立足“微观”视角的数学选修课三“微”设计探索

☉浙江省安吉县昌硕高级中学 王家斌

《普通高中数学课程标准（实验）》提到：高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程.近年来，在教学中开设选修课程，大量研究资料表明，多数学校在高一、高二年级中安排有固定的选修课时，但如何开设好选修课？怎样选修课程才是对必修课程的有效补充？才能实现开拓学生视野？促进学生学习数学兴趣产生的目标呢？通过阅读大量资料，借鉴一些比较成熟成功的案例，笔者形成了一些自己浅显的思考.考虑到选修课程课时的限制，同时又要发挥其促进必修课教学的作用，笔者认为选修课选题尽量着眼微观，以小促大，实现短、平、快.

一、微专题

（一）微专题的定义

微专题是指一个相关联的、可以单独研究的知识体系、某种数学思想方法、一个研究主题等.微专题教学是指针对某一具体知识点，从该知识点的基本概念、基本原理、基本规律入手，内化知识，构建结构，进行知识迁移、整合并能运用基本概念和原理解决问题的一种“小切口”教学方法.微专题教学通常选择热点、难点、疑点等“点问题”进行较深层次的研究，根据知识点的联系和相通之处，让学生理解知识、方法的本质，达到以点带面、举一反三的目的.

（二）微专题的基本结构

微专题的基本结构包括以下四个方面：知识清单（交代本微专题的基础知识、基本方法）；基础练习（比较简单的便于学生回顾知识的练习题）；例题精选（有代表性的典型例题）；巩固练习（有针对性的练习题）.

（三）微专题一例：《数列单调性问题的研究》

【知识清单】

数列作为一种特殊的函数，其单调性的研究通常也是伴随着数列最值的求解.这类问题的解决通常还是借助函数单调性的研究方法如图像法和恒成立的思想.

【基础练习】

（1）求以下数列中的最大项：an=n2-8n+5；an=n2-7n+6.

（2）若an=n2+λn+3（其中λ为实常数），n∈N*，且数列{an}为单调递增数列，求实数λ的取值范围.

【例题精讲】

例题：通项公式为an=an2+n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an+1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是______.

变式：数列{an}满足λ为实常数，n∈N*），最大项为a8，最小项为a9，则实数λ的取值范围为______.

意图：选修课对必修内容的有效补充，恰恰是其“短小、精悍”的特点，选修课因为可以对难点知识进行专题性解决，从而成为教学的有效辅助手段.本案例的本质恰恰从函数角度思考了数列最值的研究，将单调性研究的重点渗透到数列之中，成为学生理解数列最值的关键，是高效、有效的典范.

二、微探究

微探究案例一则：《抛物线的一个特有性质及其应用探究》

提出问题：AB是抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点F的动弦，试问：弦AB何时最短？

学生凭直观感受回答：当AB垂直x轴时，弦AB最短.（有待证明）

教师抛出一个想法：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=，即AB垂直于x轴时取得最小值.

学生提出疑惑：这里不等式用得有点奇怪，好像有点问题.我们在应用基本不等式求最值的三个条件（一正、二定、三相等）中“定值”是否满足？（引导学生探究x1x2是否为定值）

将点F一般化为x轴上任意一点（m，0），探究抛物线的一条特殊性质：若过抛物线y2=2px（p＞0）对称轴上一点M（m，0）的直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2=m2，y1y2=-2pm成立.特别地，当M为抛物线焦点成立（.具体探究过程仿照文［4］，此处省略，由于课堂时间的限制，文［4］中提到的两条推论并没有在实际教学中探究）

意图：选修的“微”还可以体现在师生就单一问题的积极深入研究和探讨之中，这样的研究在常态化教学中显然并不多见，但是在选修课中可以放手一试，其主要目的在于将学生的参与性开发出来，有效地提高学生主动参与交流的情境之中，形成真正的建构教学和有效教学.另一方面，《普通高中数学课程标准》（实验）倡导积极主动、勇于探索的学习方式.普通高中数学教材中，几乎每章每节都设有“思考”和“探究”栏目，可见教材编者用心之良苦.然而，在具体教学过程中，受教学进度的影响，教师无法给予学生充足的时间进行探究，往往是教师直接给出结论，抑或是公开课中的“伪探究”.

三、微辩论

（一）选题理由

平时和学生交流的过程中，多数学困生都反映上课能听懂，就是课后作业不太会做，考试也不理想，即使是考试成绩好的学优生有时也是糊里糊涂说不出个所以然来.教育同行也经常感叹，某道题我讲过多少遍了不知道，学生还是考不出或还会犯错.从认知心理学的角度来理解，学习应该是个主动参与的过程而不是被动的接受，教师仅凭个人预想学生会出现的误解，往往做不到有针对性的教学.让学生说，使其暴露思维的缺陷或理解的偏差，显得尤为重要.

（二）选题原则

学生在说解题思路的过程中，将自己的思维暴露在老师和同学面前，将自己思考的得与失都能展现，教师在选题时，有意识地选择一些参与度高，容易产生争议又能在短时间达成共识的辩题.

（三）案例一则：《判断三角形形状》

例题：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，试判断△ABC的形状.

学生乙：因为A+B+C=π，所以sinC=sin（A+B）.

又2cosAsinB=sinC，所以2cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，又（a+b+c）（a+b-c）=3ab，所以a2+

又A=B，所以△ABC是等边三角形.

意图：本讨论课是笔者尝试的一次选修辩论，我们知道判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sinA=sinB⇔A=B；sin（A-B）=0⇔A=B；sin2A=sin2B⇔A=B或A+等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.相比老师的直接灌输，如果是学生自己说出来，效果就会完全不一样.

总之，就高中数学课程内容而言，由于课时的限制，我们只能让学生学习基础且重要的内容.为此，合理选题，正确引导，充分发挥选修课对正常教学的补充完善和有益补充的作用，成为选修课教师必须深入思考的问题.近几年非常流行的微课，对教师能力的培养起到了很大帮助.如果将微探究、微辩论甚至微研讨引入选修课堂，相信也一定能让学生对数学学科不再畏惧，甚至充满激情并能享受其中.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.王第成.教学：请让学生先来［J］.中学数学教学参考，2014（9）.

3.沈恒，王勇强.碎片化学习下的云端微视频教学初探［J］.中学数学（上），2014（10）.

4.赵祥枝.引导学生主动探究，促进数学思维发展［J］.中学数学教学参考，2014（5）.F