数形结合思想在高中数学中的应用分析

◆富锐

(山东省高青县第一中学)

一、数形结合的基本思路

数学问题的研究，其实就是研究各种数量的关系和各种空间的形式。数即数量，形即空间的表现方式。数和形是相互依存，相辅相成的关系，数给人的感觉是抽象的，但是却可以通过图形直观的表现出来，所以数和形在某种条件下其实是可以相互转化的。研究数量关系的时候，可以借助图形，以便更好地理解。而在研究图形时，借用数字标注，以便更加清晰。在数学中，数和形是两个不相同的领域，数形结合却可以把二者进行有机的统一。在高中数学解题方法中，数形结合是最基本的，也是最常用的解题方法。解决数量问题的时候，可以借用具体的图形表现出来，把数转化成具体的图形。解决几何问题的时候，可以借用代数信息把图形转化出来，变成具体的数字，再解答数字问题就可以了。所以在数和形二者的关系中，找出各自的优点，可以让解题思路更加的清晰，进行更加彻底地解题。

二、数形结合解决问题遵循三原则

(一)数形结合的等价性原则

数形结合的时候，几何性质和代数性质要进行等价的转换，如果不遵循这个原则，解题时就会有漏洞。有时候，因为图形具有局限性，并不能把数的一般性表现完整，这个时候图形的性质就只能作为一种说明而显得直观，浅显。

(二)数形结合的双方性原则

数形结合的双方性原则是指解题过程中，不仅要进行直观的几何分析，还要进行相对应的抽象的代数分析。如果只针对代数做出几何的直观分析就非常容易出现错误。

(三)数形结合的简单性原则

不能因为数形结合而数形结合。在运用简单性原则的过程中，首先要考虑可不可以利用，以及利用后是否可以简便的解答，其次，要找好突破口，恰到好处的设参，用参，和建立关系，并转化。最后，要注意隐含条件的挖掘，精准的确定参变量取值的范围，尤其是在运用函数图像解题时，最好想办法选择动直线和二次曲线。

三、数形结合思想运用时的注意事项

1.在运用数形结合思想进行分析问题，解决问题时，要对一些概念完全的明白，也要对运算的几何意义完全的明白，更要对曲线的代数特征完全明白。

2.在运用数形结合思想进行分析问题，解决问题时，要恰到好处的设参，用参，以及建立关系，做好转化。

3.在运用数形结合思想进行分析问题，要精准的确定其参数取值的范围，避免遗漏或者重复。

4.在运用数形结合思想进行分析问题，进行“数”和“形”的精心联想，把比较难解决的一些代数问题进行几何化，几何问题进行代数化，从而方便解答问题。

其实，非常多的数学概念都是有清晰明显的几何意义的，对这些几何意义加以利用，通常可以得到事半功倍的解题效果。而且很多数学中的内容，其本身就可以作为数形结合的案例。例如，任意角的三角函数就是通过直角坐标系或者单位圆来进行定义的。例如，锐角的三角函数就是通过直角三角形来进行定义的。

四、具体解题案例

这道题就是通过把数的问题转化成了图形，利用图形更加直观的表现出了问题，通过数形结合，将复杂的问题简单化，从而获得答案。

五、结语

在数学解题过程中，数形结合得到了非常广泛的运用，启发了学生的思维方式，从具体到抽象，再由抽象到具体，这其中的规律，和转换关系，可以让学生从不同的角度去思考问题，进一步简化解题的思路。通过数形结合的解题方法，可以把困难的问题简单化，从而开阔了学生的思维。