椭圆面积的初等证明方法

周文芃

摘 要：本文通过使用初等数学的方法，借助同样半径长度的圆的面积，对比椭圆与圆中长度之间的关系，在空间坐标系中构建相似三角形，由椭圆中的椭圆三角形中的代数关系转化为几何关系，完成从边到三角形之间关系以及从边到椭圆面积之间的关系转化，从而得出椭圆的面积公式。

关键词：椭圆面积；椭圆方程；三角形相似；焦点三角形；图形转化思想

中图分类号：O123.3 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）22-0189-02

1 引言

椭圆是一种常见的几何对象，在实际应用中应用非常广泛，比如椭圆曲线在加密算法中的应用，椭圆在隧道孔口中的应用，椭圆在精密工程误差计算中的近似，这些问题可以划归为求椭圆与圆柱的截交线，求椭圆与双曲线的焦点的问题，更进一步地，化归为了椭圆的面积地的计算[1-5]。

椭圆面积在生活和生产中具有非常重要的意义，开普勒第二定律中有关于面积相等的命题是天文学中的重要且基础的问题，地球作为一个椭球，其二维投影—椭圆是进一步研究地球以及天气的基础[6-10]。

传统的方法基于定积分求解或是。关于椭圆的性质被广泛探讨，但是由于椭圆没有圆的良好性质，因此相似的方法无法使用，只能借助于更加高级的方法，比如：积分法，仿射变换法，透视仿射变换法等[11-14]。

圆是一种性质非常好的平面图形，也是椭圆中的一个特例。在定义圆的面积时使用的基本都是圆心和半径的长度，而这一性质无法推广到椭圆中，因为椭圆没有固定的半径。由于圆的特殊性在一些问题的分析中能够起到非常重要的作用，本文希望从对比中发现椭圆中的性质，借助于高中生都能够掌握的基本代数和几何知识进行推导证明[15-18]。

2 问题分析

在高中课本中，椭圆的定义有两个，分别如下所示：

定义1：在一平面内，F1，F2是两定点，P为动点，且|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|，a为常数），则P点的轨迹是椭圆。

定义2：在一平面内，F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0

以上两种定义都是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，但是不够直观，因此寻找一种直观的集合关系能够帮助我们求解这一问题。我们都知道：点动成线，线动成面。面的关系可以从线的关系中来，而且是正比例关系，不是常见的三角形面积的求解中的面积关系是线段关系的平方。

对于长半轴长度为a，半长轴长度为b的椭圆与半径为a的圆而言，从视觉上来看可以认为是一个圆被压扁了，从数学上来讲，当两者的长轴重合在一起的时候可以发现，椭圆在圆里面，椭圆的面积比圆的小。将两者重合放在平面直角坐标系中如图1-2所示，根据对称性，我们只需要分析右上角四分之一的圆和椭圆之间的面积关系即可。很明显，两个扇环的共同点是公共的长轴（半径），区别是与横轴垂直的線段的长度，如果这个线段的长度，如图所示CA1>CB2，OA>OB。

如果能够对比这其中的对应线段之间的数量关系，则能够将椭圆中的线段之间的关系推广到两椭圆之间的面积关系。由椭圆中存在的三角关系想到了构建直角三角形，并通过三角形相似建立边与边之间的数量关系。对圆与椭圆中的线段在与半长轴平行的方向上进行比较。根据圆与椭圆的对称性可以发现，只需对其中的四分之一圆（椭圆）进行比较。实际上，对应线段之间的关系在空间中体现得很明显，并且只利用椭圆中焦点三角形这一代数性质。这一过程将不直观的代数关系转化为了直观的几何关系，在证明中会更加方便快捷。保持圆不动，绕着长轴进行旋转，在空间中找到相似三角形，把椭圆和圆中的对应线段放进相似三角形的对应边中。将两椭圆放到空间中研究引导我们建立在椭圆旋转方向上的纵轴。在这个轴上不需要建立坐标，只需要利用空间关系对构造出的相似三角形中的性质加以利用。

3 推导证明

4 结语

本文通过将椭圆进行分割并与长轴相同大小半径的圆中的线段长度进行对比，建立空间直角坐标系从而发现规律。该方法与传统的使用极限法用三角形逼近的方法做了突破，简单地对比线段间的长度，使用三角相似和三角函数建立它们之间的关系从而得出结论。合理而又灵活地运用椭圆、双曲线的焦点三角形的面积公式，避免了冗长的推理和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了。本文还可以基于此研究任意角的扇环的面积，以应用于更加广泛的场景中。

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