《乘法口诀》中的模糊理解问题探析

刘会容 张华波

众所周知，自然数是无限多的，人们为了准确无误地区分、使用每一个自然数，发明了“计数符号”和“计数单位”，通过“计数符号”给“计数单位”排序、定位的规则，来确定数轴上每一个自然数的“唯一名称和坐标”。

小学二年级教材中的《乘法口诀》受到“约定俗成”的影响，省略了对“计数单位‘十”有排序、定位作用的“一”（下文“一”同此意），因此就出现了“二六十二、三四十二、二七十四、三五十五、四四十六、二八十六、三六十八、二九十八”这八句缺“一”的《乘法口诀》。

一、存在的问题

“逻辑不严谨”：在把《乘法口诀》补充完整的题目中，面对“（   ）四十二”这个填空题，学生们就会因为“十”的“双重概念”（既表示“计数单位‘十”，又表示“实数‘一十”），而有两种没有任何“逻辑关系”的答案：即“（六七）四十二”和“（三）四十二”。

但是，这种“都正确”的结果，老师在情感上却是难以接受的。比如说老师出题“（  ）四十二”的初衷是想检测《乘法口诀》中的“（六七）四十二”，也就是说想问的原问题是“？×？=42”。而当学生把“？×？=42”的问题，用“？×4=12”的思维方式回答成“（三）四十二”时，老师却要被动地、无奈地接受这种与原问题没有任何“逻辑关系”的答案是正确的。

“结论不确定”：在题目“（  ）四十二”中，其结论部位的“四十二”，看似是“42”的大写（或读作），但在《乘法口诀》里它却并不一定表示“42”，因为“四十二”还有可能是“四”和“一十二”的“畸形排列组合”（即：“四”为因数，“十二”为积，而“十二”呢？则是“一十二”省略了“一”后的“特称”）。

也就是说，当我们用《乘法口诀》的逻辑规律（因数、因数、积）来推理“（   ）四十二”中的已知条件时，“四十二”却不能明确地表达一个主观意思，而是一个随意性的、模棱两可、不确定的意思。

二、可能给学生带来的影响

在《乘法口诀》中省略了具有实际意义的“一”后，学生们经常分不清“计数单位‘十”前面的数（类似于“（ ）四十二”中的“四”），究竟是十位上的“数值”，还是一个“因数”，这在《乘法口诀》的教学活动中给学生带来了很多“真真假假”的困惑和误解，老师也需要花很多时间来讲解，可是往往事倍功半。

比如：面对填空题“（   ）四十六”时，涉世不深的二年级学生总是习惯性地把“四十六”当作“46”，因而无解。当学生们明白是“（四）四十六”后，一些比较优秀的、善于分析问题的学生又会追问：为什么“四十六”不是“46”呢？为什么要把“四十六”分解成“4”和“16”呢？老师除了用不一定科学的“约定俗成”来搪塞外，别无他法。

再比如：“（   ）六十三”，正确答案是“（七九）六十三”，而学生由于受到《乘法口诀》“二六十二”的影响，很多学生会很负责任的提出：“老师，这道题目错了，‘（二）六不等于‘十三，应该是‘（二）六十二”。

上面的这些例子在现实中有很多，题目虽然不难，但这些问题发生在小学二年级学生身上是不足为奇的。

三、当前人们是如何对待这一问题的

1.过于尊重历史文化

在探讨《乘法口诀》中能不能省略“一”这个问题时，很多人会认为《乘法口诀》有“约定俗成”为依据，几千年来都是这么使用（从出土文物——东汉时期《乘法口诀》上的“一九如九，二九十八”可以印证），应该也有这么用的道理，从尊重历史文化来说，觉得还是从出题的方法上加以改进。比如：要求每个括号里只填一个数，老师出题时，需要填几个数就打几个括号等等。

2.迷信权威，过于依赖教材

在《乘法口诀》的实际教学中，绝大多数老师都被“约定俗成”的根深蒂固和《乘法口诀》的德高望重短路了思考，不相信、也不敢想象使用了几千年的《乘法口诀》会存在“逻辑不严谨”和“结论不确定”的问题。总是把一些“不尽人意”的“问题”归咎到学生的学习态度或理解能力上，然后以教材为主，精心指导学生反省自查，把学生从“主动发现问题”转化为“被动地适应问题”，最终让学生们在“问题”面前以“适应”妥协过关。

