材料分析：培养学生的数学阅读理解力

严育洪

（无锡市锡山教师进修学校，江苏 无锡 214101）

阅读是人们汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径，许多人认为，阅读理解能力是语文学习的事情，而对数学的理解能力许多人仅仅理解为对算理、算法的理解。其实，在数学学习中，学生的阅读理解力也是一项很重要的素质。[1]可以说，大千世界中许多材料都隐含着数学知识或数学的应用，而要在这些隐性材料中读出数学，不仅需要学生的数学阅读能力，更需要学生具有数学解读能力。

一、提供内含数学的材料，引导学生进行“数学阅读”

作家石康说：“高质量的阅读与随便看看完全是两回事，尽管外表看来那么相像——集中注意力是天下最难的事情，因它几乎涉及世上所有最难的事情。”同样，“数学阅读”也必须是“高质量的阅读”，所以，数学教师需要指导学生学会如何进行数学的深度阅读。

1.读好数学课内读物

首先，我们应该指导学生读好数学教科书。我们都知道，阅读能力不强的学生，很难学好数学，学生需要在数学学习中通过阅读来理解题意，实现文本语言与数学语言之间的相互“翻译”。所以，以往教师经常做的让学生在阅读中找关键点和突破口，依然是很重要的。

然而，数学阅读不能止于此，我们应该努力让学生喜欢阅读数学。不可否认的是，相对于文学作品，数学教科书缺少“故事”，学生缺乏自主阅读的兴致，对此，我们可以在数学教科书中增加一些“故事”。例如在“奇数和偶数”部分补充一个关于毕达哥拉斯的故事阅读——

从古希腊起，奇数就比偶数更招人喜爱。公元前6世纪的希腊哲学家毕达哥拉斯说，奇数阳刚（代表男性），偶数阴柔（代表女性）。他说，奇数拒绝被一分为二，说明它强大；偶数能被平分，说明它很脆弱。他进一步论证说，奇数是偶数的主人，因为当你给偶数加上一个奇数时，结果还是一个奇数。毕达哥拉斯关于奇数的思想一直延续至今。

《数学课程标准》明确指出：“教师必须注意指导学生认真阅读课文。”如果学生也能够在上课之前主动阅读数学教科书，那我们的教学就能省事很多，同时还能很好地培养学生的自学能力。对此，我们可以通过提供有吸引力的、内含数学的材料，来吸引学生主动阅读数学教科书。

我们可以提供游戏材料，引导学生进行“数学阅读”。西奥妮・帕帕斯(Throne Pappas)说：“数学三剑客为——逻辑、娱乐和游戏。”柏拉图也认为：“孩子的学习本性可以由游戏引出，因此主要以游戏方法教育下一代。”例如在教学《因数和倍数》单元之前，教师可以与学生玩“抢三十”游戏，然后告诉学生此游戏的制胜奥秘在此单元知识中，此时学生就可能会迫不及待地预习教科书，以期早日找到答案。

我们也可以提供学具材料，引导学生进行“数学阅读”。数学器具是工具，但更应该是学具，高明的教师善于把工具变成学具——变成发动学生自学的工具。例如教师让学生早早购买量角器，面对放在文具盒中的量角器，学生会自发琢磨它是干什么用的，当然可以从名称上猜到它是量角用的，但如何量角是困惑学生的难题，于是一些学生就会自己去预习教科书中的相关内容。

我们还可以提供创新材料，引导学生进行“数学阅读”。对一些连续性数学教材，我们可以抓住“连续”来激发悬念，引导学生去先睹为快“下一回分解”。例如学生学习了“小数除以整数”，就可能会联想到下一节课是不是“整数除以小数”“小数除以小数”，那它们该怎么计算呢，好奇心就会驱使学生去一看究竟。

