“导数在函数中的应用”的设计、实践与反思

☉青海省油田一中 应春风

导数在函数中的综合应用常常以压轴的形式在高考试题中出现，学生对导数、方程、不等式等知识的交汇综合运用能力是此类考题考查的重点，笔者结合导数在函数中的应用这一内容进行了专题公开课的教学，主要为了学生能够更好地掌握如何运用导数进行函数单调性、极值、最值研究的方法，同时也使学生能够在这些基础知识与方法的研究中更好地掌握四种数学思想方法.

一、教学过程

1.回顾基础知识

师：导数在高中阶段函数的研究与实际问题的解决中是一个工具，那么，导数究竟能与函数的哪些性质联系在一起并应用于实际问题的研究呢？

（1）导数与函数的单调性.

对于函数y=f（x），若在某区间上f′（x）≥0且不恒为0，则f（x）在该区间上单调递增，反之也成立；若在某区间上f′（x）≤0且不恒为0，则f（x）在该区间上单调递减，反之也成立.

注：导数与恒成立问题结合在一起是比较常见的.

（2）极值点与导数.

函数y=f（x）在x0处取得极值的充要条件为：①f′（x0）=0；②y=f（x）在x0左右单调性发生改变.

注：两条件必须同时具备.

变式：x0是函数y=f（x）的极值点是f′（x0）=0的______条件？举例说明.

设计意图：提问的方式使学生对导数与函数单调性、导数与极值的关系进行了有效的回顾，学生因此对导数的基本知识，以及导数在函数中的应用原理形成了更有深度的认识与思维.

2.例题解析

例1函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的图像关于原点对称，当x=1时，f（x）有极大值2.

①求a、b、c的值；

②若x1、x2∈［-1，1］时，求证：|f（x1）-f（x2）|≤4；

③讨论方程f（x）-2m=0的根的个数；

④如果函数f（x）的图像在x∈［-1，1］时恒处于3x-2y+m=0的图像上方，求m的取值范围.

设计意图：极值知识点和函数奇偶性的知识交汇使学生对知识的综合运用能力得到了很好的锻炼，学生对综合题的样式也因此更加熟悉，其中第②问对学生的知识转化能力也起到了很好的锻炼，只要证得函数在区间［-1，1］上满足|fmax（x）-fmin（x）|≤4，问题即能得到解决.比较简单的第③问考查了学生对函数与方程思想的应用，而第④问则应在将问题转化成恒成立问题的基础上再结合导数知识对函数的最大值进行求解.综合诸多知识点及思想方法的练习使学生的综合能力得到了有意义的锻炼与提高.此题改变成函数g（x）后变成了含参数k的函数，可以设计成以下变式.变

设计意图：着眼于基本题及其变式使学生在题目的不断变化中体会到参数对问题的影响，并使学生在正确的分类讨论中不断完成思维的挑战.

3.课堂小结

师：怎样利用导数对函数的单调性、极值、最值等性质进行研究是我们本课复习的主要内容，大家有何收获呢？

学生在教师的引导与启发下对本课所复习的基础知识与常见问题处理办法进行了回顾与总结，学生对综合问题的思考与处理也在学生的回答中一一展露，最后教师在学生小结的基础上作了进一步的归纳.

