凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误

摘 要：数列最起码常识让5千年都无人能识的标准无穷大自然数及其倒数一下子暴露出来，从而揭示有首项的无穷数列必有末项。数集相等概念以及几何起码常识和区间概念凸显中学几百年解析几何有一系列将两异点集误为同一点集的错误。从而产生出病态的“高深”理论：直线段的部分点可与全部点一样多；射线S沿S正向平移变为射线S′≌S是S的真子集；巴拿赫-塔尔斯基分球定理。证明存在：几千年都无人能识的等长却不“等势”从而不合同的直线段；2500年都无人能识的R外标准实数。不识这类“更无理”的数和直线段使数学一直不知直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了，所以“直线公理（定理）”和“R轴完备、封闭”论其实是将无穷多各异直线误为同一线的“以井代天”的“井底”误区。

关键词：N内、外标准无穷大自然数及N最大元；貌似重合的伪二重直线段；用而不知的“更无理”数推翻“R轴各点与各标准实数一一对应定理”；推翻百年集论和百年自然数公理；推翻巴拿赫-塔尔斯基分球定理；保距及非保距变换

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）09-0180-06

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.09.114

一、导言：不能不重视著名数学家朱梧■、庞加莱的“超人”论断

百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”“都是自相矛盾的非集[1]”；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。1908年富有远见卓识的世界著名数学家庞加莱提出了著名的“超人”论断：后代人将把康脱的集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。（见张锦文等《世界数学名题欣赏·连续统假设》20页）。有过人科学洞察力的庞大师也许也“超人”地洞察到集论存在违反逻辑学常识的自相矛盾，清醒坚信：凡违反真正常识的理论必是对科学危害极大的病态理论。本文证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集。“自然数集（列）”N各元n均有对应标准自然数n+1等等。自识自然数5千多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数。然而数列最起码常识凸显有N外标准无穷大自然数>N一切自然数推翻集论立论的论据：中学的：N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N。所以须重新认识级数论。本文是[2][3]的继续与深化。

公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识直线段已有几千年。“科学常识”：因数学是严密精确的代名词故数学，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等数学绝不可能有重大错误；数学的公理、定理绝不可能被推翻。有一种“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。挑战各“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于太浅显的：①中学的几何起码常识c：重合相等的 有界 图形（点集）必合同。②数列最起码常识和区间概念。③所谓数集A=B是说A的元与B的元可一一对应相等。故高中生也有能力分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？

二、数列最起码常识和“一一配对”概念让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来——同是无穷数列，此列的项可多于彼列的项

设A={x}表A各元均由x代表，变量x的变域是A；A={（x，y）}表A是由有序数偶（x，y）組成的数偶集；A={（x，y），z}表A是由数偶和“单身”数z组成的混合集。其余类推。任一数集A={x}同时也是数偶集A={（x，x）}。

变数n取自然数。无穷数列N={n}各数n均有序号数n与之配对而均在第n号位置。位置可用○形象表示从而可看图识革命道理：N={◎① ② ...■…}中■表示n在第n号位内而与该位组成N的第n项，即“无穷旅馆”N中数n都“住”在n号“房间”内；一n前移“夺占”n′的房间的同时n的原住房也变空，故被夺房的n′可后移到空房内。将N各数挖去就得空房序列○○○...。级数论的“黎曼更序定理”是建立在“数列A各数任意改变前后位置（一位只能容纳一数）后就形成还由A全部数与位置组成的数列”这一中学应有的数列最起码常识⑴之上的。故如[4]所述N各非0数n≥1可保序前移一格改与n-1≥0号房配对，而0可后移到N的空房内从而形成有末项的M={① ② ③ …◎}即各n≥1改与n-1≥0号房配对后，0就可移到各非0数的后面而处在第Ω号房内，显然Ω是N的最大自然数。M还由N全部数与房间组成说明N各数无论怎样改变前后位置后都不会有数在N的房间之外——说明无论在怎样的配对法则下N的数与房间都可一一配对。