其次，我们应该指导学生读好数学历史书。近年，数学史与数学教学（History and Pedagogy of Mathematics）受到了较多关注，数学史被越来越多地运用于课堂教学实践，我们可以让学生追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程。数学史的阅读有助于打开学生的数学视野，不仅看到数学的发展过程，还能看到历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。另外，我们还可以让学生阅读一些数学家的事迹材料，激发其热爱数学的情感。

最后，我们还应该指导学生读好数学故事书。其实，数学可以编成故事，这样的数学故事书很多，我们也可以配合教学进度让学生去读一读。

实际上，我们还可以用阅读引导阅读，这里所说的意思是用故事阅读来引导学生课本阅读。例如下面这个故事可以引导学生阅读“3的乘法口诀”的教材内容——

19世纪末，日本首相伊藤博文访华，点名要见国学大师辜鸿铭。会晤中，伊藤博文对孔孟学说很是不屑，对辜鸿铭讥诮道：“先生曾留学欧美，精通西学，难道就不明白孔孟之教能行于数千年前，但是不能行于当今吗？”

辜鸿铭淡然一笑，随即正色道：“孔孟的思想好比数学里面的加减乘除，几千年前是三三得九，几千年后仍然是三三得九，难道还会变成三三得八？贵国如果没有孔孟之教，哪里会有今天？”

伊藤博文张口结舌，不知该怎样应对。辜鸿铭接着道：“不过到了今天，形势确有变化之处，我们中国人向洋人借款，三三得九却常常变成了三三得七，到了还钱时，中国人连本带利还了三三得十一，此种算法，让我倒是感觉有些落伍了呢。”

上述文字材料中，用故事包裹的知识不再是死的知识，学生不仅看到了“三三得九”等数学知识，还有错例“三三得八”“三三得七”“三三得十一”等，而且看到了辜鸿铭用“三三得九”等数学知识来数落伊藤博文的语言技巧，不仅将西方列强欺负中国的事实巧妙讲了出来，也驳斥了伊藤博文污蔑孔孟学说的企图，使之张口结舌。学生读完材料，不仅长了知识，还长了志气。

如此“数学阅读”任务，有助于我们重新认识“知识”的含义：“‘知识’一词拆解开来，一部分是‘知’，就是信息、数据、常识，它可以储存传递；另一部分是‘识’，就是在信息基础上形成的一种识见、一种智慧、一种觉悟。”我们经常说“知识觉悟”，笔者认为，能让人有觉悟的知识才是真正的知识。“真正的知识不仅有工具性价值，还应该有真理性的价值。知识如果不能进入周转、带来思考、给人启迪、提高人的认知能力，它就是死的。”[2]

2.读好数学课外读物

“数学课外”，一是指“数学”课外——数学之外的其他学科，也就是数学阅读应该融合其他学科；二是指“数学课”外——数学课堂之外的学生生活，也就是数学阅读应该融入学生生活。如此有着其他学科气息和生活气息的材料，学生更喜欢阅读。在小学数学教学中，我们的学生不能只会阅读教科书和只会解读“题”材，而应该走出课本，能够自在地阅读现实世界这本书，并能够自信地解读现实世界中各种题材的材料，也就是史宁中教授所说的“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”[3]。

例如下面这种“文学+数学”的阅读材料，它出自人民文学出版社出版的《如果你想过1%的生活》书中的一段文字——

社会是一个圆锥，每个人都在圆锥的高上面爬。你和同等水平不同领域的人的距离就是你所处平面圆的半径。只要你的水平更高，你接触别的领域的人的距离就会更短。如果你所处的位置太低了，你就会跟别的领域的人的接触距离很大。如果你想接触到更多的领域的更多牛人，你需要向上爬，因为这一方面会保证你希望接触到的牛人的质量足够高，同时能够让你在接触牛人的过程中耗费的精力相对小——你的水平高了，你接触同等水平的牛人的难度也就低了。

