基于小波分析与BP-GARCH模型的人民币汇率预测研究

衡亚亚 沐年国

摘要：自2005年人民币汇率改革以来，汇率波动对我国经济发展产生了很大影响，因此对人民币汇率进行研究和预测有着重要意义。鉴于金融时间序列数据的波动性和非线性特征，以及小波分析在时间序列数据分析方面的优势，运用小波分析和BP-GARCH模型相结合方法，以2014年1月2日至2017年6月30 日的日人民币兑美元汇率数据为样本，实现汇率的有效预测。结果表明，该方法比BP神经网络的预测效果更佳，证明基于小波分析和BP-GARCH相结合的预测模型可提高人民币兑美元汇率的预测结果。

关键词：小波分析; BP神经网络; GARCH模型;汇率预测

The Prediction of RMB Exchange Rate Based on

Wavelet Analysis and BP GARCH Model

HENG Ya ya，MU Nian guo

（School of Management， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093，China）

Abstract：Since the RMB exchange rate reform in 2005， the exchange rate fluctuations have had a significant impact on Chinas economic development. Therefore， it is of great significance to study and forecast the RMB exchange rate. In view of the volatility and nonlinear characteristics of financial time series data and the advantages of wavelet analysis in time series data， in this paper， a combination of wavelet analysis and BP GARCH model is used to take the RMB exchange rate data from January 2， 2014 to June 30， 2017 as a sample to achieve effective prediction of exchange rate.The results show that the prediction effect of this method is better than that of BP neural network. It is proved that the prediction model based on wavelet analysis combined with BP GARCH can improve the prediction effect of RMB exchange rate against the US dollar.

Key Words：wavelet Analysis; BP neural network; GARCH model; exchange rate prediction

0 引言

中国人民银行于2005年7月21日宣布即日起放弃单一盯住美元的人民币汇率制度，开始实行以市场供求为基础，参考一篮子货币进行调节，有管理的浮动汇率制度[1]，随之汇率波动幅度加大，汇率风险增加，对汇率波动频繁和外汇风险可能带来的影响进行预测和研究越来越多。汇率的波动具有时变性、随机性、模糊性、混沌性等非线性特征[2]，看似杂乱无章，却又具有显著的非线性时间依赖关系、长效记忆性和自相关性[3 5]。所以，为了提高预测精度，人们提出了多种预测方法：①汇率决定理论。包括购买力平价理论、利率平价理论、资产货币汇率理论;②时间序列预测法。如ARIMA模型、 ARCH模型、随机游走模型等;③神经网络预测法;④小波神经网络预测法。由于小波变换具有时频性和变焦特性，而神经网络具有自学习、自适应和泛化能力，所以将小波分析和神经网络结合，对处理非线性系统具有独到之处。因此，本文提出了基于小波分析的神经网络预测方法，并将时间序列模型GARCH作为一个输入神经元加入BP神经网络，以此提高预测效果。

1 相关研究

汇率是一个非线性动态系统，传统预测方法对其经济指标的预测难以胜任，神经网络技术应运而生，它的出现为汇率变化趋势预测研究提供了一种崭新的思路[6]。如Refense等（1993）采用神经网络模型对汇率数据进行预测，并将预测结果与采用平滑方法的结果进行对比，发现神经网络预测结果更好。惠晓峰等（2002）采用遗传算法优化BP神经网络模型，对1988 1997年这段波动幅度较大的人民币汇率数据进行分析预测，发现该模型预测效果更佳。曾兴波、傅德红（2008）认为相比于传统的预测方法，神经网络对非线性时间序列数据的预测能力更强。王向宇等（2010）使用VLRBP神经网络、GRNN模型和ARIMA模型對汇率进行预测，结果表明VLRBP神经网络对汇率的预测较为准确。而随之兴起的小波分析凭借其在低频部分具有的较高频率分辨率、在高频部分具有的较高时间分辨率和较低的频率分辨率特性，在时间序列数据分析中进行了广泛应用。如王哲等（1999）利用小波分析对上证和深证股价进行分析，得出结论：利用小波分析可以去除信号中的奇异点。霍菲、张庶萍（2001）讲述了小波分析在股票、汇率货币等方面的应用。Enrico（2004）利用小波分析对时间序列数据进行去噪。史建平（2007）提出了小波方差的时间序列长记忆性方法，并用此方法对汇率进行分析。以上学者研究证明了小波分析是金融时间序列数据分析的有力工具，小波神经网络是其中一种。小波神经网络是小波分析和神经网络的完美结合，它融合了小波分析和神经网络的优点，与一般的神经网络相比，对高频信号的适应能力更强，预测效果更佳[7 8]。如樊智等[7]（2005）建立了小波神经网络逼近非线性协整函数模型，并给出了训练小波神经网络的变尺度算法，更好地刻画了多个时间序列数据之间的均衡关系。欧阳亮（2008）提出了基于小波分析和神经网络相结合的组合模型，通过小波分解与去噪，提高了预测精度。李萍（2010）将小波变换与神经网络结合，对汇率时间序列数据进行预测分析，结果表明预测效果较好。漆玉娟等（2013）采用小波神经网络对汇率作非线性逼近，并在此小波神经网络基础上进行改进，结果表明改进的小波神经网络预测精度更高。