中学应有的数列最起码常识（2）：若数列A各数可两两配对而B各数不可两两配对则A≠B。N={n≥0}有偶数n=2p和奇数n=2p+1，p的变域{0，1，2，...，p，...}各元p变为一对数2p、2p+1组成数偶序列（集）N={（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…}，N的子数列（集）N+={1，（2，3）（4，5）...}={n≥1}是既有数偶又有“单身”数1的混合序列；“拆东补西”地让一偶数n与奇数1配对，n的原“配偶”就成一新单身奇数，故N+中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数从而使N+不能成为数偶序列。为什么？因N+中奇数比偶数多从而使N+各数不可两两配对；可见N+一切奇数组成的无穷数列的项多于一切偶数组成的数列的项。应有逻辑学起码常识f：“拆东补西”不能使混合序列变为没单身项的数偶序列。故由一对对数组成的集也由一个个数组成，但由一个个数组成的集不一定也由一对对数组成。详论见[5]。

混合序列N+各数n≥1变为n-1∈N使N+变为J={0，（1，2）（3，4）...}各数不可两两配对，而N各数可两两配对，据常识（2），N={n≥0}≠J={n-1≥0}。包含J的N≠J说明N中必至少有一J外自然数>无穷数列J一切数。N各数n变为其后继y=n+1>n形成后继序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}中各数可两两配对且其偶数与奇数一样多，而N+各数不可两两配对且其偶数与奇数不一样多，故H≠N+。因N+各元n≥1均是n-1∈N的后继∈H故H？劢N+，包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外标准无穷大自然数y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0显然是N的最大元Ω，因其后继y0在N外而大于N一切数n。人类由认识自然数到发现Ω及Ω±1等竟须历时5千多年！但获此发现的依据是数列最起码常识（1）（2）。5千年都无人能识Ω使初等数学一直将N的真子集J误为N，将N外数误为N内数从而将H误为N的真子集N+。文[4]有一改天换地的改偶定理：

h定理1（改偶定理）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”改配偶（新配偶必是F中人）使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身；故各单身必可一一配对。否则必至少有一F外人“混进来”参与新配对。故若新配对使一方保持无单身而另一方出现单身那就势必有数学一直未能察觉的外人“混进来”了。

证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新“夫妻”各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身 “再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与再婚者同一方的新单身，没别的可能。故每产生一对新夫妻的同时必生一对可配对的单身。所以定理成立。证毕。

右框框内相等的两数均已配■成数对。现上N各非0数n（≥1）∈N+均改与（位于其左斜下方）比其小的n-1（≥0）∈下N 配对，所有新配偶n-1∈下N 的全体是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}？哿下N；这新配对使上N中的0变成单身，据改偶定理下N也必有一单身Ω，这J（？哿下N）外的Ω∈下N显然是下N的最大元而与1∈下N相隔无穷多自然数∈下N。

集合起码常识a：无穷数集A的元x与B=A的元y必可一一配对成一对对数使A=B各元x同时或不同时均可有“配偶”y∈B=A，没规定各对数（x，y）中的y只能=x等等，y与x只要均是“单身”就可配对。

证：①数列N各数n均可有≠n的n′号房与之配对，即N各数n均可有配偶n′∈A=N。设“无穷旅馆”N中只有部分房间有空调，文盲都知若N的客房与客人一样多则不论如何配对，各人都必能配到一间房，只不过各人所配房间并非都有空调罢了。可见连文盲都懂的逻辑学起码常识说明无穷集A的元与B=A的元能否一一配对只与A和B是否分别包含一样多个元有关而与配对的方式方法完全无关。“真理都是很朴实的”，那些违反真正科学常识的“高深”理论必是对科学危害极大的病态理论。②A={0，1}中的0变为1，1变为0得{1，0}=A是非恒等变换。A={x}各数x变为y=y（x）组成B={y（x）}=A一定是一一对应变换但不一定是恒等变换，即y（x）可≠x。③上述框框内下N各数任意改变前后位置后各数n的“头顶”上都必有数（可≠n）∈上N可与n配对。据改偶定理，A的元与B=A的元一一配对成的数偶集{（x，y=x）}中有y任意改与≠自己的数x配为（x，y≠x）后各x、y还必可一一配对。这都说明“A各元x均可有配偶y∈B=A”中的 y（x）可≠x。证毕。

设A一部分元均由x代表另一部分元均由z代表，“A各元x、z均有配偶∈B=A”是说：A一部分元x均有配偶∈B=A的同时A其余元 z也必均有配偶∈B=A；断定B无单身与z配对显然是违反常识a的错误。据集合起码常识a ，N={0，1，2，…，n≥0，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N的全体是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同时N其余元 0也必可有配偶y=Ω∈A=N，这J外的Ω显然是…。断定J={n-1≥0}=A=N即断定A=N无“单身”Ω与N的0元配对显然是违反集合起码常识a的重大错误：说A=N的元与N的元不一样多 。

