“函数奇偶性”小专题教学探究

☉江苏省海安县曲塘中学 陈宏春

有效的课堂教学是促进学生成长和实现教师自身发展的主要途径，在平时教学实际中，笔者发现，如果能够对一节课进行了合理的专题化探究，在研究中坚持以学生为主体，以训练为主线，突出专题性，必定能够保证课堂教学的效果.本文以“函数奇偶性”为例谈谈新授课中小专题探究的教学设计，进一步提升教师驾驭教材的能力和调控课堂教学的能力.

一、专题设计的准备工作

相比高三的大专题复习课而言，新授课中的小专题设计还要考虑新生的接受能力，知识的关联度以及课时进度的安排等因素，因此，在设计小专题时应坚持如下的思路.

1.明确本节课的课标要求是核心

以“函数奇偶性”为例，课程标准对本节课的要求可以分为三个层次，一是学生能通过对具体函数的分析，了解奇偶性的含义；二是在理解概念的基础上能解决与之有关的数学问题；三是给学生提供一些具体函数的图像，让学生从形的角度认识这些函数图像的特征，然后从数的角度对函数的图像特征加以诠释，得出函数奇偶性的关键是等量关系，这是一个由感性认识上升到理性认识的过程.

2.分析好教材是关键

利用函数的奇偶性，可以为我们研究函数的求值、定义域、值域、单调性、图像的绘制等问题提供方便.教材中采用了由数到形的引导方式，首先给出了两个具体函数.通过运算和观察得出奇偶性的定义，接着又对两个函数的图像进行分析，总结出奇偶性函数的图形特征，比较系统地介绍了函数的奇偶性，然后配备了两个典型例题，每道例题突出的重点不同.其中例1的目的是让学生学会利用定义对函数的奇偶性进行判定，同时体会定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提；例2的目的是让学生体会在学习了奇、偶性后为研究函数性质带来的便利.从教材的安排上可以看出本节课的重点在于函数奇偶性的定义和图像特征.

3.研究学情是课堂教学的前提

本节课是以学生在初中研究过的函数为基础，且在前几节详细学习了函数的定义及单调性的前提下对函数性质的进一步探讨，学生对于常见的基本函数的图像已经有了直观的认识，立足于利用函数图像的结构特点引入函数奇偶性的定义，能够自然地过渡到对概念的直观认识，然后引入对定义的数学表达式，这样层层深入的教学构思更有利于学生对知识的掌握.

二、专题设置的主要思路

本节课通过对课标和教材的分析，可以划分为4个专题：函数奇偶性的定义、函数奇偶性的图像特征、分段函数奇偶性问题、奇偶性与单调性的关系.

在每个专题中，首先要以问题的形式呈现教材中的主要内容，例题的选取要体现内容的基础性与目标性，然后对该问题进行展开，主要采用变式训练的形式将该专题的题型进行串联，设计意图要体现出对问题的理解和应该注意的问题环节等，具体设计如下：

专题一：函数奇偶性的定义

1.问题设计

阅读教材P47～P48“例1”以上的内容，完成如下问题：

判断下列命题的正误：

（1）对于y=f（x），若∃x，使f（-x）=-f（x），则y=f（x）一定是奇函数.

（2）不存在一个函数既是奇函数，又是偶函数.

（3）若函数的定义域关于原点对称，则此函数不是奇函数就是偶函数.

（5）既是奇函数又是偶函数的一定是f（x）=0（x∈R）.

2.问题解读

（1）定义域关于原点对称，是一个函数存在奇偶性的必要条件.否则这个函数既不是偶函数也不是奇函数.

（2）满足定义域关于坐标对称时，函数f（x）=0既是奇函数又是偶函数，因为它既满足f（-x）=-f（x），又满足f（-x）=f（x），并且这样的函数因定义域的不同有无数多个.

（3）函数奇偶性分为4类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.

（4）用定义判断函数奇偶性的步骤：①求f（x）的定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进一步判断.②根据f（x）的定义域，化简f（x）的解析式.③求f（-x），根据f（x）与f（-x）的关系，判断f（x）的奇偶性.

