一静一动，使好“思维定式”这把双刃剑——基于函数恒成立问题的思考

凌佳丽

（江苏省苏州市吴江区平望中学，江苏 苏州）

宇宙或由数学统治，数学充斥着自然界的角角落落，数学在中学教育体系中的重要性不言而喻，更是中高考重点考查科目之一。数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学。学习数学是学习数学思维过程及数学思维成果，可以说数学思维是动的数学，数学知识本身是静的数学，两者辩证统一。

高三备考，地毯式搜索大量习题，高强度训练，尽显思维定式优劣。思维定式本是心理学概念，指人们在认识事物时，由一定的心理活动所形成的某种思维准备状态，影响或决定同类后继思维活动的趋势或形成。环境不变时，思维定式使人应用已掌握的方法迅速解决问题，在情况发生变化时则会妨碍人采用新的方法，即，消极的思维定式是束缚创造性思维的枷锁。

一、静——循规蹈矩，发挥“思维定式”的优势力

笛卡尔说：“我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则。”不可否认思维定式有其积极方面。在高一、高二数学新课教学中，由于课程紧，总是刻意突出本节内容重要性和某种方法的优越性，搭配习题予以巩固，便容易形成解决某类问题时总采用对应固定方法的思维定式。在一定程度上为高三复习奠定解题能力基础。导数问题常见“恒成立”，常用方法是“函数含参讨论”和“参变分离”。

例 1.二次函数 g（x）对∀x 满足 g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，（m∈R，x＞0），若∃x＞0 使lnx＞0时-2m≥t（x）min=2e；lnx=0时无解；lnx＜0时t（x）在（0，1）递减且t（x）＜0，x→0时t（x）→0；x→1时t（x）→∞，故-2m＜0，综上即得答案。

这类问题的解决方法较固定，很难下定论哪种简便哪种应用广。具体操作中，也各有需谨慎之处。前者分类依据恰到好处是关键，后者在分离时需要留意系数的符号，如何才能运用得得心应手就需要多练、多思、多总结。

例2.函数f（x）=x|x2-a|，若存在x∈［1，2］使f（x）＜2，则实数a的取值范围为 。

变式：定义在区间D上的函数f（x），若存在正整数k使不等式恒成立，则称f（x）为D（k）型函数。设函数f（x）=a|x|，定义域D=［-3，-1］∪［1，3］，若f（x）是D（3）型函数，则实数a的取值范围为__________________。

两题解法相似，去绝对值分离变量转化为恒成立问题。x|x2-a|＜2 在 x∈［1，2］上有解且 a＜（x2+变式对∀x∈［-3，-1］∪［1，3］ 恒成立，a＞且f（x）≤0成立，求实数m的取值范围。

思维定式可在一定情况下迅速锁定解题方法，如例1是函数含参讨论，避免了分离变量时对系数符号的讨论，例2则是参变分离，这在实际教学中都得到了确切反馈。解决大部分类似问题时，思维定式作用下提升解题速度，确保正确率，把新奇的解题方法挂在嘴边，不如把常规的解题方法记在心里，说的是“思维定式”的优势力。

二、动——同中有异，突破“思维定式”的封闭圈

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。当我们遇到一个数学问题时，这个问题可能“似曾相识”，它的解决方法也是信手拈来，但在解题过程中总有某些“特殊之处”会成为羁绊。

像例3，有部分恒成立问题只能采取函数含参讨论。“分类讨论”是贯穿高中数学的基本能力与思想方法，分而治之，各个击破，综合归纳。化整为零，在局部讨论时降低难度。事实上是参变分离也难免分类讨论，这是考查学生综合能力的有效工具。

aex≥（a+2）令导函数复杂，并未随求导次数增加而简化。分离变量a（xex-2x+1）≥4x-2），φ（x）=xex-2x+1（x＞0），φ′（x）=ex（x+1）-2，（φ′（x））′=ex（x+2）＞0，φ′（x）在（0，+∞）递增，φ′（0）=-1，φ′（1）＞0 存在唯一 x0∈（0，1）使φ′（x0）=0，φ（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，φ′（x0）=0即令

本例与例3相反，只能参变分离，解答思路清晰但过程繁琐，两次构造新函数。第一次构造φ（x），两次求导，在导函数零点不可求的情况下判断单调性，如此迂回仅是为了分离变量而判断因式符号；第二次构造u（x），虽然求一次导数就完成作答，但u（x）的结构表象易导致止步不前。上述解法考查能力要求较高。在研究函数性质特点（主要单调性）时，通过求导进行分析，按题目特点，必要时进行二次求导，通过导函数研究原函数，或从导函数中抽取部分函数，构造新函数，再求导研究函数性质。无论题型如何变化，根本点即“导函数正负决定原函数增减”，这便是思维定式静之余的灵动部分。解答过程的繁琐不禁使人思考，有更加理想的变量分离方式吗？

aex≥（a+2）中取特值令都是参变分离，后者解法大幅简化，先是取特值缩小参数范围，同时也为分离变量确定符号，接着构造h（x），结构上比u（x）简便，不至于望而生畏。此例一方面巩固了解决恒成立问题的两种常规解法的思维定式，先按“直觉”择其一解答，能解题最好，否则迅速跳转他法，切不可止步于此；另一方面衍生了新的思维定式，即在参变分离时，不必纠结于“单个”的参数，只要参数与变量“分开”即可，分离的目的在于离开参数后的新函数尽可能简便易操作。此外在很多恒成立问题中，通过“取特值”放缩参数范围往往会带来便捷，如得到有用条件、适当减少分类讨论的情况等，这些都可在诸多习题中加以尝试，多多领悟，举一反三。

不要放过任何一道看上去很简单的例题，它们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。在充分发挥“思维定式”优势力的同时，也要注意克服“思维定式”的负面影响，提出某种方法、模式的使用条件与局限性，当学生出现因思维定式产生的错解时，应通过比较正解与错解，帮助学生从思维定式的封闭圈中走出来。数学学习是不断扬弃的过程，思维定式利弊共存，静的是诸多解题手段，动的是不断流淌的思维，静与动相结合，才能使好“思维定式”这把双刃剑。