凡违反集合起码常识a的“无穷集”显然“都是自相矛盾的非集[1]”。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的标准无穷大自然数，显然其倒数<任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。“无穷集A=B但A每一元x并非均可有配偶y（可≠x）∈B”中的A=B因违反集合起码常识a从而是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。

h定理2：有最小（大）元的無穷数集A各元x若均有对应数y（x）>（<）x则各y（x）并非均∈A。

证：①有最小元x=i的U各数x与V的数y配对：相等的两数配成一对（x，y=x）；无穷多对（x，y=x）组成{（x，y=x）}中各x改与比其大的y（x）>x配对就使（x=i，y=i）中的y=i变为不可配对的单身，因新配对法规定各x都只与比其大的y配对，而y=i是最小数而不可比任何一个x大从而不可与任何x配对。将“最小”用“最大”替换，将…改为…，同样就有配不出去的最大数。

设有最小元x=i的A各元x有对应y（x）>x。A各元x与B=A各元y一一配对成F={（x，y=x）}=A=B中各x改与>x的y（x）>x配对从而x方保持无单身但却使F中的y方（假设各y（x）∈F=A成立）至少出现一单身y=i，据改偶定理，假设不成立即各y（x）并非均∈F=A而必至少有一y>x在A外。同样：②设有最大元x=j的A各元x有对应y（x）

有最小元的N各元n变为y=n+1>n组成H={y}，据h定理2，各y并非均∈N而必至少有一y∈H在N外。按证明存在Ω的证法易证有首项的无穷序列都有末项。

h定理3：无穷数集C的任何真子集B？奂C都不可～C，换言之，若A～C则A必≠B？奂C。

证：C各元x变为y（x）组成A={y（x）}～C而有x？圮y=y（x）。假设“～C的A=B？奂C”成立则C中B？奂C各元均由x代表的同时也均可由y（x）∈A=B？奂C代表（因A={y（x）}=B={x}？奂C）。据集合起码常识a，C各元x均可有配偶∈W=C，故C中B？奂C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x？圮y=y（x））的同时C其余（在B？奂C以外的）元 也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而无“单身”可供配对。故假设不成立即A≠B？奂C。这说明B？奂C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有数y在B？奂C外。证毕。

因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x+△x的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R沿R轴方向移动变为还在g内的点x′=x+△x，即实数的改变可形象化（注！是真正的形象化而非没有形象的假形象化）为管道g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。数学的图形可是离散的点的点集。直线上的点集Z：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x组成元为点x′的B≌A。铁球是铁分子的集合A，A变形为铁板是因其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铁分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。极显然：点集Z各点任意交换位置后还是原点集Z，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。有了各点还须有规定各点如何排列聚集的法则才能确

定一点集 ；点还是这些点，但其可聚集成长度为c的直线段A也可聚集成长为c的圆弧等等，A还可伸长（收缩） 变长（短）为新线段（～A）还由A的全部点组成。在纸片A上画上几个质点形成一点集。将A挂在画有直角坐标系的黑板上后再让A沿黑板不断移动（保距变换），此时各点的位置坐标不断变化但点集的组成成员、组织结构、各成员（所画上的那几个点）之间的距离关系，始终都没变。这说明：质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集与数集有根本区别。

h定理4：至少有两元的点（数）集A={x}（B={y}）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是A各元x有对应y（x）∈B且|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要条件是A、B各元有一一对应关系：x？圮y=±x+常数c。

证：A≌B时A与B的元必可有一一对应关系：x？圮y=y（x），距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。證毕。

同理，二、三维空间点集A≌B的必要条件是...。注：欲判断A？奂R（各元均由x代表）与B？奂R是否≌时，若A各元均由x代表则B各元须均由y=y（x）（x∈A）代表，h定理4说明A各点x通过各种保距变换变为新的点x+△x的坐标只能是y（x）=±x+c。在“一一对应相等”中应注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括号外的x和y=x+1的变域均为区间q=[0，1]，即q各元是x，当变数x的变域是q时；q各元是y=x+1，当x的变域是[-1，0]时；x可=a∈q，y=x+1也可=a∈q，各x=a（a的变域是q）与各y=x+1=a当然可一一对应相等：x=a？圮x+1=a（恒等变换），但要注意箭头两边的x是不相等的。

h定理5：至少有4元的点集（设想是质点集）K={x}的任何真子集A={x}？奂K都不可≌K。

证1：因保距变换不能改变点集的组成成员，故K去掉部分成员（元）变为A？奂K是非保距变换使A不≌K。证2：A≌K的必要条件是K～A。据h定理3，A？奂K不～K故K不≌A。证毕。