3.知识拓展

变式3.已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为［a-1，2a］，则a+b=______.

4.设计意图

本环节的设计主要围绕对函数奇偶性定义的理解，一是要注意判断定义域的对称性；二是了解函数根据奇偶性可分为四类；三是根据定义判断函数奇偶性的基本步骤，在这一步骤中要特别注意结合定义域对解析式进行化简，否则在判断过程中极易出错.

专题二：分段函数奇偶性问题

1.问题设计

2.问题解读

（1）分段函数奇偶性应分段证明f（-x）与f（x）的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性，因为奇偶性是对整个定义域而言的.

3.知识拓展

（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3+x+1.

①当x＜0时，f（x）的解析式为______；

②在R上f（x）的解析式为______；

③若将f（x）改为偶函数，则当x＜0时，f（x）的解析式为______.

4.设计意图

利用函数奇偶性求解析式是难点，本环节先从判断分段函数的奇偶性入手，从步骤上分析解析式的特点，然后引入到解析式的求解上，应特别注意拓展中第（1）问的第②小问，在R上的解析式应特别注意f（0）=0，这是奇函数的重要性质.

专题三：函数奇偶性的图像特征

1.问题设计

2.问题解读

本环节从课本例2入手，结合函数奇偶性的定义，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，利用该结论可以画函数的图像，进而讨论函数性质.

3.知识拓展

设f（x）为偶函数，在（-∞，0）上为减函数，且f（-2）=0，则不等式x·f（x）＜0的解集为______.

能否求得f（x-1）＜0的解集？若f（x）为奇函数呢？

4.设计意图

应用奇偶性并结合图像是解决函数问题的主要方法，因此本环节的设计要围绕如何利用奇、偶函数的对称性，简化研究函数的某些性质，并借助数形结合思路快速、准确地解题.

专题四：奇偶性与单调性的关系

1.问题设计

如果奇函数f（x）在区间［1，6］上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f（x）在区间［-6，-1］上是增函数还是减函数？求f（x）在［-6，-1］上的最大值和最小值.

2.问题解读

若f（x）为奇函数，则f（x）在区间［a，b］和［-b，-a］上的单调性相同；若f（x）为偶函数，则f（x）在区间［a，b］和［-b，-a］上的单调性相异，简记“奇同偶异”.

3.知识拓展

（1）已知偶函数f（x）是区间［-3，-1］上的单调减函数，则f（-3），f（1），f（2）的大小关系为______.

（2）已知定义在［-1，1］上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）为增函数，若f（1+m）＜f（2m），求m的取值范围.

4.设计意图

本专题是在上一专题“函数奇偶性与图像关系”的深入拓展，结合图像让学生理解单调性与奇偶性的关系，牢记结论，“奇同偶异”，同时在利用奇偶性和单调性判断函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较；利用奇偶性和单调性求参数范围，首先要弄清楚函数在各个区间的单调性，然后利用单调性列出不等式求解，同时不要忘记函数自身定义域对参数的影响.

三、数学课堂有效性小专题设计的实施措施

为了让“数学课堂有效性小专题设计”能够顺利进行，需要教研组共同来认真梳理和修改完善，基本上做到研究切口细小化，研究个性化，研究方法通俗化，以便更好地适应新授课的特点.为了将小专题研究根植到课堂教学中，我们应该加大管理的引导力度，具体做法：

（1）围绕小专题研究进行说课，教师介绍自己近期小专题的实施策略及目前存在的主要问题.

（2）现场观摩听课，教研组教师和学校领导共同参与，并对课堂教学进行评课，针对性提出问题和下一步措施.

（3）集体会诊评课，教研组根据教师意见进行归纳形成研究成果集.

通过专题问题的设计引导学生自我发现问题，通过问题的解读使得问题得到强化，利用拓展练习强化对问题的应用，通过这几个专题会让学生更加明确本节课的知识结构.F