变式教学对发展思维能力的影响

☉江苏省苏州市吴江平望中学 李国英

变式教学这一数学教学中最为常用且有效的教学手段是广大数学教师一直都在研究与使用的.鲍建生、顾泠沅等都曾结合变异理论、脚手架理论，以及我国变式教学的实际情况对变式理论进行过深入的研究并将变式教学作出了概念性变式与过程性变式的分类.

一、变式教学的分类

1.概念性变式

教师在概念教学的过程中往往会不自觉地使用概念性变式这一手段来帮助学生认识和理解概念，通过这一手段的实施，使学生在新的概念的分析中经历由直观到抽象、由具体到一般的变式，并因此探寻知识的本质属性及知识间的本质联系，学生对概念的理解往往在这一过程中能够很好的实现.

例如，教师在幂函数的性质与图像的教学中就可以设置这一问题：函数是幂函数吗？学生在不同形式的函数中辨别函数类型的同时也是对幂函数这一新学概念的多角度理解，教师此时再引导学生从这些变式中去寻找共性并逐渐探索、提炼出幂函数这一概念的本质特征，当然会比教师直接告诉学生幂函数的特征要有意义得多，学生对概念的理解与学习深刻而明晰.

2.过程性变式

概念形成过程与问题解决过程需要过程性变式教学才能更好地帮助学生由浅入深、层层深入地掌握概念与方法，学生在亲身经历旧知识到新知识的推导与构造过程中也更加容易结合自己的思维特征形成有意义的知识网络并很快达到融会贯通.

例如，教师在双曲线这一概念的教学中就可以着眼于椭圆的定义这一学过的知识并结合一定的变式进行教学：

问题1：已知A（-4，0），B（4，0），P点满足|PA|+|PB|=10，那么动点P的轨迹应该是什么样的曲线呢？

变式1：如果P点满足|PA|-|PB|=4，那么动点P的轨迹应该是什么样的曲线呢？

变式2：如果P点满足||PA|-|PB||=4，那么动点P的轨迹应该是什么样的曲线呢？

变式3：如果P点满足|PA|-|PB|=8，那么动点P的轨迹应该是什么样的曲线呢？

学生对关于椭圆定义的问题1往往很轻松就能解决.将“+”变成“-”的变式1看上去只是小小的符号改变，但曲线又会发生什么样的变化呢？学生在这样的疑惑中很快对这一问题产生强烈的探知欲，教师引导下的亲身实验很快使学生明白这是一条开放性的曲线.变式2中的不同是在变式1的基础上加了一个绝对值符号，曲线因此变成了两条，双曲线的概念在变式经历中自然形成了，P点满足的条件不同致使形成的曲线也各不相同，学生在这样的变式探究中将椭圆与双曲线两个概念紧密联系了起来.接着学生又在变式3的探究中认识到了常数的范围并因此对双曲线应满足的条件形成了进一步的认识.事实上，在这一内容上的变式远不止上述的三个形式，比如，如果将A、B两点从x轴变化到y轴一样会导致标准方程发生改变.学生从多个角度对它们的标准方程与几何特征进行辨析与理解，能够对两类圆锥曲线的异同形成更加充分的认识.学生体验到学习乐趣的同时也逐步建立起了新知和旧知之间的联系，从而对概念的本质形成清晰的认识，并因此能够顺利创造出完整的知识架构.

二、变式教学对思维能力的影响

数学认知结构必须建立在知识结构与思维结构双向发展的基础之上，思维结构的发展对于认知结构的完善与发展来说至关重要，变式教学能够将集中思维、发散思维多种方式相互交融，并因此促进思维能力的提升与思维结构的完善.因此，教师在变式教学的实际过程中应将训练学生的思维视为重要任务，帮助学生在变式学习中逐步培养其灵活、深刻、广阔、发散的思维能力，并在学习中获得更好的效果.

1.变式教学能使学生思维的深度得到延伸

问题2：已知等差数列{an}的通项公式an=25-2n，前n项和是Sn，在n=________时Sn取到最_______值，最值为________.