N+={n≥1}？奂N，N各元n≥0保距变为y=n+1>n生成～N的H={n+1≥1}（n≥0）≌N，中学几百年“N+=H”其实是将两异数列误为同一数列的肉眼直观错觉。据h定理5，≌N的H不是N的任何真子集，据h定理3，H～N不是N的任何真子集——说明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外标准自然数y0=n0+1>n0∈N。高等数学是研究变量的，而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。区间Q=[0，n]∪（n，n+1]中的变数n≥0由0→∞遍取N一切数n时Q的子区间[0，n]由0→∞地变长而长到包含N一切数n∈[0，n]。据中学区间概念在各[0，n]（n的变域为N）之外还有自然数n+1∈（n，n+1]——表明有N外自然数∈H。“包含一切已知标准正数的R各数x均有对应标准数x+1和x/2以及xn（自然数n≥2）等等”。R所有非负元x≥0组成R+。若用变域为R+的x≥0替换Q中n≥0则据区间概念在R+之外还有标准正实数。

可见一系列论据分别均表明N是有界集！5千年不识Ω使自有数集（列）和函数概念几百年来数学一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶数2g =0，2，4，…和2g+1组成的集不一定是N而有可能是N的真子（扩）集；从而使初等数学有几百年重大错误：将根本不是N的真子集误为N的真子集；将N的真子（扩）集误为N；将无穷多似是而非的假N误为N；从而将非可数集误为可数集。

三、不识“更无理”数使中学几百年解析几何一直将两异直线段误为同一线段——由发现无理数到发现“更无理”的标准无穷小、大正数竟须历时2500年

（一）集合、几何起码常识凸显直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了

说R轴各元点x可沿轴保距平移变为点y=x+△x=x+1>x就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴，其余类推。R各元x保序变为y（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常数k若≈1则I各元y=kx≈x与R各元x一一对应近似相等使I≈R（xy平面的直线y=kx≈x与直线y=x近似重合）；显然当且仅当k=1时才有：I各元kx=x与R各元x一一对应相等使I=R。可见数集相等概念表明x轴沿本身保序伸缩变换为y（x）=kx轴≠x轴（正常数k≠1）。

h定理6：至少有两元的数集A非恒等变换地保序变换为B必≠A。

证：A各数在集内分别都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的数，1是第二大的数，0是第三大的数；A各元x保序变为x2组成B={0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的鸡组成集合A和B，a（b）是A（B）中第n大的鸡，显然若A=B则a和b必是同一鸡。任一A={x}各数x保序变为y=y（x）组成B={y（x）}，x∈A在A中的大小“地位”与y（x）∈B在B中的大小地位是一样的，显然若A=B则x与y（x）必是同一数，故若y（x）不≡x则B≠A。证毕。

集合起码常识a和几何起码常识c显示自有变换（函数）概念几百年来数学一直存在重大错误：将变动了的直（射）线误为不变直（射）线。R轴即x轴各点x沿轴 非恒等变换地保序 平移变为点x′=x+1生成元为点x′的x′=x+1轴≌x轴叠压在x轴上，中学数学一直认定x轴=x′轴即函数x′=x+1的值域x′轴=x轴，因初中几何有直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。其实这是违反集合起码常识a的肉眼直观错觉。理由：

（1）据h定理6，这 非恒等变换 前后的直线不相等（平面的直线：y=x（y 的变域是R）与y=x+1不重合；显然若两直线各点的纵坐标y=x与y=x+1能一一对应相等则两线必重合）。（2）有最小元的R+各元x≥0均有对应x′=x+1>x，据h定理2，各x′∈x′轴并非均∈R+而必至少有一正数x′（∈x′轴）=η在R+外而>R一切数，显然η是标准无穷大正数，而1/η是无穷小正数。所以R是有界集！（3）x轴即R轴有子部射线x≥0即射线R+，与x轴“重合”的x′轴也有射线x′≥0。R轴子部射线x≥-1（包含射线R+）沿R轴正向平移距离1变为元为点x′=x+1≥0的射线s（？奂x′=x+1轴）：x′=x+1≥0（x≥-1）叠压在射线R+上。假设射线s=R+成立则据集合起码常识a，s即射线x′=x+1≥0（x≥-1）的真子集：射线x′≥1各点x′=x+1≥1（x≥0）均有配偶x（≥0）∈R+的同时s的 其余点 x′=x+1<1也必可有配偶x（≥0）∈R+，矛盾！因R+各点x≥0都已有配偶x′=x+1≥1（x≥0）而无单身与s的其余点配对，故假设不成立即s≠R+——说明x′=x+1轴≠x轴。

