聚焦核心素养 实施问题导学

☉江苏省苏州工业园区第二高级中学 申会文

高中数学课程标准修订组史宁中用“三会”来概括数学核心素养的精髓，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.随后修订组对数学核心素养的构成进行了详细划分，认为数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.数学核心素养是学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质，是数学课程目标的集中体现.

问题是数学的“心脏”，问题导学是指以问题为核心，以学生为主体，教师为主导，学生自主探究与合作探究相结合，充分调动各方面的积极因素参与课堂教学，完成教学任务的教学方式.如何通过有效的问题导学，培养学生的数学核心素养，具有十分重要的意义.聚焦数学核心素养的教学活动设计成为数学教学的首要任务，聚焦数学核心素养的教学活动就是根据课程标准的要求，结合学生的实际，利用问题串的形式组织教学，丰富学生的学习方式，激发学生的学习兴趣，为终身学习打下良好的基础.下面以直线与圆的位置关系课堂教学实录为例，阐明如何聚焦数学核心素养，实施问题导学.

一、课堂实录

1.温故知新——建构数学

师：解析几何的特征是用数来研究形.前面我们学习了直线和圆，直线可以用二元一次方程表示l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），圆可以用二元二次方程表示：（x-a）2+（y-b）2=r2.

我们还研究了直线与直线的位置关系，请同学们回忆一下，是如何研究的？

生：将两直线的方程联立得方程组据方程组解的个数来判断直线与直线的位置关系.

师：除了研究直线与直线的位置，还可以研究哪些关系呢？

生齐答：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系

设计意图：在创设问题情境时，可以从生活中的具体实例引入，也可以从数学问题本身出发.此处由已经学习过的直线的方程，圆的方程引入，复习回顾研究直线与直线之间位置关系的方法，引出课题，回顾旧知的同时，设置疑问，激发学生的学习兴趣和探究的欲望.

师：今天我们就来研究直线与圆的位置关系（引出课题）.初中学过直线与圆的位置关系有哪几种？

生：有三种位置关系：相离，相切，相交.

师：类比用直线的方程研究对应直线的位置关系的方法，如何用方程来判断直线与圆的位置关系呢？

生：将直线的方程与圆的方程联立得方程组根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系.

师：这是从代数的角度研究直线与圆的位置关系，如何从几何图形的角度来研究呢

生：求出圆心到直线的距离d，根据d与半径r的关系来判断.d＞r时，直线与圆相离；d=r时，直线与圆相切；d＜r时直线与圆相交.

设计意图：直线与圆的位置关系学生在初中已学过，先让学生画图，一是让学生回顾旧知，为新课所用；二是先让学生对直线与圆的位置关系有一个直观感受，为后面的理性探究埋下伏笔.

2.例题示范——应用数学

师：说的很好，现在我们可以从代数和几何两个角度来研究直线与圆的位置关系，接下来就来看看这个知识我们掌握的怎么样.

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）直线与圆是否有公共点？若有，求出公共点坐标.

师：请同学们说说看，本题你是如何处理的？

生1：第一问我是用几何法判断的，圆心C到直线l的所以直线与圆相交.第二问我联立方程所以直线和圆有两个公共点，坐标是A（0，2）和B

生2：直接用代数的方法判断的，联立方程组，不仅能判断直线与圆的位置关系，还能求出公共点的坐标.师：说的很好.既然直线l与圆相交，你能求出弦长吗？生2：可以，根据两点间距离公式得AB=

生1：（几何性质）由垂径定理可得

师：直线与圆相交时，弦长问题也有两种处理方式，一是代数方法：将直线与圆的方程联立，求出交点的坐标，再根据两点间距离公式求弦长；二是几何性质：根据垂径定理构造直角三角形，由勾股定理得弦长

设计意图：例1通过研究直线和圆的位置关系，得出相交的结论后进一步探究弦长问题，学生能够根据掌握的知识顺利解决这个具体的问题.在小结时，教师只是总结了代数方法和几何性质的解题步骤，并没有对两种方法进行对比，目的是想将这一过程留给学生在后续的解题过程中自己体会，领悟.

