学“数”以致用用“数”以促学

汪道智

【摘要】数学核心素养是近期数学教育研究的热门话题.数学建模能力的培养更是在平常教学中被教育者所忽视的.我们的教学中，一方面，要让学生学习数学知识后能在生活中使用数学，感受到数学的作用，另一方面，通过使用所学的数学知识能促进学生学习数学的兴趣，发展能力.做到学“数”以致用，用“数”以促学.

【关键词】核心素养；数学建模；能力培养

“数学素养”已经成为近年来数学教育研究中很多人关注的一个问题.首都师范大学王尚志教授在“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告中提出：中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.

其中，“数学建模”是在原高中数学课改大纲要求的抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力基础上做出的新的要求.在教学过程中笔者发现很多学生看不到学习数学有什么用，学习数学的过程中也感受不到数学的作用，甚至很多数学教师在教育的过程中对学生说：“学习数学是为了高考.”这真的是数学教学中的一种悲哀.笔者认为，在教学中，一方面，要让学生学习数学知识后能在生活中使用数学，感受到学习数学的作用，另一方面，让学生通过使用所学的数学知识激发他们学习数学的兴趣以及提高应用数学的能力.笔者将在本文中谈谈教学中对学生数学建模能力的培养问题.

一、数学教学中培养数学建模能力的必要性

R·柯朗在《什么是数学》的序言中有这么一段话：“今天，数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考.数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系.”在我们的数学教学过程中，大部分教师也在对学生进行着大量反反复复的解题训练，学生只能长时间地处于一种被动的学习状态，一直到高考结束.然而，这样的学习方式造成的结果是学生对数学学习的一种厌烦，不知道为什么学习数学.有这样一个例子：一所“985”高校，学生的高考数学成绩平均分在125以上，入学后仅一个月，学校再次组织学生考同样的高考试卷，平均分降到了100分，再过了两个月，考同样的试卷，平均只有及格了.这说明很多学生在高考结束后原来学习的数学知识很快就忘了，这样的教学还有什么实际的意义.可见，在数学教学中加强数学的应用意识的培养是非常必要的.而数学建模（mathematica modeling）是数学学习的一种新的方式，能让学生体验到数学在解决实际问题中的价值和作用，体验运用数学知识解决实际问题的过程，增强应用意识，利于激发学生学习数学的兴趣.

二、关于高中数学建模

（一）《普通高中数学课程标准（实验）》对数学建模的要求[1]

《普通高中数学课程标准（实验）》要求：高中数学建模要以不同形式渗透于必修以及选修的课程中去.《标准》虽然对数学建模的课时和内容没有做具体安排，但是教师可以根据学生实际情况安排数学建模活动的内容.实际上普通高中课程标准实验教科书人教A版的教材中在很多章节里都设置了关于数学建模的问题.如，必修四第62页例4、选修2-2第35页例3.

笔者认为在教学过程中应该对教材中设置的部分数学建模的活动予以重视，因为它为学生创设了一个学数学、用数学的环境，为不同水平的学生提供展现他们创造力的舞台.学生在参与数学建模的过程中能得到学数学、用数学的实际体验，有助于对数学的理解，并能激发学习数学的动力.

（二）高中数学建模的问题选择

不同的学生有不同的数学发展水平，开展数学建模活动的关键是寻找适合学生参与的好问题.笔者在教学中结合学生特点，并结合正常的课堂教学，在部分环节上“切入”建模的问题以及与学生的生活实际紧密相关的问题来进行数学建模活动.这样不仅不会增加学生的学习负担，而且在建模的活动中加深了对所学数学知识的理解，做到学“数”以致用，用“数”以促学，从而培养能力，激发兴趣，形成学生主动学习的良性循环.

（三）高中数学建模的基本流程框图

三、教学中引入数学建模活动的意义

（一）有利于开阔学生的视野

数学建模所要解决的问题往往不仅仅是数学這一门学科的问题，它除了要求学生要有扎实的数学基础知识，还要求学生有较强的查阅资料的能力，必要时还需要了解实际生活中的很多问题，如工厂生产、物理化学原理、经济投资等方面的相关知识.数学建模的过程能让学生感受到原本想象中很简单的事情做起来并不简单，要解决问题，原有的知识根本不够.需要翻阅大量的书籍或者充分利用网络的力量拓宽自己的知识面.

（二）有利于增强学生的自学能力和创新能力

在传统的课堂教学模式中，学生的很多知识都是在一种被灌输的状态下掌握的，尤其是高中的应试模式，都是教师先讲例题，学生再模仿，不利于学生学习能力的发展.随着社会的发展，在知识激增、科学技术日新月异的今天，人们要适应不断发展变化的新的生活环境，没有一定的自学能力必将被社会所淘汰.不会自学就更加不会创新，如今的时代更是一个创新的时代.学生在参与数学建模的过程中必然会去主动学习一些教材中所没有的知识，在遇到问题时能迸发智慧的火花挖掘出内在的潜能去创造新的解决问题的方法.

