如何在问题解决后进行“问题创造”

☉重庆市忠县中学校 成 波

数学概念、公式、法则、定理以及习题与应用中都包含着无所不在的问题，所有的数学教学都可以看成是问题的解决，教学工作在某个问题解决之后又应该继续哪些行为呢？

一、“问题创造”的价值

（一）促进学生深层理解

例1 笔者在“直线与平面垂直的判定定理”的教学之后引导学生围绕该定理进行了问题的再创造.

学生在笔者的适当点拨与自己的尝试下创造出了以下判断题并交由同桌进行了判断练习：

（1）假如某一直线与平面内的一条直线垂直，则该直线必然与该平面垂直.（×）

说明：将母题中的“两条相交直线都垂直”这一条件减弱成“一条直线垂直”，不改变其他条件和结论.

（2）假如某一直线与平面内的两条直线垂直，则该直线必然与该平面垂直.（×）

说明：将母题中“两条相交直线都垂直”这一条件中的“相交”两字除去，不改变其他条件和结论.

（3）假如某一直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线必然与该平面垂直.（×）

说明：将母题中“两条相交直线都垂直”这一条件中的“两条相交直线”改变成“无数条直线”，而对其他条件和结论则不进行任何改变.

（4）假如某一直线与平行于该平面的两条异面直线垂直，则该直线必然与该平面垂直.（）

说明：将母题中“两条相交直线都垂直”这一条件中的“两条相交直线”改成“两条异面直线”，不改变其他条件和结论.

学生在自己创造问题并相互交换的解答中对该定理内容自然而然产生了更加深刻的理解.

（二）促进学生系统地掌握知识

例2 笔者在“直线与平面”这一内容的复习教学中首先设置了以下填空题：

母题（填空题）：平行于同一条直线的两条直线之间的位置关系应该为______.

然后将学生分成四人小组并引导学生运用类比仿造的方法进行填空题组的创造，请学生再将题组提供给其他小组进行思考、讨论与交流，学生创造的填空题组及答案如下：

（1）若某直线与某平面同时平行于一条直线，则两者之间的位置关系应为______.（平行/直线在平面内）

说明：母题中的“两条直线”这一条件改变成了“某直线与某平面”，没有改变其他的条件和结论.

（2）若有两个平面同时平行于一条直线，则两者之间的位置关系应为______.（平行/相交）

说明：母题中的“两条直线”这一条件改变成了“两个平面”，没有改变其他的条件和结论.

（3）若有两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面之间的位置关系应为______.（平行/相交/异面）

说明：将母题中的“同一条直线”这一条件改变成了“某一个平面”，而对其他条件与结论则不作改变.

（4）若一条直线与一个平面同时平行于同一个平面，则这条直线与这个平面之间的位置关系应为______.（平行/直线在平面内）

说明：母题中的“同一条直线”“两条直线”这两个条件分别改变成了“同一个平面”“一条直线与一个平面”，没有改变其他的条件和结论.

（5）若有两个平面都平行于同一个平面，则这两个平面之间的位置关系应为______.（平行）

说明：将母题中的“同一条直线”“两条直线”这两个条件分别改变成了“同一个平面”以及“两个平面”，而对其他的条件和结论则不作改变.

（6）若有两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线之间的位置关系应为______.（平行/相交/异面）

说明：将母题中的“平行”这一条件改变成了“垂直”，而对其他的条件和结论则不作改变.

（7）若有一条直线与一个平面都垂直于同一条直线，则该直线与该平面之间的位置关系应为______.（平行/直线在平面内）

说明：将母题中的“平行”“两条直线”这两个条件分别改变成了“垂直”与“一条直线与一个平面”，而对其他的条件和结论则不作改变.

（8）若有两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面之间的位置关系应为______.（平行）

说明：将母题中的“平行”“两条直线”这两个条件分别改变成了“垂直”与“两个平面”，而对其他的条件和结论则不作改变.

（9）若有两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线之间的位置关系应为______.（平行）

说明：将母题中的“平行”“同一条直线”这两个条件分别改变成了“垂直”与“同一个平面”，而对其他的条件和结论则不作改变.

学生自己也不禁惊讶于这些定理、习题串联上的再创造，在相互之间的交流与探讨中也更加系统地构建了所学习的内容.

（三）培养学生的创造性思维

创造能力的培养需要创新性思维的不断发展这一核心作为有力的支撑，因此，教师应着眼于学生创造性思维的激发与锻炼进行具体的教学，问题解决之后的再创造对于学生好奇心与探索欲的激发是极其有效的途径，更为重要的是能够使学生在不断的思考与探索中充分发挥出其聪明才智并促成创造性思维最大限度的发展.

例3 笔者在“三角函数”这一内容的教学之后引导学生对以下题目进行了证明.

母题：在△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC=

然后将学生分成四人小组并引导学生创造出更多的三角恒等式，引导学生相互之间进行创造问题的探索.

学生在自己的努力与合作交流之下创造出了十多种的三角恒等式，部分创造思路如下：

（1）把已知条件“在△ABC中”这一条件削弱成“A+B+C=π”，则有如下命题：

命题1：若A+B+C=π，则sinA+sinB+sinC=

（2）有学生又分别应用倍角公式将上述恒等式的左边三项进行变式且两边同时除以最后再应用商数关系得出以下这一命题：

命题3：若A+B+C=π，则cosA-cosB+sinC=

学生在不断的认识与推理中前进并获得了很多意想不到的成功.

二、“问题创造”的教学之道

（1）在“问题创造”的起始阶段进行示范并告知学生方法，使学生能够进行初步的模仿.

（2）帮助学生明确创造的目的，使学生能够围绕一定的核心思想进行尝试.

（3）引导学生在解答题、选择题、填空题等不同题型中进行换位思考并尝试新问题的创造.

（4）引导学生着眼于课本内容与题目进行新问题的创造并因此促进学生对教学内容的多方面思考与深刻理解.

教师在学生进行尝试与创造时应经常巡视学生的活动开展情况，对无从下手的学生进行及时的启发以及适当的提示并给予肯定和鼓励，使学生能够保持一定的创造兴趣并进行相互交流、讨论，使学生能够在集思广益、取长补短的互帮互学中得到更多的体验与深刻理解.

三、“问题创造”的方法

（一）在削弱条件的基础上创造

选择原问题中的某一条件或多个条件进行适当的减弱或改变并获得新问题是“问题创造”的一种常见方法，一般来说，这可以理解成解题者在解决原问题之后所作出的进一步研究.

例4假设A，B分别为直角三角形的两个锐角，求证：sin2A+sin2B=1.

引导学生对此题证明之后进行进一步的研究可发现，当原命题中的条件减弱成“A+B=”时，原命题中的结论仍旧成立.

（二）类比模仿中创造

引导学生运用类比的方法对原问题中条件或结论中的某些概念进行模仿改造也是常用的方法.比如，将平面几何问题类比成立体几何问题的过程中采取的就是这一方法与思想.

（三）着眼于结果进行创造

着眼于原问题的结果进行变形并因此得出新命题的方法在“问题创造”中也比较常见.

（四）在一般推广中进行创造

将原命题视作一般命题的特殊情况并在此基础上进行新的更为一般的命题的创造.

（五）结果与条件互换中进行创造

将原问题中的结果与某个条件进行互换也是问题创造的一个重要方法.

回顾自己二十多年的教学生涯，按照以上做法进行“问题创造”也确实取得了很好的教学效果，今将笔者的一点思考与体会结合教学实际撰写成文，敬请同仁指正.