所以射（直）线A沿A正向平移非0距离变成的射（直）线B≌A中有元点“更无理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现违反集合起码常识a的尖锐自相矛盾。

区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意下文表明[0，1]与[0，1]？奂x轴或x′轴等，是不同区间；...。数学将R+记为[0，+∞）。射线R+各元x≥0保序不保距 变为y=x+△x=x2≥0组成{x2}=Y（不≌R+）叠压在R+上，说R+=Y就是说Y是射线R+。“无界”的R+与Y分别都有区间A=[0，1]？奂R+和B=[0，1]？奂Y，显然若R+=Y则A必=B。A？奂R+各元x不保距 变为y=x2生成元为y的B（？奂Y）不≌A，据几何起码常识c，B≠A（所以中学几百年“B=A”是违反几何常识c的错误）——表明R+≠Y。同理A各点x非保距变为点x′=xk（正常数k≠1）生成元为点x′的集≠A。由此可见仅凭几何起码常识c就可证“无界”的相应两“重合”射（直）线是否真的重合。

R轴各点x沿轴平移变为点y=x+△x=2x生成元为点y的y=2x轴叠压在x轴上。R轴的射线x≥1各元x≥1有对应y=2x>x，据h定理2，各y∈y轴并非均∈射线x≥1而必至少有一标准无穷大正数y（∈y轴）在射线x≥1外而>R一切数使y轴≠x轴。所以R轴是有界图形！

R轴即x轴各点x沿轴 非恒等变换地保序不保距 平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的x′=0.5x轴，中学一直认定x轴=x′轴，因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。理由：（1）据h定理6这…。（2）x′=0.5x轴不≌x轴，据几何起码常识c，x′轴≠x轴。（3）有最大元的区间T=（0，2]？奂R各元x均有对应x′=0.5x

由上可见仅凭h定理2、6就可證“无界”的R轴沿本身平移或伸缩（伸缩系数k>0且≠1可取无穷多数）可变为无穷多各异直线（均由标准实数点组成）相互叠压在一起，而中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异直线误为同一线：R轴。这是因数学一直不知有用而不知的R外标准实数，不知伸缩前后的直线若组成成员相同则组织结构不同，两者是“同分异构”体。所以“直线公理”和“R完备、封闭”论是“以井代天”的“井底”误区。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段（以及将各异面误为同一面）。

（二）几何起码常识c凸显中学几百年解析几何一直将两异直线段误为同一线段——百年病态集论的症结

流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“定义域=[0，2]？奂R的y=x/2=0.5x的值域=[0，1]？奂R”其实是违反几何起码常识c的肉眼直观错觉。直线段L=[0，2]？奂x轴有子部线段D=[0，1]？奂x轴即L=D∪（1，2]？奂L，L各元点x沿x轴负向平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的线段D′（～L）=[0，1]？奂x′=0.5x轴。～L的D′≠D？奂L（表明x轴≠x′=0.5x轴）的理由：

（1）L=[0，2]？奂x轴各点x变为点x′=0.5x∈D′生成D′（～L）=[0，1]？奂x′轴。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样，据h定理3（此理成立的依据是集合起码常识a），D′～L不是L的子部D=[0，1]？奂L即线段L收缩成D′～L不能成为L的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误。L压缩变短为D′～L是改变点集的组织结构的变换。D任两异元点间的距离是|△x|>0，这两点的对应两点∈D′之间的距离是|△x′|=|0.5△x|<|△x|说明D′与D有不同的组织结构。（2）据h定理3，～L的D′不是L的任何真子集说明≠L的D′各元x′=0.5x并非均∈L而其中必有数学一直未能识的“特异”的x′=0.5x=t在L？劢D外。以上的（一）已证明在D′=[0，1]？奂x′轴中有无穷小正数x′=0.5x