（三）有利于培养学生相互合作的团队意识

数学建模活动往往不是一个人完成的，它需要多人合作分工.俗语说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”一个人的思考总是不够全面的，只有一个团队密切合作、集思广益、取长补短，才能从不同观点的讨论中综合出最优的方案.这种相互合作的团队意识，在未来的工作和生活中是极为重要的.

（四）有助于提高学生的综合素养

数学建模首先需要将实际问题抽象为数学问题，有助于提高学生的数学抽象能力和想象力；数学建模的过程是反复利用数学知识对实际问题进行分析、推理与计算的过程，有助于提高学生的逻辑推理能力、数学计算能力以及对数据的处理能力等.所以，开展数学建模教学有利于对学生其他数学核心素养的培养和提高.endprint

四、高中数学建模教学案例分析

高中数学建模教学应该渗透到各个模块的学习中去，如函数问题、三角函数问题、不等式问题、解析几何问题、立体几何问题、概率问题、数列问题、平面向量等等.

下面是笔者在教学过程中的一个数学建模案例“足球比赛中的射门位置问题”.

问题的提出：相信不少同学喜欢踢足球，请同学们思考，什么时候是射门的最好时机？

问题分析：在不考虑其他因素的情况下，射门的角度越大，就越容易进球.

资料准备：需要同学们了解足球方面的一些常识.

足球场：

国际比赛标准：长度最短100米（110码），最长110米（120码）；宽度最短64米（70码），最长75米（80码）.

模型假设：不考虑球员的个人能力问题，以点代替足球，以直线代替足球的轨迹，射门时没有受到防守队员的干扰.

模型的建立及求解：

国际标准足球场地的规格为：长104米、宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米.

问题讨论1：右前锋得球后，沿平行于边线的直线PC带球到前场，球门AB宽7.32米，球门柱A到PC的距离AC=a米，那么右前锋要将球推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？

学生甲：当∠APB最大时为最佳射门位置.

如图1所示，设PC=x，∠APC=β，∠APB=α，

则tanβ=ax，tan（α+β）=7.32+ax，

tanα=tan（α+β）-tanβ1+tan（α+β）·tanβ=7.32+ax-ax1+7.32+ax·ax

=7.32x+（7.32+a）·ax≤7.322x·（7.32+a）·ax

=7.322（7.32+a）·a，

当且仅当x=（7.32+a）·ax时，等号成立，即x=（7.32+a）·a 时，tanα取得最大值，由正切函数的单调性知此时∠APB最大.所以，当球员到底线距离为（7.32+a）·a时为最佳射门位置.

教师：非常好，现在甲同学已经把球员在边路某一直线上的最佳射门位置找到了，同学们再思考能不能将球员在接近球门的某一区域内的最佳射门位置找到？

学生乙：可以建立如图2所示的平面直角坐标系，球员在右侧进攻时，设球员的位置P（x，y），刚才解法中的a=y-3.66，即x=（3.66+y）·（y-3.66），化简得y2-x2=3662（x≥0，y≤34.5）.这样，最佳的射门位置所形成的轨迹是双曲线的一部分.

教师：太棒了，乙同学告诉球员进攻时按照这条双曲线的轨迹找最佳射门位置，快点告诉他们，中国能去俄罗斯了.同学们再仔细思考，我们得到的射门最佳轨迹是在门框两侧的区域，那么如图3所示，门框范围线内的区域如何寻找最佳射门位置呢？

学生丙：如图3所示，在门框区范围线域内，若P点的纵坐标y保持不变，很显然横坐标x越小，∠APB越大；若横坐标y保持一定，tan∠APB=AEx+BEx1-AEx·BEx，

由于AE+BE=7.32，且AE·BE≤（AE+BE）24，所以tan∠APB≤7.32x-7.3224x，当且仅当AE=BE时，“=”成立.即P点在x轴上时，∠APB取得最大值.

教师：非常好，三名同学把球场各个不同区域内的最佳射门位置找到了.刚才讨论的问题都是局限于平面范围内讨论，也是相对简单的研究结果.其实，这个问题远远没有那么简单.比如，我们还可以考虑球员射门时足球的飞行轨迹与地面形成的角度，也可以研究球员射门时守门员的最佳防守位置等等.当然，要解决这些复杂的问题，我们需要更多的知识和数据的收集，同学们可以在进入大学后深入研究这类问题.

在上述教学过程中，学生用到了两角和差的正切公式、基本不等式、双曲线的标准方程等高中数学常用的知识，充分调动了学生学习数学的积极性，使他们感受到学习数学是有用的，从而达到学以致用、用以促学的教学目的.

总之，数学建模是数学学习的一种新的方式，有利于开阔学生的视野，有利于增强学生的自学能力和创新能力，有利于培养学生相互合作的团队意识，有助于提高学生的综合素养.

在高中数学的教育过程中，应该穿插数学建模的教学，使得学生在学完一块内容之后能感受所学知识的作用，体会数学的内涵与魅力.同时，培养学生的应用意识以及提高解决实际问题的能力.

【参考文献】

[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（實验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004：279-288.endprint