2 模型建立

2.1 小波分析

小波分析理论因其多分辨率特性及在时频两域具有表征信号局部特征的能力，广泛应用于信号处理和分析[9]。小波分析方法是一种窗口大小固定但可根据信号不同的频率成分和时间采样疏密调节窗口形状、时间窗和频率的一种时频局部化分析方法，被誉为数学显微镜，具有放大、缩小、平移功能[10 11]。由于金融时间序列信号属于非平稳信号，所以这些信号有许多尖峰和突变，这些尖峰和后尾具有较高的频率，采用传统方法不能将有用信号的高频和噪声引起的高频区分开来。而小波分析具备这样的功能，信号通过小波分解到不同的频率通道上，经过小波单支重构，得到与原始信号一致的各层信号[12 13]。

2.1.1 小波变换

法国地球物理学家Morlet在分析處理地球物理勘探资料时提出小波变换概念（WaveletTransform）[14]。小波变换实际上是对函数的分解，利用小波变换可将原信号分解成不同频率的信号，每个频率带互不重叠，所分解的频率区间包含了原函数的所有频段。若待分析信号为能量有限的一维函数，则其连续小波变换为：

它的逆变换为：

其中， 和τ分别是伸缩因子和平移因子，ψ *（t）是ψ（t） 的共轭函数[15]。

连续小波变换是一种线性变换，具有以下性质：①叠加性;②时移不变性;③伸缩共变性;④冗余性。

2.1.2 小波分解

小波分解[11，16]是指将原始信号的总频带空间S进行逐层分解，它具有多分辨率分析特点，而且在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

对一个时间序列信 号S（t）， 其分解关系式为：

其中， D n为信号S分解后的高频部分，A n为低频部分，如果将信号进一步分解则A n低频可继续分解为低频A n+1和高频D n+1。其中A n 为低频部分，又称逼近信号，是对原始信号总体趋势的描述。高频部分也称细节信号，是对原始信号短期波动性或周期性的描述。利用小波分析将原始数据分解为三层的过程如图1所示。

2.2 BP神经网络

神经网络是由大量神经元互相连接而成的网络，它通过对人脑进行某种抽象和简化模拟大脑的基本特性。BP网络是当前应用最广泛的一种神经网络，据统计，当前80%～90%的神经网络采用了BP网络或其变化形式[17]。BP神经网络由数层互相连结的人工神经元组成，包含输入层、输出层及若干隐藏层，各层包含若干神经元，其中输入层负责接收来自外界的输入信息并传递给中间层各神经元，中间层负责信息变换。BP神经网络依照学习法则，通过训练，以调整连结链加权值的方法完成学习目标的收敛[18]，具有三层或三层以上结构，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。

由于金融时间序列数据的波动性和非线性特征，一般难以用数学方法建模进行预测分析，所以可建立BP神经网络模型解决这些问题。考虑到人民币汇率一周有5个数据，本文采用前5天的人民币汇率的对数收益率作为当天收益率的输入神经元，构建的BP神经网络为5-7-4-1，即具有5个输入神经元的输入层，7个隐藏神经元的第一层隐藏层，4个隐藏神经元的第二层隐藏层，一个输出神经元的输出层。

2.3 加入GARCH变量的BP神经网络

2.3.1 神经网络与条件异方差模型结合

对于神经网络来说，输入变量的合理性是决定网络成败的重要因素，所以可将条件异方差模型对人民币汇率的预测作为神经网络的一个输入量来训练网络，然后用所建立的网络进行预测。由于条件异方差模型是对数据的拟合，往往缺乏宏观数据对模型的解释，为此可在方差的预测方程中加入神经网络扰动项，以完善条件异方差模型对汇率数据的拟合。本文采用将条件异方差模型对人民币汇率的预测作为神经网络的一个输入量训练网络对汇率进行预测。

2.3.2 BP GARCH模型构建

本文采用前5天的人民币汇率对数收益率作为当天收益率的输入神经元，由于BP神经网络使用的输入神经元没有将对数收益率的波动考虑进来，因此加入GARCH模型，将要估计的条件变异数作为第6个输入神经元，所以建立的网络结构为6-7-4-1，即具有6个输入神经元的输入层，7个隐藏神经元的第一层隐藏层，4个隐藏神经元的第二层隐藏层，一个输出神经元的输出层。