集中精力在圆锥的高上追求高度，比匍匐在一个低层次追求接触面的广度有效果且有效率得多。

此篇文章有着数字“1%”，有着图形“圆锥”“圆”以及与之相关的“高”“半径”，学生要能够看懂这段文字，除了需要语文的理解力比较好之外，数学的理解力也必须强。

又如下面这种“科学+数学”的阅读材料，它出自佘时佑写的《寿命直角三角形》文章——

假设用直角三角形面积的大小表示寿命长短，三条边则分别代表影响人类寿命的三大因素：即斜边代表基因遗传，一条直角边代表身心健康、另一条直角边代表生活质量。

在寿命直角三角形中，缺少任何一条边，即缺少一项生命因素，就将直接影响人体的寿命。而三条边越长，三角形的面积会越大，寿命自然就会延长。

那么，这三条边的长短与寿命之间有没有量的关系呢？回答是肯定的。对此我们可以用勾股定理描述：“勾三股四弦五”，即一个人寿命的长短其基因遗传要占5份，身心健康因素占4份，生活质量因素占3份。

又如还有这样的新闻报道：“为了实现‘两个一百年’奋斗目标，网上网下要形成同心圆。在2016年4月19日网络安全和信息化工作座谈会上，习近平总书记用一个圆圈凝聚网络空间的发展共识。每一个圆都有一个圆心，网络空间这个‘同心圆’的圆心是人民的利益，良好的环境是同心圆的内圈，正确的舆论是同心圆的外圈。”

数学知识与其他知识联姻，可以达到“知识的岛屿越大，好奇的海岸线就越长”的学习效果，人也最终变得多才多艺，数学阅读能力和数学理解能力也就会与时俱进。

二、提供隐含数学的材料，引导学生进行“数学解读”

在数学教学中，我们应该培养学生的敏感心，能够用数学的眼光观察和分析“周遭发生的一切”，哪怕是一段看不到数学的材料，也能够琢磨出数学来，会用数学的知识解释其他学科的话题或生活的话题，会用数学的方式解剖其他学科的问题或生活的问题。

1.用数学解释话题

生活中，有着许多格言。有时候，在数学敏感度高的人眼里，从一句格言中我们也可以读出数学的意思、意义和意蕴来。从一句非数学的日常话语中解读出数学来，或许可以看作史宁中教授所说的“会用数学的语言表达现实世界”的另一种行动方式。

例如作家冯骥才说过一句话：“运动中的赛跑，是在有限的路程内看你跑了多少时间；人生中的赛跑，是在有限的时间内看你跑了多少路程。”同样，我们可以拿来让学生用数学知识来解读其中的生活哲理，前一句涉及反比例知识“路程一定，时间和速度成反比例”，后一句涉及正比例知识“时间一定，路程和速度成正比例”，如此的“翻译”练习可谓别具一格。

又如有一句格言：“当你看到一个出口时，不要忘了，从另一个方向看，它其实是一个入口。”它原本说的是一种人生智慧，但如果从数学角度来解读，我们也可以由此想到“善于逆向思考的人更聪明”，许多数学问题既可以从条件想起也可以从问题想起，在这里，它又成了一种数学解决问题策略。

当学生会用各种语言进行“翻译”之后，也就掌握了一种语言技巧。例如在一节大学心理课上，白发苍苍的老教授问：“哪位同学能解释什么是良心？”有一位学生如此回答：“良心是我心里一个三角形的东西。我没有做坏事，它便静静不动；如果我干了坏事，它便转动起来，每个角都把我刺痛；如果我一直干坏事，每一个角都磨平了，也就不觉得痛了。”如此用数学语言进行解释，既形象又生动，不仅增加了知识底蕴，而且发展了中国学生核心素养之“人文底蕴”。

其实，我们还可以根据一份隐含数学的材料来设计数学活动。例如我们可以让学生阅读《田忌赛马》语文课文来设计“解决问题的策略”的数学教学活动。又如有一位教师在“约分”教学之后利用网络流传的“A4纸的人生”说法设计了一道数学练习题：“有人说，人生就是一张A4纸，如果一个人的平均寿命是75岁，我们大约都是10岁左右，已经过了人生的你们的爸爸妈妈大约是35岁左右，已经过了人生的你们的爷爷奶奶大约是60岁左右，已经过了人生的，如果让你涂色表示你们的人生，你会怎么涂？”