（4）假设D′={0.5x}=D={x}成立则D=D′各元均由x代表的同时也均可由0.5x∈D′代表，在D=D′方各元0.5x 与L～D′方各元x一一配对后再令D=D′各元0.5x改与=自己的数0.5x∈L=D∪（1，2]？奂L配对使D方保持无单身，据改偶定理L方也只有0个单身；然而事实上因L方的D？奂L各元与D=D′方各元如此配对后就将D=D′方的元配光了从而使L=D∪（1，2]？奂L中D以外的数∈（1，2]？奂L都不可有配偶∈D=D′而成单身。故假设不成立“D′=D”是一种错觉。

中学将D′～L和D？奂L误为同一线段使康脱推出错上加错的病态理论：L～D？奂L。“=D却不≌D的D′”中的D′=D因违反几何起码常识c从而确“是自相矛盾的非集[1]”，而真正的无穷集D′≠D。将一根针全部插入一蜡烛内，针不能成为蜡，但肉眼不能察觉蜡烛内有非蜡的针；同样，D′与D是貌似重合的伪二重直线段，两者只有重叠或相互嵌入关系而无重合关系，D′∪D≠D；但“肉眼”阶段的数学一直不能察觉D′与D似是而非，不能察觉D′中有R外标准正数，从而被伪二重集迷惑。

设射线x≥0去掉起点x=0后就成为“缺起点”射线x>0。[6]书将R轴一切正数点x组成的射线x>0称为正实轴。复平面z=x+iy的点z=0的对应点w=z2=0。[6]书208页：映射w（z）=zn（自然数n≥2）将正实轴z=x>0映射成正实轴w=zn=xn>0。说射线z=x>0的象w=zn=xn>0也是射线是正确的，但说这象=原象就违反几何起码常识c了，因映射z？圮w=zn是非保距映射使象不≌原象从而更≠原象。据h定理6和几何起码常识c可证中学一直将无穷多各异射线x≥0、x2≥0、x3≥0、...、2x2≥0、3x2≥0、...误为同一线。

四、将“非常高深理论”还原为非常朴实科学常识势必能大大减轻学生学习负担和缩短学制——推翻巴拿赫-塔尔斯基分球定理

几何学有一病态的巴拿赫-塔尔斯基分球定理，据此定理可推出“一颗豌豆可变成硕大无比的太阳”；据h定理可证此“高深莫测”的“定理”的症结是将“自相矛盾的非集[1]”误为无穷集，从而将伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形。

学习上不能满足于只知其然不知其所以然的低层次浅薄。傅种孙：“有多边形于此，截去一角所余必不与原形等积。试问何以知其然？答道‘全体大于部分。区区6字就解决了。事实上问题并不是这样简单，须知希尔伯特费十数页的篇幅才把它解决的。”（《数学通报》1962/11，25页）——可见“全体大于部分”的正确性使希尔伯特费十数页的篇幅才能解决的问题只用区区6字就解决了。本来根据连小学生也一看就知的非常朴实的几何常识就能证明的小学数学题却要“故弄玄虚”地变为需据“非常高深理论”费十数页才能证明的大学数学题，这是典型的化简为繁、化清为浊。数学的证明中有不少类似这样化简为繁的例子（例对隐函数存在定理的证明）。这势必大大增加学生的學习负担（使“减负”成空话）和不得不延长学制。产生出远远脱离实际从而对经济建设和加强国防毫无用处的“高深莫测”“数学”的症结是对数与形的认识有惊人浅薄和极重大错误；“深入才能浅出，浅入就只能深出。”“假传万卷书，真传一句话。”正确反映现实世界的空间形式与数量关系的数学才是真正的数学。

五、结语

“区区6字就能解决”变成“费十数页才能解决”现象说明百多年集论百多年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失，是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。没思维望远（显微）镜的“肉眼”数学被无穷对象中的假象迷惑从而陷入以井代天和张冠李戴的“井底蛙”误区，这误区使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“井底”一下子跃出进入到认识“更无理”的数和图形的时代从而不再被蒙在“井”里；从肉眼数学一下子突变成科学慧眼数学。

参考文献：

[1] 朱梧槚，肖奚安，杜国平，等.关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J].南京邮电大学学报（自然科学版），2006（6）：36-39.

[2] 黄小宁.凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J].数理化解题研究，2016（24）：19-23.

[3] 黄小宁.不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J].数学学习与研究，2016（5）：151-155.

[4] 黄小宁.数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J].科技视界，2015（32）：5-6.

[5] 黄小宁.证明数偶集{（1，2）（3，4）…（2n-1，2n）…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J].科技视界，2014（24）：362-362.

[6] 陆庆乐.工程数学·复变函数.4版[M].北京：高等教育出版社，1996.