浅议概念学习在数学活动中的落实

史宁中教授指出，数学要成为科学，第一个不可逾越的难关就是如何理解概念。同时，对几何学所需要的数学概念的抽象比代数学更为困难，越是直观的事物，或是与我们的日常生活联系密切的事物越难抽象。《认识三角形》是小学阶段“图形与几何”领域中十分重要的概念，围绕如何帮助学生在数学活动中理解这一概念，我们展开了实践与思考。

【教材分析】三角形的认识安排在“苏教版”教材四年级下册，例题1引导学生抽象出什么样的图形是三角形，例题2是通过人字梁中的特殊线段认识三角形的高。人字梁是认识“高”很好的模型，但在学生生活中并不常见，我们思考是否可以找一个合适的原型替换掉人字梁，但需同样发挥对“高”的理解价值。

【学情调研】全年级12个班，抽取其中两个班级对学情进行了测试和分析。

前测问题设计及分析（测试人数：86人，地点：三班、六班教室）

观察表1，我们发现，对于三角形学生已有感性认识，并能通过直观经验来辨别图形，但并未从图形的特征分析原因。如问题1中，长方形不是三角形的原因说明中约有85%的学生的理由是因为这是一个长方形，只有15%的学生理由是因为这个长方形有4个角。这节课，该如何通过活动将学生的直观经验变为理性思维，同时发挥“三角形”这一概念教学的育人价值呢？

表1

活动一：画三角形

师：这些图形认识吗？（从多个三角形形状的物体中抽象出三角形）它们大小不同，形状也不同，但大家都认为它们是三角形，这些不一样的背后有什么一样的呢？

生：有3条边、3个角和3个顶点。

师：显而易见，三角形有3个角，3个顶点，3条边。想一想，你能画一个三角形吗？

（学生都能画出一个三角形，而且速度很快）

画法1：先画一条边，再画另一边，最后连起来。

画法2：先点3个点，再将这3个点连起来。

画法3：利用三角尺画的。

师：过3个点能画一个三角形吗，为什么？

生（大多数认为可以，少部分举手）：如果点在一条线上就不能画出来了，要分开来。

师：请你画一画。点3个点，画出一个三角形，再点3个点，画不出一个三角形。

（展示学生的作品）

师：当3个点不在一条直线上时，我们才可以画出一个三角形。

思考：画出一个三角形，说一说三角形有怎样的特征。这些对学生来说都很简单，但这样的经验是零碎的，需要通过观察、比较、操作唤醒他们已有经验，并将不同三角形的共性凸显出来。画一画中，学生的画法不同源自对三角形有不同的认知，通过3个点画三角形则是让学生进一步清晰点的位置对图形的影响。学生在已有经验基础上，经历经验的提升，知识的反思过程，逐步抽象三角形的本质属性，感受知识中隐蔽的关系。

活动二：说三角形

师：通过我们画三角形的过程，你觉得怎样的图形是三角形呢？

（学生交流，当不完整时其他学生举出反例说明描述不准确）

生1：我画出了3个角的图形，但它没有围起来，它不是三角形。

生2：我画的图形有3个角，也围起来了，但它不是三角形，因为三角形必须有3条线段围起来。

生3：我画的虽然有3个顶点、3个角，并且由3条线段围起来，但它同样不是三角形，因为没有首尾相接。

生4：有3个顶点、3个角、3条线段，并且能首尾连接在一起，这样的图形就是三角形。

（学生讨论后确定三条线段首尾相接围成的图形是三角形）

师：在描述一个图形时，可以有不一样的角度，但都需要找到最关键的部分，用既准确又简洁的方式，让大家一看就明白。老师还有一个疑惑，一条线段有2个端点，3条线段应该就有6个端点，可为什么三角形只有3个顶点呢？

生：因为3条线段要首尾相接，其中3个端点重合了，所以三角形只有3个顶点。

师：3条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。正是因为3条线段首尾相接，三角形才一定会有3条边、3个角和3个顶点。

思考：在辨别图形、画图形的活动中学生有怎样的感性经验，就会从那个角度来表达。鼓励学生从不同角度去表达，并在比较中化繁为简，让他们看到数学概念的准确与简洁，感受到数学的严谨。学生在描述三角形时，最常犯的错误是忽视命名中概念出现的顺序，如“边”是出现在三角形命名之后，确定了这个图形是三角形，我们将三条线段命名为边，而学生习惯用边给三角形定义。这样的错误只能在引导中让学生关注线段的存在，有了线段的首尾相接才会有边，在对概念表达的锤炼中感悟本质属性，训练思维。

活动三：认识三角形的高

师：小老鼠杰瑞找到了一块饼干，带回家分享，它想把这块饼干完整地推回洞里，怎样确定它能否推进去呢？

（学生讨论，确定先量洞口的高度是8cm，再用工具量最高处到最低处，从顶点到下面这条边的距离。教师指出，顶点到这条对边的距离，也就是这块饼干现在的高度。饼干的高度是10厘米，确定不可以推进去）