例2 自点A（-1，4）作圆C：（x-2）2+（y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.

师：如何求切线的方程呢？

生3：设直线l的斜率为k，则l的方程是y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0.因为直线与圆相切，所以解得k1=.从而得l的方程是y=4或3x+4y-13=0.

生4：这样做不严谨，设斜率的时候首先要考虑斜率不存在的情况.斜率不存在时，l：x=-1.此时d=3≠r，舍去.

师：生3从几何的角度处理直线与圆相切问题，生4补充的很好，考虑问题要严谨.有没有同学从代数的角度研究的呢？

生：代数法运算太繁了！

师：我们不妨试试.将方程联立得消元化简得（1+k2）x2+2（k2+k-2）+k2+2k+4=0.由直线与圆相切得，该方程有且只有一个根，有Δ=4（k2+k-2）2-4（k2+1）（k2+2k+4）=-8k2-6k=0，解得k1=0由此可见，本题代数方法也可以解决，只是运算略繁.

师：将点A（-1，4）改为（1，1）时，结果如何呢？

生5：此时斜率不存在的情况，正好符合题意.

师：改成（2，2）呢？

生6：此时点A在圆上，切线就是y=2.

设计意图：在处理直线与圆相切问题时依然是两条腿走路，但是大部分学生选择了几何方法，觉得代数方法运算太负责，教师并没有一带而过，而是选择亲自带着学生一起算.一是注重对学生核心素养——运算能力的培养和发展；二是将这节课不仅定位在直线与圆，而是放眼于整个解析几何，因为在直线与圆锥曲线的位置关系处理中，这是一种常规且有效的方法.后面通过改变点的位置，让学生进一步体会求直线方程的易错点，要根据点与圆的位置关系先判断直线有几条，在具体的运算中要考虑斜率不存在是否符合题意，增强对解题的规范性与严谨性的训练.

3.回顾小结——提炼数学思想

师：由此我们发现在处理过一点作直线与圆相切的问题，需要注意些什么呢？

生7：首先我们要判断这个点的位置，如果点在圆上，切线只有一条；如果点在圆外，有两条切线.设直线的斜率时首先要考虑斜率不存在的情况是否满足题意.

师：这位同学总结的非常好.本节课我们研究了三个问题：（1）直线与圆位置关系的判断方法：一代数角度，讨论方程组解的个数；二几何角度，讨论d与r的关系.（2）直线与圆相交时的弦长问题，代数角度联立方程求出交点坐标.几何角度，根据垂径定理构造直角三角形解决问题.（3）直线与圆相切问题，切线方程也可以从两个角度处理.总的来说就是两个方法（代数几何），两个知识点（弦长切线长），两个注意点（斜率存在不存在）.

二、一点思考

这节课从直线的位置关系到直线与圆的位置关系的类比引入，符合学生的最近发展区，是过程性教学中一种典型的教学方式，给人一种润物细无声的感觉.例题的设计很用心，例1先判断直线与圆的位置关系，如果相交再求出交点的坐标，让学生体会代数方法和几何方法的区别.例2求切线方程时，改变点的坐标，在学生容易忽略的斜率不存在的情况下变式，训练学生的思维严谨性.变式2将点变到了圆上，培养学生的观察能力，渗透数学的学科核心素养.在学生普遍感觉用代数法处理切线问题计算比较繁琐的情况下，教师没有知难而退，而是选择迎难而上，带领学生用代数法解决了切线问题，重视计算能力的训练，培养学生坚强的意志品质，渗透数学核心素养.同时着眼点并不是仅仅放在本节课堂上，而是放眼整个解析几何，代数法是一类行之有效的方法.在数学运用的过程中，利用变式不仅可以节省很多的时间，更是思维上的一种转变与跳跃，通过慢慢给台阶，让学生在不知不觉中提升高度.每个例题后回顾方法，让学生体会到数学用于实践，实践提升方法的过程.过程性教学在实施上，教师应该对本节课的重难点问题进行分解，达到逐步提高的过程，同时教师应将眼光放的更长远，教会学生学习，培养学生终身学习的习惯和能力.F