再如我们可以让学生分析词语“‘一刹那’与‘一瞬间’，哪个时间长一点？”来组织数学研究活动：在古代印度《僧只律》（又有资料是《倡只律》）中一刹那为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须臾，一昼一夜为三十须臾。照此计算，一须臾为48分钟，一罗预为114秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒。所以，一刹那最短。

“当你看到一个出口时，不要忘了，从另一个方向看，它其实是一个入口”这句话，除了对数学思考的启示，对教学思考同样有着启示作用，前面我们谈了根据一些隐含数学的材料来读出数学知识，其实我们还可以反过来开展让学生根据数学知识编写一些隐含数学金句的活动，例如对人生的思考：“任何数和零相加，仍得原数；光说不做，只能在原地不动。”“丢掉了小数点数值会增大，不拘小节会犯大错误。”“从各个方面看都是同一个图形，有其完美的对称性，使人产生完美无缺的美感和向往。难怪有圆满、圆润、圆通、圆场之说和‘花好月圆’的成语。但是‘圆滑’一词，却为人们所不爱。”

数学达人游斯彬称：“数学是人与宇宙唯一共通的语言！”所以，数学无处不在，世上没有什么不隐含着数学。例如达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》背后蕴含了黄金分割的数学原理，另一幅画作《最后的晚餐》巧妙地结合了几何学与透视学。达·芬奇曾经说过这样一句话：“这世上凡是欣赏我作品之人，无一例外的不是数学家。”

2.用数学解剖问题

如今，许多学校都在讲“审辩思考”的培养。例如美国的所有高校都在强调“信息阅读力”，后真相时代，教育学生不做信息文盲。新文盲的标志之一，是缺乏思辨能力，盲目接受外来信息。在教学中，我们应该培养学生辨别各种论断的意识和能力。其中，有时候用数学的知识或者用数学的方式来分析一些我们已经熟悉并已认可的现象或信息，或许能够发现一些深藏不露的问题。

例如我们熟悉的成语“腰缠万贯”，有一位教师别出心裁地让学生用数学知识来解读：“一个人腰缠万贯，这靠谱吗？”于是，学生进行了一番调查、实验、运算和分析，获得了以下研究结论：（1）古代人不可能。因为贯是指旧时用绳索穿钱，每一千文为一贯。万贯也就是10000×1000=1000万文，即1000万个铜钱。通过天平称和计算，发现万贯重40吨左右。（2）现代人可能。因为查资料知道一贯（1000文）相当于200元人民币。1万贯=10000000文钱=200万元，1万元重量=115克，200万元重量=23千克。

在现在的一些娱乐节目中，存在数学错误的信息屡见不鲜，它们都可以拿来作为学生学习知识或练习知识的反面材料。简单来说，它们可以用作判断题或改错题，例如歌曲《穿越一光年》“爱过多久时间，穿越过几万光年，我们之间不是说好了，一切不改变……”就有着数学错误，光年是长度单位而非时间单位。

又如蔡国庆演唱的《365个祝福》的歌词：“一年有三百六十五个日出，我送你三百六十五个祝福，时钟每天转了一千四百四十圈，我的心每天都藏着，一千四百四十多个思念……”东湖塘中心小学胡继梅老师的班级中，有学生如此进行材料分析：时钟有时针、分针和秒针。时针12小时转1圈，一天24小时，应该是2圈；分针1小时转1圈，一天24小时，应该是24圈；秒针1分钟转1圈，一天24×60=1440分钟，应该是1440圈。所以，我认为，时钟一天应该一共转了2+24+1440=1466圈。如此个性化的分析，也不无道理。