师：（从饼干上抽离出三角形研究）画下来，量一量，在这个三角形中，我们量的是一条怎样的线段？

生1：这是从一个顶点画下来的垂直线段。

师：是的。它是从三角形的一个顶点到对边的垂直线段，在三角形中叫作三角形的高，这条对边是三角形的底。

师：饼干太高了，推不进去，怎么办呢？

生2：可以将饼干转一下，试试看。

师：量哪里呢？

生2：还是量顶点到这条边的距离，也就是现在的高度。

师：它与这条边有什么关系？

生3：它们互相垂直。（课件用三角板量出高度是9厘米，还是不能通过）

师：你们觉得还有希望吗？

生3：还可以将饼干转一下再推。（课件显示饼干转动）

师：高度变了吗？该怎么量出高度呢？

生3：还是量出从顶点到对边的距离。（课件显示测量高度过程，是7.4厘米，低于8厘米，终于通过）

师：小老鼠顺利地解决了问题，留下了一组图形，仔细观察，你有什么发现？

生4：三角形有三条高。

生5：每条边都可以作为底，每条底边和高是对应的。

师：继续观察（课件显示三个三角形重叠）你发现了什么？

（学生惊奇地发现，一个三角形里的三条高还相交于一点）

思考：三角形的高是认识的难点。高有两个不同层面的含义，一指的是一条线段，二指的是高线的度量值。借助“小老鼠推饼干”的故事情境，依据学生对“高度”的已有经验理解高线的特点，再从饼干上抽象出高线，清晰高是一条怎样的线段。饼干的几次转动，让学生逐渐清晰三角形不同的摆放位置高也会变化。在饼干位置的变化中，学生还能发现底和高的对应关系，意识到三角形的三条边都可以作为底，每条底都有对应的高。情境的创设，激发了学生探索的兴趣。

活动四：画三角形的高

师：我们认识了三角形的高，你能画出下面三角形底边上的高吗？

（学生独立画。发现有学生在画第三个三角形的高时有困难，有的画了斜边上的高，有的画的不是高，有的在迟疑）

师：老师发现有同学遇到困难了，谁来说说？

生1：这是一个直角三角形，我发现画这里的高时，它与三角形的边重合了，不知道怎么办了。（其他学生也认同他的困惑）

师：想一下，三角形的高是怎样的线段？如果与边重合，说明三角形的直角边就是这条底边上的高，我们标明就可以了。（学生释然）

思考：画高，实质是画过直线外一点的垂直线段，只是这点是三角形的顶点罢了，练习时需关注特殊三角形高的画法。由于数学的严谨与规定，画直角三角形的高放在练习中处理，可以让学生从一般中感受到特殊，在问题解决中进一步理解高的含义。

活动五：再画三角形

师：研究了三角形和它的高，我们再来画三角形。不过老师的要求是这样的：请画出底为5厘米，高为3厘米的三角形。同桌两人一人先画，另一人后画，你们能画出不一样的三角形吗？

（学生讨论，画三角形。展示学生作品）

师：确定一下，他们画的都对吗？（学生认为都对）比较这些三角形，你们有什么发现？

生1：它们的形状不一样。

生2：只要距离底边3格，那个点的位置有很多。

生3：另一个点可以在上面，还可以在下面。

生4：另一个点画斜过去，高也就跑外面出了。

师：同学们有很多的发现，三角形的底相同，高也相同，但呈现的形式却是丰富多样的，里面还有秘密呢，课后你们可以继续研究。

思考：只固定底边，让学生再画三角形，既可以对底和高的对应关系有进一步的理解，也可以让学生有自由的探索空间，保持开放的学习状态。画后再比较作品，让学生看到底为5厘米，高为3厘米的三角形是丰富多样的，激活学生的思维，让他们感受到图形的神奇，底和高不变，形状竟然可以变，为后续学习积累了经验和兴趣。

【教后思考】按照教育心理学的学习原理，概念学习一般有概念形成、概念同化两种基本方式，它们都需要具体的、直接的感性材料进行观察、感知、操作等活动，帮助学生理解概念的丰富内涵。在数学活动中进行概念的教学，我们要从多维度、多因素进行思考和设计。

1.把“奇趣”放入活动中。由于概念形成的过程需要学生自觉地从一些生动、具体的实例或操作活动中归纳、概括出概念的特征，因而设计时要充分了解学生的认知水平和心理发展特点，选择刺激强度适当、新颖有趣的情境或事例吸引学生兴趣，激发学生主动观察、操作、归纳，展开积极思考。另外，要深入理解概念的形成过程和本质属性，将新奇、趣味放到活动中，让活动能吸引学生。如“小老鼠推饼干”的故事情境，尽管生活中没有这样的原型，但猫和老鼠的动画人物深受学生欢迎；将三个三角形叠放在一起，学生看到三条高竟然相交于一点，让他们产生了惊奇之心，从而让课堂有了生机。

2.把“思维”放入活动中。数学活动不仅有外部的具体行为操作，还有内部的抽象思维活动，并且以内部的积极思维活动为主要行为。概念教学中，要通过问题设计把“思维”放入到活动，把概念的生成过程转化为一系列带有探究性的问题，把形式化的材料转化为可探究的问题。如在抽象三角形的本质属性时，学生需思考“为什么画的不是三角形”“什么样的图形是三角形”“为什么三角形由3条线段围成，却只有3个顶点”；在研究高时，学生需思考“小老鼠的饼干为什么推不进去，可以怎么做？”这些问题引导学生在思考中逐渐接近概念的本质。

3.把“自主”放入活动中。概念形成的过程需要学生亲历概念产生的过程，了解概念产生的背景、条件，感悟本质的特征。活动中应给学生自主探索的空间，避免学生无体验、无经历，要精心设计学生的自主活动，目标清晰，给学生充裕的探索时间，增加体验的丰富性。如在描述“_____的图形是三角形”时，放足时间让学生思考、交流，体验数学表达的严谨与简洁，感悟三角形的本质特征；在“再画三角形”的活动中，鼓励学生寻求不一样，激发学生的创造意识，感悟高的特征以及图形间的联系。

总之，在数学活动中进行概念教学，应充分调动学生的已有经验，引导学生独立自主地开展探究活动，由朴素的、零碎的直观经验构建清晰、良好的认知结构，让学生在学习概念的过程中增长知识，提升能力，逐步形成用数学思维思考、解决问题的意识。