因此，这一本该早就解决的简单“问题”，在老师和学生们善意的理解、宽容、适应中得以生存。

四、《乘法口诀》中的问题不容小觑

1.从科学的发展观来说

科学上从不承认最终结论，《乘法口诀》虽然倍受人们的推崇和喜爱，但也不能例外，不排除其还有发展、完善的空间。下面让我们再从宏观角度来审视一下《乘法口诀》中的问题：

①违规使用了模糊概念

《乘法口诀》是严格按照逻辑法则推导出来的结论，这个推导过程可以说就是数学证明（教材上有推理过程），而数学证明必须严格遵守的六条规则的第4条指出：在数学证明中不能使用模糊概念，概念必须是唯一的解释，不能有歧义。而在《乘法口诀》中，拥有“双重概念”的“十”，就是“模糊概念”。

②违规使用了“特称结论”

为了维护结论的准确性，数学证明必须严格遵守的六条规则的第6条还指出：结论必须是全称的，特称结论一律无效。现行的《乘法口诀》中，“十二、十四、十五、十六、十八”正是《规则》中严格禁止使用的“特称结论”。因此，《乘法口诀》中的问题，看似偶然，其实也是必然。

2.从未来的发展观来说

尊重和传承历史文化是我们的光荣和义务，但是历史文化的产生和发展都有当时条件的局限性，随着社会的发展、科技水平的不断提高，以当今的科学水准来审视历史时，很多历史文化已经经不起科学的考验了。虽然我们不可能用当今的标准苛求历史和前人，但我们的教育面向的是未来，而未来所追求的科学、公正、永恒而富有意义的内涵，促使我们一定要敢于正视一切问题，在传承和使用历史文化时，应该取其精华、去其糟粕，在前人已有的基础上继续创新与发展。

3.从存在的社会问题来说

《乘法口诀》中存在的问题并不复杂，但给我们的教育事业带来的伤害却是深远绵长的，因为它导致我国每年都有近2000万的小学二年级学生，在年复一年、无休止地重蹈这一误区而不自知。

从大局来看，这些问题虽小，但它所影响到的面很大，从时间之长来说，再小的问题也不可小觑，所以《乘法口诀》有必要更新完善，直到永恒的完美无缺。

五、解决问题的方法

其实要想解决这个问题很简单，就是在《乘法口诀》中，把具有实际意义的“一”不省略，让“十”与“一十”能够明确区分（以“二五一十”中的结论“一十”为榜样），还原科学的、守规则的“三四一十二（原为三四十二）”等《乘法口诀》的本来面目。

下面以点带面剖析一下 “三四一十二”优于“三四十二”的理由：从“结构”上看，“三四一十二”更符合《乘法口诀》由有因果逻辑关系的“因数、因数、积”三个“完整的自然数”并列组成的条件，因为它各部位的完整，所以保证了“结构”的稳定性。从“结论”上看，“三四一十二”中的結论使用了“数的全称”，确保了“结论”的确定不疑，排除了类似“（   ）四十二”中的“四十二”会有两种截然不同意思的可能，从而维护了《乘法口诀》中每个“自然数”的“唯一”地位。从“逻辑”上看，有了“全称”结论的“三四一十二”后，在教学活动中，就不会再出现“（三）四十二”和“（六七）四十二”这种明显的“鸠占鹊巢”，并且还“都正确”的不合逻辑的答案了。因此，从数学要求精准的角度来说，完整的“三四一十二”比缺“一”的“三四十二”更趋于完美。

《乘法口诀》是人类智慧的伟大结晶，也是我国历代数学学科中含金量很高的基础知识，有着极其深远的学术价值和社会价值。因此，它向人们展示的应该是框架结构稳定、思维逻辑缜密和结论确定不疑的结合体，它不应该被“约定俗成”所束缚，况且“约定俗成”不一定是科学的、普适的。

（作者单位：天门市蒋场镇明德小学）

责任编辑  张敏