2.4 模型评价方法

（1） MAE准 则（平均绝对误差）。

（2） MAPE 准则（平均相对误差）。

（3） RMSE准 则。

其中， T代表总样本数，T 1表示估计样本数目，T-（T 1-1）表示自由度，r i表示模型的真实值， i 表示模型的估计值。

3 实证分析

3.1 数据预处理

3.1.1 数据归一化处理

在神经网络训练过程中，为避免原始数据给计算带来的困难、神经网络对预测问题中变量的敏感性以及原始数据不能作为神经网络的输入和输出，需要对输入的数据进行归一化处理。数据经过归一化处理后能保持数据的原有特性，常用归一化公式见式（7），预测后再对数据进行反归一化处理。

3.1.2 小波分解

本文选取2014年1月2日至2017年6月30 日的日人民币兑美元汇率数据，所有数据均来自国家外汇管理局，共853个数据（其中不包括节假日和周末数据），并将前840个数据作为初始值建立预测模型，预测后13个数据。文中将汇率序列作相应处理，使其变为比较平稳的收益性序列。序列处理公式如下：

y t是收益序列，x t是t期的 人民幣对美元的汇率值，其对数收益率如图2所示。

利用小波分解方法对归一化后的汇率数据进行处理。根据兰秋军等金融时间序列去噪小波变换方法，收益率数据因其奇异点密度非常大，消失矩不能太高，所以小波函数选取db2～db4，sym2～sym4比较恰当;采用保守的rigrsure和minimaxi准则确定阈值，以保留较多信号;对于收益率序列，由于信号本身高频成分较多，所以小波分解层次一般不超过3层[19]。本文选取sym4作为小波分解函数，分解层次设为3层，即做尺度为3的分解并进行单支重构，过程如下：

（1）采用sym4小波函数将归一化后的时间序列分解为3层，得到4个子序列，其中 A 3为低频序列，D 3、D 2、D 1 为高频序列。

（2）对各子序列 A 3、D 3、D 2、D 1 分别采用BP神经网络和BP GARCHA模型进行预测，每一个子序列都得到一个预测值。

利用sym4小波分解后的各层信号如图3所示。

3.2 训练样本构造

把前839天的数据按顺序输人，作为网络的一个输入数据（即把样本数据从第1个取到第839个，作为p），再将后面的839个数据输入，作为网络输出即目标数据（即从第2个取到第840个，作为t），按这个方式进行滚动式排列，形成神经网络训练样本[20]。

3.3 BP神经网络和BP GARCH模型预测结果

用BP神经网络和BP GARCH模型对样本进行训练，参数设定值中输入层分别为5和6，第一隐藏层为7，第二隐藏层为4，输出层为1。要使神经网络产生所希望的结果，必须对其进行训练，即通常所说的网络学习，学习效果直接影响网络的预测精度[21]。输入层的转换函数均为tansig，隐含层的转换函数均为tansig，输出层的转换函数均为purelin，神经网络的训练函数均为trainlm，自适应学习函数为LEARNGDM，训练次数为1 000次，训练精度为0.004，学习率为0.01。将经过预处理的样本数据带入BP神经网络和BP GARCH网络进行训练。

为了检验所建模型对汇率数据的拟合程度，用训练好的网络对后13个汇率值进行预测，预测结果分别如图4、图5所示。为更方便了解每日数据差异，表1给出了数据的平均绝对误差和相对误差。为方便比较BP神经网络和BP GARCH模型的预测效果，表2对两种模型的预测效果进行了对比。

从表1可以看到，13个预测数据与真实值的相对误差最大为0.1166%，无论是BP神经网络预测值还是BP GARCH模型预测值，与真实值的误差都在可接受范围内，而且BP GARCH模型预测结果与真实值之间的相对误差，整体上来说小于BP神经网络预测的相对误差，即BP GARCH模型的预测效果优于BP神经网络。

3.4 模型评价

在表2中，BP神经网络的MAE值为0.002 1，MAPE值为10.840 5%，BP GARCH模型的MAE值为0.001 3，MAPE值为7.231 9%，即BP GARCH模型的MAE值和MAPE值均小于未加入GARCH变量的BP神经网络模型，所以BP GARCH模型更佳。

4 结语

针对汇率数据的复杂、非平稳性特点，利用小波分析和神经网络在汇率预测方面的优势，提出了基于小波分析和BP神经网络以及GARCH模型相结合的汇率预测方法。首先利用小波分析方法对经过归一化处理的人民币兑美元汇率数据进行分解与重构，得到低频序列 A 3和高频序列D 3、D 2、D 1 。再对这些子序列分别采用BP神经网络和BP GARCH模型进行预测，并对预测结果进行分析。最后对两种模型进行对比，得出以下结论：①汇率数据经过小波分析后再用于神经网络训练能显著提高模型的预测效果;②加入GARCH变量的BP神经网络预测效果优于单一的BP神经网络预测效果。

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