变式1：（1）等差数列{an}的首项a1=25，前n项和是Sn，已知Sn满足S9=S17，则当n是何值时，Sn最大？

（2）如果题中条件变为a1＞0，d≠0，如果S9=S17，则当n是何值时，Sn最大？

（3）如果a1＜0，d≠0，是否可以类比（1）并因此得到类似的结论呢？

变式2：（1）如果a1＞0，d≠0，前n项和是Sn，如果S9=S17，则S26=______.

（2）已知数列{an}中，a1＞0，S26=0，能使an＞0成立的n的最大值是多少？

变式3：（1）如果a1＞0，前n项和是Sn，S9=S16，那么，当n为何值时，Sn能取最值呢？

（2）如果a1＞0，前n项和是Sn，若S25=0，求使an＞0成立的n的最大值是多少？

问题2中的几个问题基于等差数列前n项和公式的特征将之与二次函数联系了起来，层层递进的几个设问引导学生的思维不断深入、延伸.题目条件不断改变或放宽使学生对数列前n项Sn这一特殊函数概念的理解不断加深，学生也在这一过程中逐渐形成良好的知识结构.学生的思维在一连串的问题探究与思考中沿着知识点的发展方向很好地得到了锻炼.

实际上，还有其他的角度可以对问题2进行变式设计：上述变式都是利用数列前n项和公式特征而衍生出来的，同学们还有其他不同的视点呢？数列的临界项的角度可以解决这一问题吗？这样的问题设计能够很好地引导学生转换视角对问题进行重新审视，知识之间的关联也会因此变得更加宽广.

2.变式教学能使学生思维的宽度得到拓展

问题3：已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n-1和bn=2n.

（1）若cn=an+bn，则数列{cn}的前n项和是多少？

（2）若cn=an·bn，则数列{cn}的前n项和是多少？

（3）数列{cn}的通项公式的前n项和是多少？

已知等差数列与等比数列在问题的创设中得到了有意义的构造，连续变化的三种构造方式及数列的求和在一连串的问题中因为思考角度的不一样得到了有意义的探究，囊括分组求和、错位相减等情况的数列求和使得学生在一系列的变式中掌握了数列求和的更多方法，数列求和的本质方法也在不同角度的思考中很好地凸显了出来.不仅如此，变式教学的合理运用使得一个问题得到了多角度的思考，学生在求异、思辨的思维空间中对不同情况进行比较、分析及反思，也很快清楚地掌握了这一类题目的解决办法.而且，教师遵循“少练精讲”这一原则下的变式教学使得很多反复、机械的训练得以很好的避免，新课程所倡导的“减时提效”也真正得以实现，学生思维的宽度在多种方法、多类问题的接种中得到了很好的拓展.

3.变式教学能使学生思维的灵活度得到提升

问题4：已知关于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，假设该方程有实数解，那么k的取值范围是怎样的？

变式1：已知关于x的方程4x-（k+4）2x+4=0，如果该方程在（0，1）内有实数解，那么k的取值范围是怎样的？

利用一元二次方程根的分布能够很快将问题4解决掉，但变式1在却在原问题的基础上添加了区间（0，1）这一条件，采取根的分布对变式1进行讨论也就相对比较复杂了，但分离变量的方法却能使本题的解决更加简单.因为区间这一条件的改变使得问题的最佳解题方法也随之改变了，很多学生对其中的奥妙是无法理解的，变式教学在这种变化多端的问题中就能展现出更多的优势了.利用变式教学指导学生在同一个问题中从“变”中寻求“不变”能使学生更快地掌握解决问题的通法，同时还能使学生在“不变”的问题中寻找“变化”并学会选择最为适当的方法，这对学生思维灵活度的锻炼是特别有意义的.

教师在变式教学中不能为了追求“变”而搞得过于形式化，也不能为了课堂教学看上去变化多端而刻意追求.教师采取变式教学时应关注各变式是否具备针对性与实效性，在结合学生实际情况的基础上灵活运用变式教学，将课堂例题进行精心的设计并因此使得学生的思维灵活度得到更好的锻炼，将学生眼前的发展与长远的发展均设计在有意义的变式教学设计中，使得学生在不断激活封存记忆的基础上充分发挥出自己的内在力量，并因此实现数学的高效学习.F