我们还可以把这样有着错误的材料开发成一个数学研究活动，例如我们经常看见的电视镜头“有人扔出一个手提保险箱，打开说‘1000万，点点吧’”，如果也放到数学“显微镜”下去分析，或许我们也能发现它的不科学，这同样是一个可以让学生运用数学知识进行分析的材料：一是从体积上判断。如果都是百元纸钞，每张百元人民币长约15.5厘米、宽约7.7厘米，100张百元钞票（1万元）厚约1厘米，而一般手提保险箱长约50厘米、宽约30厘米、高约15厘米，由此算出一个手提保险箱只够放150万元人民币。二是从质量上判断。1000万百元人民币体积为0.15立方米，1立方米纸重约1000千克，所以1000万百元人民币约150千克，也就是0.15吨，普通人是绝对无法扛着在路上走的。

当然，娱乐节目的制作者并不都傻，相反许多导演还会利用人们常犯的一些知识错误创编节目来娱乐，对此，我们同样可以拿来作为练习材料，让学生找出错误、分析错误和改正错误。例如2014年中央电视台春节联欢晚会上的小品《我就这么个人》中有一段冯巩与饰演搬运工人的曹随风的对话，就借用了数学错误——

冯巩：就这个门，501。

曹随风：电梯呢？

冯巩：没电梯，享受低碳生活。

曹随风：那你得给钱。

冯巩：给什么钱？

曹随风：爬楼钱。

冯巩：爬楼还要钱？

曹随风：一层20。

冯巩：瞎说，去年还15呢。

曹随风：涨价了，跟出租车一块涨的，你这是地上五层，你得给俺100。

在数学教学中，要让学生的学习不总是处于1元的状态下，我们就要努力让数学知识不断转弯，发现数学知识的多元的样貌。也就是说，数学不能只是理解成“数的学习”，我们不妨理解成“数的学问”，而“数的学问”的学问可就大了，它可以体现在能看出数学的材料中，也可以体现在看不出数学的材料中。对后一种材料，只要我们有一双数学的眼睛，就一定也能够看出数学来，这同样也是数学学习的学问，而学生，更喜欢这样一种数学学习。

“数的学问”在生活中的学问，不仅只是数学，还可能大到心理学。例如超市中的牛奶，商家大多会标明“95%脱脂”，而不是“含脂肪5%”，虽然意思一样，但表述不同，会使得消费者对同一盒牛奶产生不同的心理期许。这种由于描述方式的改变而导致个体选择偏好发生改变的现象，被称为框架效应。

“数的学问”在生活中的学问，不仅可以大到心理学，还可以大到经济学。下面这个故事中，解剖问题时不同的思考方式和思维角度，就有了不同的结果——

1992年，沈南鹏获得耶鲁大学的MBA学位，也等来了花旗银行的面试通知，当天面试的还有一个美国人和一个日本人。面试题是“一个人在菜市场上做生意”。第一次，8美元买了一只鸡，9美元卖掉了；第二次，10美元买了同样的一只鸡，11美元卖掉了。他到底亏了还是赚了？如果亏了，亏多少？如果赚了，又赚了多少？

美国人认为是赚了2美元。理由是：第一次买一只鸡，第二次买一只鸡。第一轮交易：9-8=1，赚了1美元。第二轮交易：11-10=1，赚了1美元。两次交易相加，所以赚了2美元。

日本人认为是亏了2美元。理由是：那人一口气买了两只。第一次交易：9-8=1，赚了1美元。第二次交易：11美元卖掉，11-8=3，赚了3美元。两次交易相加：1+3=4，本来要赚4美元，但他只赚了2美元。（9-8）+（11-10）=2，实质上亏了2美元。

沈南鹏则认为是亏了4美元。理由是：同样一只鸡，那人一口气买了两只。他进行的是一次性交易：8美元买下，11美元卖掉，（11-8）×2=6，可以赚到6美元。但他只赚了2美元。（9-8）+（11-10）=2。所以，亏了4美元。

沈南鹏的解题思路让面试官大感兴趣。于是，沈南鹏获得了花旗银行的一次工作机会。▲