导数考点“广而告之”

☉江苏省如皋市第二中学 黄 荣

纵览历年高考命题，对导数的考查力度不断增大，尤其是导数的应用通常以压轴题的形式出现，常考不衰，并且常考常新，而与导数有关的基本运算和导数的几何意义也频频亮相.常言道：考场就是战场，知己知彼，方可百战百胜！考题年年变，考点却“岿然不动”.那么哪些考点需要引起大家的注意呢？

一、导数的有关计算

应用导数解决问题，首先要学会对函数求导，要牢记基本函数的求导公式和求导法则.灵活应用基本函数的求导公式和求导法则，这是复习导数的第一步.

例1（1）（fx）=x（2018+lnx），若f（′x0）=2019，则x0等于______.

（2）设函数（fx）的导数为f（′x），且（fx）=f′）sinx+cosx，则f′（）=______.

点评：本题灵活考查了求导公式的基本应用，第（1）题中已知函数的导数值求自变量的值体现了方程思想；而第（2）题中的f′（）是个常数，需求出它的值，解题过程同样体现了方程思想.在导数问题中，函数思想与方程思想往往“结伴而行”.

二、导数的几何意义

函数在某一点处的导数的几何意义，就是函数所表示的曲线在该点处的切线的斜率.导数的几何意义每年必考，命题时常常以小题形式出现，要么直接写出切线方程，要么求某参数的值.

例2已知曲线f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线与曲线y=x2+a相切，则a=______.

解析：因为f′（x）=lnx+1，所以曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线斜率为k=2，则曲线f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y=2x-e.

由于切线与曲线y=x2+a相切，故y=x2+a可联立y=2xe，得x2-2x+a+e=0，由Δ=4-4（a+e）=0，解得a=1-e.

点评：函数解析式已知，切点也已知，所以利用导数法求出这条切线并非难事.又因为它与二次函数曲线y=x2+a相切，故可用二次函数判别式法求解.当然，对于二次函数问题，再次利用导数来解也不难，读者可试一试！

三、利用导数求函数的极值或最值

导数的终极用途是研究函数的性质，其中包含利用导数求函数的极大（小）值，以及求函数在连续的闭区间上的最值.利用导数求函数的极值或最值，这种解决函数问题的方法能使复杂问题变得简单化、程序化，凸显导数的应用，深受命题者青睐，从而成为高考数学炙手可热的命题热点.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的极小值为-e3，求f（x）在区间［-5，+∞）上的最大值.

令g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c，因为ex＞0，故y=f′（x）的零点就是g（x）=-ax2+（2a-b）x+b-c的零点且f′（x）与g（x）符号相同.

又因为a＞0，所以当-3＜x＜0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＜-3或x＞0时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间是（-3，0），单调递减区间是（-∞，-3），（0，+∞）.

因为（fx）的单调递增区间是（-3，0），单调递减区间是（-∞，-3），（0，+∞），所以（f0）=5为函数（fx）的极大值，故（fx）在区间［-5，+∞）上的最大值取（f-5）和（f0）中的最大者，而（f-5）==5e5＞5=（f0），所以函数（fx）在区间［-5，+∞）上的最大值是5e5.

点评：（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值.

四、导数与函数单调性

我们知道，导数最简单的应用就是求函数的单调区间，而已知函数的单调性可以确定函数式中特定字母的值或范围，这种导数应用的“双向性”一直是近年高考的必考点.

（1）若函数h（x）=（fx）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）=（fx）-g（x）在［1，4］上单调递减，求a的取值范围.

由于h（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，故当x∈（0，+∞）时，-ax-2＜0有解，即有解.设G（x）=，所以只要a＞G（x）min即可.而，所以G（x）min=-1.所以a＞-1.又因为a≠0，所以a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）.

（2）因h（x）在［1，4］上单调递减，故当x∈［1，4］时，恒成立.

点评：可导函数f（x）在（a，b）上是单增（或单减）函数⇔对于任意x∈（a，b），都有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意子区间上都不恒为零.这是解这类问题的理论依据，利用这个理论依据，我们可把原问题转化为不等式能成立问题，或者不等式恒成立问题，这种转化与化归的数学思想正是高考命题的考查目标，体现了高考“能力立意”的思想，在平时的复习中应引起高度重视.

五、利用导数处理含参数的恒成立问题

恒成立问题中的参数取值范围，也是高考的命题热点之一，其解决方式较多，但导数法是首选，利用参变量分离法，再尝试从导数知识入手，往往能锋回路转天地宽，柳暗花明又一村，这就再一次说明导数在教材中的引入，拓宽了高考的命题空间，这类问题具有一定思维层次的题目，我们同样不可掉以轻心.

例5已知函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R.若不等式f（x）≥x对所有的b∈（-∞，0］，x∈（e，e2］都成立，求实数a的取值范围.

解析：由题意可得bx2≤alnx-x.

因为x∈（e，e2］，所以

由b∈（-∞，0］，故对任意的x∈（e，e2］，都有≥0，即alnx≥x对一切x∈（e，e2］恒成立，即对一切x∈（e，e2］恒成立.

点评：破解不等式恒成立问题通常需要“一构造一分类”：“一构造”是指通过不等式的同解变形，构造一个与背景函数相关的函数；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论.有时也可以利用分离参数法，即将不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，一般地，a＞f（x）对x∈D恒成立，只需a＞f（x）max；a＜f（x）对x∈D恒成立，只需a＜f（x）max.本文最后值得一提的是，高考对导数的考查主要侧重于导数的工具性和利用导数解决问题的灵活性.因此，我们只有多训练、多总结、多反思，才可达到理想的复习效果.H