，让学生形成良好的数形结合思想，更促进了学生对函数概念的理解。例如：顶点以及最值这些二次函数中的重要概念，在教学二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）性质时，通过图象的形式对其进行描述：当a＞0时，图像有最低点，则函数有最小值，即当 a＜0时，图象有最高点，则函数有最大值，即通过图象的描述，学生对图象顶点坐标知识有了更深的了解，并且将函数的最值情况进行充分的反映，加深了学生对此类知识的理解，明白了二者之间存在的联系。

又如例题：函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［0，2π］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围是（ ）。

分析：本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，大大地节约了时间，提高了解题的效率。

二、以数助形

在对函数问题进行解答的过程中，让学生利用各种解析式对应地将图形示意图画出，并将其性质表示出来，存在很大难度。教学实施过程中应当遵循循序渐进的原则，利用示意图来对其相关性质进行表示，并在教学过程中反复让学生对以前学过的二次函数的关系式、图象和性质等进行有效的复习。这样遵循循序渐进的原则，学生在对二次函数的解析式、图象和性质进行学习时，已经具备全面与完善的知识脉络，解题将更加顺利。

如求方程lgx-sinx=0的解的个数。

分析：此方程解的个数为y=lgx的图象与y=sinx的图象的交点个数。

因为sinx≤1，lgx≤1，所以0在平面直角坐标系中作出两个函数的图像，在图形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

三、加强作图训练

在对函数图进行制作的过程中通过描点法进行作图训练，提高制图的准确性与熟练性，对于函数的学习将起到巨大的促进作用，通过有效的作图训练更能让学生对函数的性质进行把握。具体教学实施阶段，让学生依照函数的性质反复地进行函数图的制作，避免了死记硬背对知识掌握的不牢固与不能灵活的运用。如此一来，学生的函数作图能力得到了进一步加强，同时学生的知识记忆也越深刻。并且，学生在作图的过程中能够更加充分掌握函数的性质，变枯燥繁琐为具体形象，在函数知识的学习过程中，头脑中时刻显现着鲜活的图形，使得数形结合的思想在学生认知结构中逐渐根深蒂固。

四、加强识图训练

1.“读懂图”是函数学习的前提，也是建构问题时数形结合思想运用的具体体现，在数学教学过程中，二次函数与图象性质是其中的重要内容，同时也是其中的教学难点。必须要不断地提升学生表述符号语言、图像语言和文字语言的能力，通过训练促进学生理解力的不断提升，能够很好地识别图形、认识图形，利用图形对数学问题进行解答，建构数学问题时能够很好地运用图形及其关系式，实现数与形的全面融合，促进函数教学效益的不断提升。

2.“选择载体”在利用数形结合思想对问题进行分析与解答中起着非常关键的作用。通过数、形二者间桥梁关系的建立，更加充分体现数形结合的思想。必须要在一定的条件下对相关的载体进行有效的选择，灵活地运用数形结合思想，这对全面地认识和理解函数概念具有非常重要的意义，能够极大地提升函数解题效果。

通过数形结合的思想对函数问题进行分析与解答，使学生在解题过程中形成数形结合的良好学习习惯，促进数学教学效益的不断提升。