二、教学反思

1.二轮复习教案应着眼于知识整合和思想渗透而科学设计

基础知识、数学思想方法、数学知识的综合及知识之间的内在关联都是每年高考试题设计中尤其注重的几个方面，大部分学生在高三第一轮的复习中已经基本掌握高中所学的数学知识并形成了一定的知识体系，很多学生也已经积累了比较丰富的解题方法与经验，但很多学生在第一轮复习过后仍不能将知识点前后串联起来，从本质上说这是学生对数学知识所蕴含的思想与本质的理解不够深入.因此，教师在二轮复习教学中应着眼于基础知识与方法的不断深入，因此促成学生对数学知识之间联系的深入理解，并逐步建立起较为清晰而富有条理化的知识结构系统.导数、函数奇偶性、单调性等诸多基本知识融合的本课例题也体现出了数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等诸多的数学思想与方法.比如，分类讨论这一高考命题中的热点一般都会与参变量问题融合体现，本课例题的变式中就编制了要求学生多作分析和思考的该类问题：该题需要分类讨论吗？为什么需要？应怎样确定分类标准？怎样讨论？学生在几个小题的训练中对数学思想方法的实质也越发熟悉，并因此逐步学会融会贯通.因此，教师在复习教学中应帮助学生学会打破知识之间的界限，并逐步提升思维水平.

2.二轮复习教案应着眼于点到面的辐射而设计

教师在二轮复习的教案编写中，首先应对复习的内容作出科学、合理的整体构想，确定课堂复习教学的核心，并以此为主线预设复习的内容与形式，在后续教学中依此有序展开复习.笔者在本课的设计中立足导数所具备的工具性这一特征进行了一系列的变式设计，围绕例1这一母题而衍生的五个子题实现了由点到面的辐射，也因此将学生的思维带向了更深、更远的水平层面.

3.二轮复习应注重学生思维的训练

二轮复习一般都会注重课堂复习容量的增加，但这并不代表课堂讲授与练习的过多追求，事实上，教师应该在复习教学中对非重点问题敢于取舍，并将学生感觉困惑的问题、模糊不清的问题、缺漏的问题、高考热点问题一一解决，使得学生在教师有针对性的教学举措中获得思维容量的扩充，同时，教师应始终围绕重要的方法、知识、数学思想方法及近年来的高考热点题型进行重点讲授并督促各环节的落实.本节课围绕导数与函数的最值、极值关系设计并变化出了九个小题，本课的教学重点与主题得到了很好的强化，近年来的很多高考题都是在平日练习的基础上改变了设问方式或互换条件与结论等手段而呈现的，因此，教师在平时教学中如果能够对一些可以改变的题目进行变式与题组训练，往往能够使学生对此类问题的本质与通性通法形成更加牢固的认知与理解.比如，变式1与变式2的设计能够使学生对最值的思想方法的认识得到强化，变式3与变式4的设计能够有效地提升学生对知识的灵活转化，而变式4与变式5之间的比较与推广又使学生的思维得到了很好的拓展.

4.二轮复习教学应着眼于学生这一学习主体的发展

容量大且具备一定难度的高三数学二轮复习课堂教学必须调动学生的主动性才能实现高效课堂的真正构建，教师在复习教学中应为学生营造出宽松、和谐而平等的学习氛围，并使每一位学生都能感受到自己的主体地位，只有这样，学生在数学学习中的自信心才能逐步建立并稳步提升.比如，本课例题中的基础知识的回顾与解决相对来说是比较简单的，可以让数学能力中下等的学生来回答，以此来提升他们的学习兴趣.再者，教师在设计教学过程时应以学生发展为中心，并将师生互动式、对话式的教学方式落实到教学过程中，使学生在积极主动的探究活动中不断培养出坚持不懈、努力钻研的人格品质与毅力.不过，教师适当的点拨和讲解在复习教学中仍然是必须的.比如，笔者在本课例题中最后一个变式的教学中组织了学生的小组合作与讨论并对学生进行了适时的点拨，这使得课堂复习教学的高效性得到了有力的保障.

教师在二轮复习教学中应本着巩固、完善、综合与提高的指导思想落实教学.巩固是对知识系统的强化，完善是对知识的查漏补缺，综合是对知识连接点的体会，提高则是学生思维能力、概括能力、分析解题能力的不断进步，这些所有的环节都是知识体系逐步建构而完善的过程，是学生数学综合能力养成与提高的过程.除此以外，教师在二轮复习教学中还应紧紧围绕学生思维的发展这一核心进行教学，并使得课堂复习更为科学而有效.F