椭圆与双曲线的一个美妙性质及应用

福建省南平市高级中学 占 峰

性 质1 过 点M(m, 0 ) (m≠ 0 ,m≠ ±a)的 直 线l与 曲 线相交于A，B两点，点则

证明：不妨设直线l的斜率存在，其方程为y=k(x-m)

∴kAN=-kBN直线AN，BN关于x轴对称，由此知：

注：在性质1中，当a＞b＞0时，C表示焦点在x轴上的椭圆；当b＞a＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；当时，表示一个圆．由此便知有如下的性质2．

性 质3过 点M(m, 0 ) (m≠ 0 ,m≠ ±a)的 直 线l与 双 曲 线相交于同一支上的A，B两点，点则

证明：不妨设直线l的斜率存在，其方程为y=k(x-m)

设A(x1,y1) ，B(x2,y2)，则

∴kAN=-kBN直线AN，BN关于x轴对称，由此知：

注：当B，A分别位于双曲线的左，右支时，则与性质3中的结论相反：

应用

例1 （2015年高考四川理科数学第20题）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.

(1)求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，

（2）因为b2=2，所以当点Q的坐标为(0 , 2)，由性质2知，y轴为∠AQB的平分线，所以恒成立.

例2 过点M(1 , 0)的直线与双曲线E：相交于同一支上的A，B两点，点N(4 , 0).若干，则直线l的斜率为_______.

解 由性质3知，x轴为∠AQB的外角的平分线，，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，则ΔANG∽ΔBNH，故（如图5）

设A(x1,y1) ，B(x2,y2)，则

入（3）解得y1=±故直线l的斜率